第17章 勾股定理- 2022-2023学年八年级数学下册拔尖题精选精练（人教版）

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第17章 勾股定理
一、单选题
1．已知一个的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
【答案】D
【分析】由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论：
（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．
∴第三边长的平方是25或7，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
2．已知RtABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则RtABC的面积是（　　）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【答案】A
【分析】根据∠C＝90°确定直角边为，对式子两边平方，再根据勾股定理得到的值，即可求解．
【详解】解：根据∠C＝90°确定直角边为，∴
∵
∴，即
∴
∴
故选A
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定的值．
3．如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）

A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
【答案】A
【分析】根据折叠的条件可得：，在中，利用勾股定理就可以求解．
【详解】将此长方形折叠，使点与点重合，，
，
根据勾股定理得：，
解得：．
．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
4．如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为（ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【详解】解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC＝，
AC＝，
AB＝，
在△ABC中，
∵BC2＋AC2＝32＋18＝50，AB2＝50，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点睛】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2＋b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．
5．如图，在四边形中，，，，，则（ ）．

A．20 B．25 C．35 D．30
【答案】B
【分析】根据勾股定理求得的长度，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：
由勾股定理可得：

故选B
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（ ）

A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【详解】解：∵a、b、c都是正方形，

∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故选C．

【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
7．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
【答案】D
【分析】分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：当4是直角边时，斜边＝，
当4是斜边时，另一条直角边＝，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
8．在中，，，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离．
【详解】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴，
则点C到AB的距离是．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边．
9．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（　　）

A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
【答案】D
【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【详解】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝24﹣8＝16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，
∴AB＝＝17，
∴此时h＝24﹣17＝7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是注意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围，主要是根据勾股定理求出筷子在杯内的最大长度．
10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（ ）

A．29 B．32 C．36 D．45
【答案】D
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，
∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）
＝AC2−AB2
＝45．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为_____．

【答案】##
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．
【详解】解：∵AB=AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=CM=3，
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，
∴根据勾股定理得：AM==4，
又S△AMC=MN•AC=AM•MC，
∴MN=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长．
12．如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为______．

【答案】
【分析】连接 ，设小正方形的边长为 ，由勾股定理可得 ， ，再由勾股定理逆定理可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，

设小正方形的边长为 ，由勾股定理得：
，
，
，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，根据勾股定理得出 、 、 是解题的关键．
13．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至，那么的值：①等于1米；②大于1米；③小于1米．其中正确结论的序号是_________．


【答案】③
【分析】由题意可知OA＝2，OB＝7，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，得出AB＝A′B′，又由题意可知OA′＝3，利用勾股定理分别求OB′长，把其相减得解．
【详解】在直角三角形AOB中，因为OA＝2，OB＝7
由勾股定理得：AB＝＝，
由题意可知AB＝A′B′＝，
又OA′＝3，根据勾股定理得：OB′＝＝，
∵，
∴
∴BB′＝7−＜1．
故答案为：③．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是掌握勾股定理的表达式．
14．已知中，，则、、所对的三条边之比为_________．
【答案】
【分析】先求出，，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
15．如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果，，则EC的长_________．

【答案】
【分析】首先在Rt△ABF中，求出BF，再在Rt△EFC中，利用勾股定理构建方程求出EC即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠C=90°，
由折叠的性质可知：AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF=，
∴CF=BC-BF=4cm，
设EC=x，则DE=EF=8-x，
在Rt△EFC中，∵EF2=EC2+CF2，
∴（8-x）2=x2+42，
∴x=3cm，
故答案为：3cm．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
16．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：）计算两圆孔中心A和B的距离为________．

【答案】
【分析】根据题图分别求得，进而根据勾股定理求解即可．
【详解】根据题图可知,

．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的计算，从图中获取信息是解题的关键．
17．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形，，的面积分别是，，，则正方形的面积是___________．

【答案】17
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，即可列出等式求出正方形D的面积．
【详解】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积，
∵，，
∴正方形A、B、C、D的面积和，
即，
解得：．
故答案为：17．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键．
18．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_____．


【答案】25
【分析】由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．
【详解】解：由题意得：
①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：


