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专题09 《数据的分析》重点题型分类- 2022-2023学年八年级数学下册拔尖题精选精练(人教版)
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专题09 《数据的分析》重点题型分类
专题简介:本份资料专攻《数据的分析》中“利用概念求平均数、中位数、众数”、“利用三数——平均数、众数、中位数解决问题”、“极差、方差和标准差”、“统计思想”解答题重点题型;适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1:利用概念求平均数、中位数、众数
方法点拨:联系:平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量,其中以平均数最为重要.
区别:平均数的大小与每一个数据都有关,任何一个数的波动都会引起平均数的波动,当一组数据中有个别数据太高或太低,用平均数来描述整体趋势则不合适,用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关,个别数据的波动对中位数没影响;众数主要研究各数据出现的频数,当一组数据中不少数据多次重复出现时,可用众数来描述.
一、单选题
1.为落实“双减”政策,学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间,统计结果如表,则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是( )
时间/小时
7
8
9
10
人数
6
9
11
4
A.9,8.5 B.9,9 C.10,9 D.11,8.5
【答案】A
【分析】根据众数的定义(众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据)和中位数的定义(将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数)分别求出众数和中位数即可得.
【详解】解:因为9出现的次数最多,为11次,
所以众数是9,
被调查的学生人数为(人),
所以总共有30个数据,
将这些数据按从小到大进行排序后,第15个数和第16个数的平均数即为这组数据的中位数,
则中位数是,
故选:A.
【点睛】本题考查了众数和中位数,熟记定义是解题关键.
2.从小明家到学校有1200米上坡,1600米平路和800米下坡,小明上学时上坡的速度为60米/分钟,平路上的速度为80米/分钟,下坡速度为100米/分钟,则小明上学时的平均速度是( )
A.75米/分钟 B.80米/分钟
C.85米/分钟 D.无法求出平均速度
【答案】A
【分析】根据速度=路程÷时间,先求出上学用的时间,再求解即可.
【详解】解:∵(分钟),
(分钟)
(分钟)
∴ (米/分)
故选A
【点睛】本题考查了求平均数,熟记速度公式,找准路程和时间是解题的关键.
3.已知一组数据:4,5,m,6,7的平均数是5,则这组数据的中位数是( )
A.4.5 B.5 C.5.5 D.6
【答案】B
【分析】根据平均数为5,即可求出总和为25,则可求得m为3,再根据中位数的含义即可求解.
【详解】∵平均数为5,
∴总和为,
∴,
则这组数据从新排列为:3、4、5、6、7,
则该组数的中位数为:5,
故选:B.
【点睛】本题考查了中位数、平均数的知识,求出m的值,再按中位数的定义准确找出中位数是关键.切勿将摆在中间的m当做中位数而出错.
4.瑞华实验学校开展“新华杯”寒假亲子阅读活动,为了解八年级学生寒假的读书册数,对从中随机抽取的50名学生的读书册数进行了统计,结果如下表:
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
10
15
20
3
根据统计表中的数据,这50名同学读书册数的中位数,众数分别是( )A.15,20 B.15,4 C.3,3 D.3,4
【答案】D
【分析】根据中位数、众数的定义分别进行解答即可.
【详解】解: 因为共有50个数据,
所以中位数为第25、26个数据的平均数,即中位数为=3,
由表格知数据4出现了20次,次数最多,所以众数为4;
故选:D.
【点睛】本题考查了众数和中位数的定义.用到的知识点:一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
5.一组数据为:1,1,x,4,4,7,7.已知这组数据的平均数为4,则这组数据的众数与中位数分别是( )
A.4,4 B.1,4 C.7,4 D.1,7
【答案】A
【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值.进而就可以确定这组数中的中位数和众数.
【详解】解:根据平均数的定义可知,,
得,
从小到大排列为1、1、4、4、4、7、7,处于中间位置的数是4,所以中位数为4;出现次数最多的是4,所以众数是4.
故选:A.
【点睛】本题考查了平均数、中位数和众数的相关概念.平均数是将各个数据相加得到的和除以总个数;中位数是将数据从小到大排列,处于中间位置的数,如果有奇数个数据则是正中间的数,如果有偶数个数据,则是中间两个数的平均数;众数是数据中出现次数最多的数.准确理解平均数、中位数和众数的概念是解决本题的关键.
6.一次八(2)班组织“捐零花钱,献爱心,帮助残疾人”活动,全班50名学生的捐款情况如图所示,则本次捐款金额的众数是( )
A.10 B.25元 C.20元 D.15元
【答案】A
【分析】根据众数的定义,即可求解.
【详解】解:根据题意得:捐款10元的有25人,人数最多,
∴本次捐款金额的众数是10.
故选:A
【点睛】本题主要考查了条形统计图,求众数,熟练掌握一组数据中出现次数最多的数是众数是解题的关键.
7.数据6,8,9中添加一个数据a后,发现这组新数据的中位数恰好也是众数,则a的值为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】B
【分析】根据添加一个数据a后,这组新数据的中位数恰好也是众数,原数据组里中间的数是8,判断新数据组里的中位数与众数都是8,推出a=8.
【详解】∵中位数与8有关,且添加一个数据a后这组新数据的中位数恰好也是众数,
∴这组新数据的中位数和众数都是8,
∴,
∴a=8.
故选B.
【点睛】本题考查了中位数与众数,熟练掌握中位数用众数的定义性质是解决本题的关键.
8.2022年杭州亚运会以“中国新时代·杭州新亚运”为定位.“中国风范、浙江特色、杭州韵味、共建共享”为目标,秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办会理念,坚持“以杭州为主,全省共享”的办赛原则,高质量推进亚运会筹办工作,某校对亚运知识进行了相关普及,学生会为了了解学生掌握情况,从中抽取50名学生的成绩,列表如下:
分数(分)
90
92
94
96
98
100
人数(人)
2
4
10
8
15
11
根据表格提供的信息可知,这组数据的众数与中位数分别是( ) A.100分,95分 B.98分,95分 C.98分,98分 D.97分,98分
【答案】C
【分析】分数个数最多的分数98分是众数;50个分数从小到大排列,处在第25位第26位的两个数都是98分,98分是中位数.
【详解】从表中看出,得分98分的人最多,是15人,
∴众数为98分;
50个分数从小到大排列,处在第25位第26位的两个数位于98分一组,
∴中位数是98分,
∴众数与中位数都是98分.
故选C.
【点睛】本题考查了众数和中位数,熟练掌握众数和中位数的定义是解决此类问题的关键.
二、填空题
9.已知一组数据a、3、1、10的平均数为5,则中位数是_________.
【答案】4.5##
【分析】先由平均数计算出a的值,再求中位数即可.
【详解】解:∵(a+3+1+10)÷4=5,
∴a=6,
∴该组数据为1、3、6、10,
中位数为:(3+6)÷2=4.5,
故答案为:4.5.
【点睛】本题考查了平均数的计算和中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数;掌握其定义是解题关键.
10.已知、、、、、的平均数是,则、、的平均数是______.
【答案】7
【分析】先根据、、、、、的平均数是得出,据此可知,再根据平均数的定义进一步计算即可.
【详解】解:、、、、、的平均数是,
,
,
则、、的平均数是,
故答案为:7.
【点睛】本题主要考查算术平均数,解题的关键是掌握算术平均数的定义.
11.每天登录“学习强国”App进行学习,在获得积分的同时,还可获得“点点通”附加奖励,李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表,
星期
一
二
三
四
五
六
日
收入
15
21
27
27
21
30
21
则这组数据的中位数是______.
【答案】21
【分析】将这7个数据从小到大排列为:15,21,21,21,27,27,30,中间位置的数是21,从而得出答案.
【详解】解:将这7个数据从小到大排列为:15,21,21,21,27,27,30,
所以中位数为21,
故答案为:21
【点睛】本题考查了中位数的概念,注意求中位数的时候首先要按大小排序.
12.北京冬奥会金牌榜前十位的金牌数分别为16,12,9,8,8,8,7,7,6,5.这组数据的平均数、众数和中位数中,最大的是__________.
【答案】平均数
【分析】分别根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义求出平均数、众数和中位数,再比较大小即可得.
【详解】解:平均数为,
因为8出现的次数最多,
所以众数为8,
将这组数据按从大到小排序后,第5个数和第6个数的平均数即为中位数,
则中位数为,
所以在平均数、众数和中位数中,最大的是平均数,
故答案为:平均数.
【点睛】本题考查了平均数、众数和中位数,熟练掌握计算公式和定义是解题关键.
13.为了了解某班数学成绩情况,抽样调查了20份试卷成绩,结果如下:a个140分,b个135分,5个120分,1个110分,2个100分,3个90分.则这组数据的中位数为________分.
【答案】120
【分析】将20份试卷的成绩按从小到大顺序排序,找出第10个、第11个数,取平均值即可.
【详解】解:20份试卷成绩,结果如下:a个140分,b个135分,5个120分,1个110分,2个100分,3个90分,
∴按从小到大顺序排序时,第10,第11个数都是120,
∴这组数据的中位数为120,
故答案为:120.
【点睛】本题考查求一组数据的中位数,熟练掌握中位数的定义是解题的关键,题目中未知数a和b是干扰项,不影响结果.
14.山茶花品种多样,“金心大红”是其中的一种.某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录,统计如下表:
株数
7
9
12
2
花径(cm)
6.5
6.6
6.7
6.8
这批“金心大红”花径的众数为______.
【答案】6.7 cm
【分析】一组数据中出现次数最多的数据,叫做这组数据的众数.根据表格中的数据,可以得到这组数据的众数,本题得以解决.
【详解】解:由表格中的数据可得,
这批“金心大红”花径的众数为6.7 cm,
故答案为:6.7 cm.
【点睛】本题考查众数,解答本题的关键是明确众数的含义,会求一组数据的众数.