∴BD=15，AD=20，
∴在Rt△ADB中，；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：


∴BD=25，AD=10，
∴在Rt△ADB中，；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，
由长方体的特征可得其他途径必定比①②两种更远，故不作考虑；
故答案为25．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．
三、解答题
19．一架云梯长25m，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C离墙7m．


（1）这个梯子的顶端A距地面有多高?
（2）如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?
【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了．
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）先求出BD，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）由题意可知：，；，
在中，由勾股定理得：
，
∴

，
因此，这个梯子的顶端距地面有高．
（2）由图可知：AD=4m，
，
在中，由勾股定理得：
，
∴

，
∴．
答：梯子的底部在水平方向滑动了．
【点睛】此题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意在直角三角形中，利用勾股定理进行求解．
20．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．

【答案】四边形ABCD的面积为36．
【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
【详解】解：连接AC，如图所示：

∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得：AC==5，
又AD=13，CD=12，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB•BC+AC•CD
=×3×4+×12×5
=36．
答：四边形ABCD的面积为36．
【点睛】本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：
（1）△ABC的周长；
（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？

【答案】（1）54；（2）△ABC不是直角三角形．
【分析】（1）运用勾股定理求得AB、AC的长，然后根据三角形周长的定义解答即可；
（2）运用勾股定理逆定理判定即可．
【详解】解：（1）∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16
∴AB=
同理：AC=
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；
（2）∵BC2=（BD+DC）2=212=441, AB2=202=400,AC2=132=169
∴BC2≠AB2+ AC2
∴△ABC不是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．
22．如图，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）？

【答案】从点A爬到点B的最短路程是
【分析】根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，

∵圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，
∴AD＝6πcm，BD＝10cm，
∴AB＝≈21.3（cm）．
答：从点A爬到点B的最短路程是21.3厘米．
【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
23．一根的木棒，要放在长、宽、高分别是的长方体木箱中，能放进去吗？（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线．）
【答案】能放进去．
【分析】根据题意，画出图形，然后连接AC，AD，在 中，利用勾股定理求出AC的长，在 中，利用勾股定理求出AD，然后与木棒的长度进行比较，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出图形，如下图：

根据题意得：AB=50cm，BC=40cm，CD=30cm，连接AC，AD，
在 中，由勾股定理得：
，
在 中，由勾股定理得：
，
∴木棒能放进去．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出AD的长是解题的关键．
24．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？

【答案】E应建在距A点15km处
【分析】设，则，根据勾股定理求得和，再根据列式计算即可；
【详解】设，则，
由勾股定理得：在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，E应建在距A点15km处．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键．
25．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．




……
（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律________，_________；
（2）请推算出的长；
（3）求出的值．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】（1）利用S1，S2，S3的值和变化规律直接得出答案即可；
（2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出；
（3）根据总结的规律计算，得到答案．
【详解】解：（1）∵，，
，，
，，
……，
∴，；
（2）∵OA1=，OA2=，OA3=，…，
∴OA10=，
故答案为：；
（3）S12+S22+S32+…+S102
=()2+()2+()2+…+()2
= (1+2+3+…+10)
=．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算．
26．在四边形中，，为边上的点．

（1）连接，，；
①如图，若，求证：；
②如图，若，求证：平分；
（2）如图，是的平分线上的点，连接，，若，，，求的长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）．
【分析】（1）①根据条件得出，即可求证；
②延长交的延长线于点，得出再证明即可；
（2）解法1：过点分别作，，得到，由，，得到，设，求得，在和中，由勾股定理即可求得的长．
解法2：在上截取，得出，过作，根据，即可求得的长．
【详解】（1）①证明：，
，，
，
在和中
，，，
，
．

②证明：延长交的延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分．

（2）解法1：如图，过点分别作，，分别交及的延长线于点，．

平分，
，
又，，
，
在和中
，，，
，
，，
在和中
，，，
，
设，
，，
，，
，
，
，
，
在和中
，，，

．
解法2：如图，在上截取，

，，
，
在和中
，，，
，
，
，
，
过作，垂足为，
，
，
在和中


．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线以及利用方程解决问题．