15.某大型商场为了吸引顾客,规定凡在本商场一次性消费100元的顾客可以参加一次摇奖活动,摇奖规则如下:一个不透明的纸箱里装有1个红球、2个黄球、5个绿球、12个白球,所有除颜色外完全相同.充分摇匀后,从中随机抽取出一球,若取出的球分别是红、黄、绿球,顾客将分别获得50元、25元、20元现金,若取出白球则没有奖.若某位顾客有机会参加摇奖活动,则他每参与一次的平均收益为_______元.
【答案】10
【分析】分别求出摸到各种颜色的球的概率,计算加权平均数即可.
【详解】解:一共有1+2+5+12=20个球,
摸到红球的概率是,
摸到黄球的概率是,
摸到绿球的概率是,
摸到白球的概率是,
∴10,
故答案为:10.
【点睛】此题考查了概率的计算公式,加权平均数的计算公式,正确掌握各公式计算是解题的关键.
16.为了庆祝建党100周年,歌颂党的光辉历史,育星中学举行了“童心向党·青春追梦”主题朗诵比赛.比赛结束后对参赛学生的成绩进行了统计,绘制出如下的统计图①和②.请根据相关信息解答下列问题:图①中m的值为______,这组比赛成绩数据的平均数是______,众数是______.
【答案】 28 9
【分析】根据条形统计图,可得出参赛的人数,再用得8分的人数除以总人数就得出m值;应用加权平均数的定义:所有参赛学生的总得分除以参赛学生人数;众数:一组数据中出现次数最多的数,应用众数定义即可求得.
【详解】由条形统计图上可得:参赛的总人数为:2+5+7+8+3=25(人)
从条形统计图上可得:得8分的人数有7人,
∴得8分的所占的百分比为: ;
这组比赛成绩数据的平均数为: ,
从条形统计图上可知:得9分的人数最多,所以9出现的次数最多,所以众数为9.
故答案为:28,,9.
【点睛】此题考查了条形统计图,扇形统计图,加权平均数和众数,牢固掌握条形统计图和扇形统计图数据之间的关系是解题的关键.
考点2:利用三数——平均数、众数、中位数解决问题
方法点拨:联系:平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量,其中以平均数最为重要.
区别:平均数的大小与每一个数据都有关,任何一个数的波动都会引起平均数的波动,当一组数据中有个别数据太高或太低,用平均数来描述整体趋势则不合适,用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关,个别数据的波动对中位数没影响;众数主要研究各数据出现的频数,当一组数据中不少数据多次重复出现时,可用众数来描述.
1.为做好青少年毒品预防教育工作,某中学对本校初中七年级、八个年级的学生约3000名进行“珍爱生命,远离毒品”的专题教育,并举办了禁毒知识答题竞赛,学校在七年级、八年级各随机抽取了20份试卷进行分析、整理,其中七年级20名学生的成绩为:75,40,61,96,85,68,70,90,73,73,75,80,63,85,50,85,81,91,65,94.对这40份试卷的成绩按照五个等级(试卷满分为100分,学生得分均为整数)制成扇形统计图,并按年级制成了统计表.
等级说明:
A等:得分在90分及以上; B等:得分在80分~89分;
C等:得分在70分~79分; D等:得分在60分~69分
E等:低于60分.
抽查的七、八年级成绩统计表
七年级
八年级
平均数
75
75
中位数
b
78
众数
c
74
方差
200.8
151.5
请根据以上信息解答:
(1)a=___,b=___,c=___.
(2)你认为该校七、八年级中,哪个年级的竞赛成绩较好?请说明理由(说明一条即可);
(3)请你估算一下,本次竞赛七年级、八个年级的学生成绩达到80分及以上的学生大约有多少人?
【答案】(1)15,75,85
(2)八年级的竞赛成绩较好
(3)本次竞赛七年级、八个年级的学生成绩达到80分及以上的学生大约有1425人
【分析】(1)将1-其它百分率求出a,把七年级20名学生成绩从小到大排序,根据中位数计算出b,根据众数定义求c即可;
(2)根据平均数相同,利用中位数和方差进行决策即可;
(3)用样本中80分以上的百分比×3000计算即可
(1)解:a%=1-20%-27.5%-30%-7.5%=15%
∴a=15,
七年级20名学生的成绩从小到大排列为:40,50,61,63,65,68,70,73,73,75,75, 80,81, 85, 85, 85, 90, 91, 94. 96,
第10与第11两名学生的成绩都是75,
∴中位数b=75分,
重复次数最多的是85分,
∴众数为85分
∴c=85分
故答案为15,75,85;
(2)解:两个年级的平均数都是75分相同,中位数上看八年级78分高于七年级75分,说明八年级75分以上多余七年级,从方差上看八年级方差151.5低于七年级方差200.8,
∴八年级的竞赛成绩较好;
(3)解:被抽查80分以上百分率20%+27.5%=47.5%,
∴本次竞赛七年级、八个年级的学生成绩达到80分及以上的学生大约有3000×47.5%=1425人
【点睛】本题考查样本中的百分比,中位数,众数,利用集中趋势的量和离散趋势的量进行决策,利用样本的百分比含量估计总体中的数量,掌握样本中的百分比,中位数,众数,利用集中趋势的量和离散趋势的量进行决策,利用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键.
2.某学校九年级共400名学生,为了解该年级学生的视力情况,从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本,根据数据绘制了如图的表格和统计图:
等级
视力(x)
频数
频率
A
x<4.2
4
0.1
B
4.2≤x≤4.4
12
0.3
C
4.5≤x≤4.7
a
D
4.8≤x≤5.0
b
E
5.1≤x≤5.3
10
0.25
合计
40
1
其中等级C,D的相关数据如下:4.6,5.0,4.5,4.9,4.5,4.9,5.0,4.8,4.6,4.9,4.5,4.5,5.0,5.0.根据上面提供的信息,回答下列问题:
(1)统计表中的a=______,b=______.
(2)等级C中数据的众数是______,中位数是______;
(3)请补全条形统计图;
(4)若视力不低于4.5为“良好”,根据抽样调查结果,请估计该校九年级学生视力为“良好”的有多少人?
【答案】(1)6,0.2
(2)4.5,4.5
(3)补全统计图见解析
(4)该校九年级学生视力为“良好”的约有240人.
【分析】(1)根据题干所给等级C,D的相关数据即可解答;
(2)根据等级C的相关数据结合众数、中位数的定义即可解答;
(3)利用总人数减其它等级人数求出D等级的人数,即可补全统计图;
(4)求出视力为“良好”的人数所占比例,再乘该校九年级学生总数即可.
(1)根据题意可知等级C的相关数据为:4.6,4.5,4.5,4.6,4.5,4.5;等级D的相关数据为5.0,4.9,4.9,5.0,4.8,4.9,5.0,5.0.
即得出a=6,,
故答案为:6,0.2;
(2)根据(1)可知等级C的数据中4.5出现的次数最多,故众数为4.5.按顺序排列后处在最中间的两个数据都为4.5,故中位数也为4.5.
故答案为:4.5,4.5;
(3)等级D的人数为:40-4-12-6-10=8(人)
故补全统计图如下:
(4)(人)
故该校九年级学生视力为“良好”的约有240人.
【点睛】本题考查频数分布表,条形统计图,求众数和中位数,利用样本估计总体.根据频数分布表和所给数据得出必要的信息是解题关键.
3.为了解某九年级学生课外阅读时间,进行抽样调查,并将调查结果分为A(3小时)、B(4小时)、C(5小时)、D(6小时)四中分类,根据调查情况分为如下两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)请补全条形统计图,扇形统计图D类对应扇形的圆心角为 度;
(2)朝阳调查阅读时间的中位数是 ;众数是 ;
(3)已知七年级共2000名学生,请估计全年级每周课外阅读是5小时的人数约多少人?
【答案】(1)见解析,105
(2)5,5
(3)750人
【分析】(1)由图可知:阅读时间在B组的人数是12人,占总调查人数的25%,可求出总人数,进而求出C组的人数,补全条形图即可;求出D组占总人数的百分比,然后再乘以 即可求出D组圆心角度数;
(2)根据中位数和众数的定义求解即可;中位数定义:将一组数据从小到大排列,若奇数个则中间的就是中位数,若偶数个,则取中间两个数的平均数作为中位数;众数的定义:一组数据中出现次数最多的数;
(3)先算出样本C组占调查总人数的百分比,再乘以七年级的总人数即可.
(1)调查总人数为:12÷25%=48(人),
C组人数为:(人),
D组圆心角度数:.
故答案是:105;
(2)将48个数据从大到小排列,因为是偶数个,所以取第24、25位的平均数,两个都是5小时,所以中位数为5;C组(5小时)人数最多,所以5出现的最多,所以中位数为:5.
故答案是:5,5;
(3)C组占调查人数的百分比为:
所以七年级每周课外阅读是5小时的人数为: (人)
∴全年级每周课外阅读是5小时的人数约750人.
【点睛】本题考查了扇形统计图、条形统计图的制作方法和相关计算,中位数、众数的意义和求法,以及样本估计总体的方法,熟练掌握相关定义和计算方法是解题的关键,扇形统计图和条形统计图之间的数据计算求解是难点.
4.3月12日,据联合国统计,俄乌冲突已导致上千平民伤亡,250万人离开乌克兰,此外,在俄乌冲突与对俄制裁的共同作用下,全球粮食供给、芯片制造、能源价格等均受到不同程度的影响.为了呼吁世界和平,某校举行了以“同护一片蓝天·共享一份和平”为话题的征文比赛,比赛成绩分别记为70分、80分、90分、100分,现随机抽取部分参赛学生的比赛成绩进行统计,并绘制成如下统计图,根据统计图中的信息,解答下列问题:
(1)此次比赛成绩的众数是______分,中位数是______分;
(2)计算此次比赛成绩的平均数;
(3)若参加此次征文比赛的共有100人,请你估计成绩为100分的约有多少人?
【答案】(1)80,80
(2)此次比赛成绩的平均数是82分;
(3)估计得满分的共有10名学生.
【分析】(1)根据众数和中位数的定义可得答案;
(2)利用加权平均数的计算方法可得平均数;
(3)用得满分的同学所占的百分比×总人数.
(1)解:得80分的人数最多,众数为80分;
把这组数据从小到大排列,最中间两个数的平均数是(80+80)÷2=80(分),则中位数是80分;
故答案为:80,80;
(2)解:×(70×4+80×10+90×4+100×2)=82(分),
答:此次比赛成绩的平均数是82分;
(3)解:100×=10(名),
答:估计得满分的共有10名学生.
【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.
考点3:极差、方差和标准差
方法点拨: 联系:极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数.
区别:极差表示一组数据波动范围的大小,它受极端数据的影响较大;方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大,稳定性也越小;反之,则稳定性越好.所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差,在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
一、单选题
1.已知一组数据a,b,c的平均数为5,方差为4,那么数据,,平均数和方差分别是( )
A.3,2 B.3,4 C.5,2 D.5,4
【答案】B
【分析】根据数据,,的平均数为5可知,据此可得出的值;再由方差为4可得出数据,,的方差.
【详解】解:数据,,的平均数为5,
,
,
数据,,的平均数是3;
数据,,的方差为4,
,
方差.
故选:B.
【点睛】本题考查的是方差,熟记方差的定义是解答此题的关键.
2.下图是国家统计局公布的2021年居民消费价格月度涨跌幅度,月度同比和月度环比的平均数分别为,方差分别为,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先确定数组中的数据,分别计算平均数和方差,比较判断即可.
【详解】解:∵环比的数据为:1,0.6,-0.5,-0.3,-0.2,-0.4,0.3,0.1,0,0.7,0.4,-0.3,
∴,
∵同比的数据为:-0.3,-0.2,0.4,0.9,1.3,1.1,1.0,0.8,0.7,1.5,2.3,1.5,
∴,
∴,
故选A.
【点睛】本题考查了折线统计图,平均数,方差的计算,熟练掌握计算公式是解题的关键.
3.某班班长统计去年1~8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位:本),绘制了如图所示的折线统计图,下列说法错误的是( )
A.阅读课外书本数的众数是58
B.阅读课外书本数的平均数是56.625
C.阅读课外书本数的中位数是50
D.阅读课外书本数的极差是55
【答案】C
【分析】根据极差的定义,众数的定义,中位数的定义以及平均数的计算方法分别进行计算即可得解.
【详解】解:A、58出现的次数最多,是2次,故众数是58,故本选项不符合题意;
B、平均数,故本选项不符合题意;
C、按照阅读本数从小到大的顺序排列为:28、36、42、58、58、70、78、83,中间两个数都是58,所以,中位数是58,故本选项符合题意;
D、极差=83−28=55,故本选项不符合题意.
故选:C.
【点睛】本题考查了折线统计图,主要利用了极差的定义,众数的定义,中位数的定义,求算术平均数的方法,根据图表准确获取信息是解题的关键.
4.五个小朋友的年龄分别为3、1、2、3、6岁,对于这组数据,下列说法错误的是( )
A.众数、中位数、平均数都是3
B.极差为5
C.若干年后,他们年龄的方差不变
D.如果去掉第一个小朋友,则方差变小
【答案】D
【分析】根据众数、中位数、方差、平均数和极差的求法分别求得这组数据的众数、中位数、方差、平均数和极差.即可判断四个选项的正确与否.
【详解】解:A.∵ 出现次数最多的数是3,
∴众数为3,
∵ 这组数据按照从小到大排列后为1,2,3,3,6,处在中间的数是3,
∴中位数为3,
∵=,
∴平均数为3,
∴ 众数、中位数、平均数都是3,
故选项正确,不符合题意;
B.∵ 6-1=5,
∴ 极差为5,
故选项,正确,不符合题意;
C.这组数据的方差为:
=,
M年后,这组数据为3+M、1+M、2+M、3+M、6+M
平均数为
=,
∵ ,,,,,
∴
=
∴若干年后,他们年龄的方差不变
故选项正确,不符合题意;
D.如果去掉第一个小朋友,数据变为1、2、3、6,
这组数据的平均数为:,
方差为
,
∴方差变大,
故选项错误,符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、极差、方差的计算方法,正确的计算是解题的关键.
5.“学习强国”学习平台是中共中央宣传部主管,以习近平新时代中共特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台。王老师最近一周在“学习强国”APP的每日学习积分明细如下表所示,则下列说法错误的是( )
星期
一
二
三
四
五
六
日
积分(分)
48
54
48
58
48
46
48
A.中位数是48 B.众数是48 C.平均数是50 D.方差是28
【答案】D
【分析】根据所给数据,算出平均数,中位数,方差即可判定选项A,C,D,根据数据判断出现次数最多的数即为众数,即可得判断选项B,即可得.
【详解】解:A、将这组数据从小到大排列,则中位数是48,选项说法正确,不符合题意;
B、46出来了1次,48出现了4次,54出现了1次,58出现了1次,48出现的次数最多,则众数是48,选项说法正确,不符合题意;
C、,平均数是50,选项说法正确,不符合题意;
D、,方差为16,选项说法错误,符合题意;
故选D.
【点睛】本题考查了平均数,众数,中位数,方差,解题的关键是掌握这些知识点.
6.为了了解某小区居民的用电量情况,随机抽查该小区20户居民的月用电量度数如右表;关于这20户居民月用电量(单位:度),下列说法错误的是( )
居民(户数)
4
7
6
3
月用电量(度/户)
30
40
50
60
A.众数是40 B.中位数是40
C.平均数是45 D.方差是94
【答案】C
【分析】根据定义求解即可,众数:一组数据中出现次数最多的数;中位数:从小到大排列,奇数个数据则取中间的数,偶数个数据取中间两个数的平均数;平均数:所有数据之和除以数量;方差:若的平均数为m,则方差.
【详解】A、从图中可得:30出现了4次,40出现了7次,50出现了6次,60出现了3次,所以众数为40,故选项正确,不符合题意;
B、一共有20个数据,中间第10、11个都为40,所以中位数为40,故选项正确,不符合题意;
C、平均数= =44,故选项不正确,符合题意;
D、方差= =94,故选项正确,不符合题意.
故选:C.
【点睛】本题考查了众数、中位数、加权平均数以及方差,牢固掌握这些概念和公式是解题关键.
7.据统计,某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为5,6,7,6,5,6,7.下列说法正确的是( )
A.该组数据的中位数是6 B.该组数据的众数是7
C.该组数据的平均数是6.5 D.该组数据的方差是6
【答案】A
【分析】根据题意分别求出中位数,众数,平均数,方差,逐项比较即可求解.
【详解】解:将5,6,7,6,5,6,7,按从小到大排列为:5,5,6,6,6,7,7 ,
∴中位数是6,故A选项正确,
众数是6,故B选项错误,
平均数为,故C选项错误,
方差为,故D选项错误,
故选A
【点睛】本题考查了求中位数,众数,平均数,方差,掌握求出中位数,众数,平均数,方差是解题的关键.
8.甲、乙、丙、丁四名同学进行体温测量,他们5天的平均体温都是36.5度,方差分别是=0.02,=0.04,=0.06,=0.08,则体温最稳定的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】A
【分析】根据方差越小,数据越稳定,比较方差的大小即可.
【详解】解:他们5天的平均体温都是36.5度,方差分别是=0.02,=0.04,=0.06,=0.08,
.
甲体温最稳定.
故选A
【点睛】本题考查了方差的意义,若两组数据的平均数相同,则方差小的更稳定,理解方差的意义是解题的关键.
二、填空题
9.若一组数据1,2,,3,4的平均数是3,则这组数据的方差是________.
【答案】
【分析】先由数据的平均数公式求得x,再根据方差的公式计算即可.
【详解】解:∵数据1,2,x,3,4的平均数是3,
∴ (1+2+x+3+4)÷5=3 ,
解得: x=5 ,
∴方差 S2=[(1−3)2+(2−3)2+(5−3)2+(3−3)2+(4−3)2]÷5=2
故答案为: 2 .
【点睛】本题考查了平均数与方差,解题的关键在于明确平均数是所有数据的和除以数据的个数;方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的和的平均数.
10.为了考察甲、乙两块地小麦的长势,抽样测得小麦株苗的方差分别为S甲2=3.6,S乙2=15.8,则 ____ 地的小麦长势更整齐.(填“甲”或“乙”)
【答案】甲
【分析】根据方差的性质分析,即可得到答案.
【详解】解:∵S甲2=3.6,S乙2=15.8
∴S甲2S乙2
∴甲地的小麦长势更整齐,
故答案为:甲.
【点睛】本题考查了方差的知识;解题的关键是熟练掌握方差的性质:方差越大,离散程度越大,从而完成求解.
11.下列说法正确的是______
(1)已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若n为整数,且,则n的值为44;
(2)一组数据:1,2,2,3,若再添加一个数据2,则平均数和方差均不发生变化;
(3)如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图,这组数据的中位数是36.6.
【答案】(1)
【分析】(1)先找出2021前后最近的两个平方数,再算出的范围,即可求出n,
(2)根据平均数和方差的计算公式计算即可,
(3)根据折线图找出数据并从大到小排列,找出中位数即可.
【详解】解:
,
,n为整数,
,
故(1)正确;
数据1,2,2,3的平均数为: ,
数据1,2,2,3的方差为: ,
当添加了2以后,平均数为:,
方差为:,
方差发生了变化,
故(2)不正确;
由折线图看出数据分别为:,
将其从小到大排列得:,奇数个,所以中位数为 ,
故(3)不正确.
故答案为:(1).
【点睛】本题考查了无理数的估算:用有理数夹逼无理数 ;考查了平均数、方差的公式以及中位数的定义;熟练掌握无理数的估算以及平均数方差公式是解题的关键.
12.甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛,经过三轮的初赛,他们成绩的方差分别是=0.2,=0.3,=0.25,=0.4,你认为成绩更稳定的是 _____.
【答案】甲
【分析】根据方差反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大;方差越小,波动性越小,比较四个人成绩的方差大小即可判断.
【详解】解:∵0.2<0.25<0.3<0.4,
∴<<<,
∴甲的成绩更稳定.
故答案为:甲
【点睛】此题主要考查了用方差判断数据的稳定性,解题的关键是掌握方差的意义,方差越小,成绩越稳定.
13.小亮想要计算一组数据82,80,83,76,89,79的方差(s0)2,在计算平均数的过程中,将这组数据中的每一个数都减去80,得到一组新数据2,0,3,-4,9,-1,记这组新数据的方差为(s1)2,则(s0)2____(s1)2(填“>”,“=”或“<”).
【答案】=
【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数,那么这组数据的波动情况不变,即方差不变,即可得出答案.
【详解】解:∵一组数据同时减去相同的数,所得新数据的波动性与原数据相同,
∴S12=S02
故答案为:=.
【点睛】本题考查方差的意义,方差反映一组数据的波动大小,方差越大波动越大,方差越小波动越小,方差相同,则波动大小相同.解题关键是判断数据的波动情况.
14.已知点A、B、C是一次函数图像上三点,其中A、B、C三点的横坐标的方差为3,则纵坐标的方差为_____.
【答案】12
【分析】先根据点在函数上得到y1=2x1+3,y2=2x2+3,y3=2x3+3,再利用方差的变化规律得到2x1+3,2x2+3,2x3+3的方差,即可得到y1,y2,y3的方差.
【详解】解:∵点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是一次函数y=2x+3图象上三点,
∴y1=2x1+3,y2=2x2+3,y3=2x3+3,
∵x1,x2,x3的方差为3,
∴2x1+3,2x2+3,2x3+3的方差为3×22=12,
∴y1,y2,y3的方差为12.
故答案为:12.
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及方差,解题的关键是掌握方差的变化规律.
15.一组数据100,103,106,109的方差与另一组数据2,5,8,11的方差______.(填“相等”或“不等”)
【答案】相等
【分析】先分别计算出两组数据的方差,再进行比较即可.
【详解】解:100,103,106,109的平均数为:,
所以方差为:,
2,5,8,11的平均数为:,
所以方差为:,
所以两组数据的方差相等,
故答案为:相等.
【点睛】本题考查方差,当一组数据都加上一个数(或减去一个数)等于另一组数据时,两组数据方差相等.
16.甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发,成绩的平均环数相同,甲的方差为1.6,乙的成绩为7,8,10,6,9那么这两位运动员中_______ 的成绩较稳定.
【答案】甲
【分析】利用方差的公式求得乙的方差,与甲的方差比较,方差较小的成绩稳定.
【详解】解:乙的平均成绩为,
方差为:.
∵甲的方差为1.6,乙的方差是2,
∴甲的方差较小,
∴成绩较稳定的是甲.
故答案为:甲.
【点睛】本题考查了方差的知识,解题的关键是了解方程的意义并牢记方差的计算公式.
三、解答题
17.为了庆祝伟大的中国共产党建党100周年,某校开展了党的知识网上答题竞赛.现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理描述和分析,成绩得分用x表示,共分成四组:A组(80≤x<85);B组(85≤x<90);C组(90≤x<95);D组(95≤x≤100).
下面给出了部分信息:
八年级10名学生的竞赛成绩是:90,81,90,86,99,95,96,100,89,84
九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是:90,94,94
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
八年级
九年级
平均数
91
91
中位数
90
b
众数
c
100
方差
52
50.4
九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息,解答下列问题:
(1)直接写出上述图表中a=_________;b=_________;c=_________.
(2)根据以上数据,你认为该校八、九年级中哪个年级的学生掌握的相关知识较好?请说明理由(写出一条即可);
(3)该校八、九年级各800人参加了此次网上答题竞赛活动,请估计参加竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学生人数是多少?
【答案】(1)40,94,90
(2)九年级,理由见解析
(3)1040人
【分析】(1)先求出九年级成绩在“C组”的百分比,进而根据扇形统计图可求出“D组”所占的百分比,即可求出a的值,根据中位数、众数的意义可求出b、c的值;
(2)通过中位数、众数、方差进行分析得出答案;
(3)分别求出八、九年级样本中的优秀率,进而根据八、九年级的优秀率求出八、九年级的优秀人数,再求出总体中的优秀人数.
(1)解:∵九年级成绩在“C组”的有3人,占3÷10=30%,
∴“D组”所占的百分比为1−10%−20%−30%=40%,
∴a=40,
∵10×(10%+20%)=3人<5人,
∴九年级10名同学成绩从小到大排列后,处在中间位置的两个数是第5个和第6个,都是94,
∴中位数是94,即b=94;
∵八年级10名学生成绩出现次数最多的是90,
∴众数是90,即c=90,
故答案为:a=40,b=94,c=90;
(2)解:九年级的成绩较好.
理由:九年级成绩的中位数、众数都比八年级的高,而方差比八年级的小,成绩比较稳定.
(3)解:
=1040(人),
答:估计参加竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学生人数是1040人.
【点睛】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体,解题的关键是掌握平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法.
18.为了提高农副产品的国际竞争力,我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿,现有两个厂家提供货源,它们的价格相同,鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿,它们的质量(单位:g)如下:
甲厂:76,74,74,76,73,76,76,77,78,74,76,70,76,76,73,70,77,79,78,71;
乙厂:75,76,77,77,78,77,76,71,74,75,79,71,72,74,73,74,70,79,75,77.
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量x(g)
频数
频率
68≤x<71
2
0.1
71≤x<74
3
0.15
74≤x<77
10
a
77≤x<80
5
0.25
合计
20
1
分析上述数据,得到下表:
平均数
中位数
众数
方差
甲厂
75
76
b
6.3
乙厂
75
75
77
6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)如果只考虑出口鸡腿规格,请结合表中的某个统计量,为外贸公司选购鸡腿提供参考建议;
(4)某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿,并将质量(单位:g)在71≤x<77的鸡腿加工成优等品,请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只?
【答案】(1)0.5,76
(2)见解析
(3)见解析
(4)13000只
【分析】(1)根据频数、频率、总数之间的关系可求出a的值,根据众数的意义可求出b的值;
(2)求出乙厂鸡腿质量在74≤x<77的频数,即可补全频数分布直方图;
(3)根据方差进行判断即可;
(4)求出甲厂鸡腿质量在71≤x<77的鸡腿数量所占的百分比即可.
(1)a=10÷20=0.5,
甲厂鸡腿质量出现次数最多的是76g,因此众数是76,即b=76,
故答案为:0.5,76;
(2)20﹣1﹣4﹣7=8(只),补全频数分布直方图如下:
(3)两个厂的平均数相同,都是75g,而要求的规格是75g,由于甲厂的方差较小,数据比较稳定,因此选择甲厂;
(4)20000×(0.15+0.5)=13000(只),
答:从甲厂采购了20000只鸡腿中,可以加工成优等品的大约有13000只.
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、方差、众数、平均数等,掌握频数、频率、总数之间的关系是解题的关键.
19.2022年初,长春突发新冠肺炎疫情,城市按下了暂停键,做好新冠肺炎疫情防控时刻不能放松,对中学生来说抗击疫情的最好办法是强身健体,提高免疫力.某校为了解七、八年级学生周末在家体育锻炼的情况,在该校七、八年级分别随机抽收学生a名和15名,对他们周末在家的锻炼时间(x分钟)进行了调查,并收集得到了数据并进行整理,将所得数据分为4个等级(A级;,B级;,C级;,D级;)分别得到以下图表;
【七年级】
七年级学生周末锻炼身体时间频率分布表
分组
成绩;x
频数
频率
A
n
0.2
B
8
0.4
C
6
0.3
D
2
0.1
其中七年级B级的数据为;35,30,50,35,40,45,55,40
【八年级】
八年级学生周末锻炼身体时间频数直方图
两组数据的平均数、中位数、众数如表;
平均数
中位数
方差
七年级
55
m
767
八年级
55
36
1114
根据以上信息解答下列问题;
(1)填空;__________,___________,___________;
(2)如果该校七年级的学生有360人、八年级有270人,估计该校七八年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上(包含90分钟)同学的人数;
(3)通过表格数据你认为哪个年级周末锻炼的更好,请你结合统计数据,写出两条支持自己观点的理由.
【答案】(1)
(2)
(3)七年级周末锻炼的更好,理由见解析
【分析】(1)根据七年级学生周末锻炼身体时间频率分布表信息分别求得即可,
(2)根据七年级、八年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上(包含90分钟)同学的人数所占比例分别乘以360和270即可求解,
(3)根据中位数以及方差进行判断,可知七年级周末锻炼的更好.
(1)解:七年级等级的人数为,频数为,则
中位数为第10和第11个,落在等级,
其中七年级B级的数据为;35,30,50,35,40,45,55,40
从小到大排列为:30,35,35,40,40,45,50,45
中位数为
故答案为:
(2)如果该校七年级的学生有360人、八年级有270人,估计该校七八年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上(包含90分钟)同学的人数为:(人)
(3)七年级周末锻炼的更好,因为从中位数来看,七年级的成绩的大于八年级的成绩,
从方差来看七年级的方差比八年级的小,成绩更稳定,
故七年级周末锻炼的更好
【点睛】此题考查了中位数、方差的意义以及用样本估计总体,正确理解各概念的含义以及运算公式是解题的关键.
20.“呵护眼睛,从小做起”,每年6月6为全国爱眼日.某学校为了解该校九年级学生视力健康状况,从九年级(1)班和九年级(2)班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据,整理分析过程如下,请补充完整.
【收集数据】
九年级(1)班学生视力数据统计如下:4.9, 4.8, 4.9, 4.6, 4.8, 4.9, 4.9, 5.0, 4.9, 5.1.
九年级(2)班学生视力数据统计如下:4.8, 5.1, 4.7, 5.0, 4.9, 4.8, 5.0, 4.6, 4.8, 5.1.
【整理数据】
(1)九年级(1)班学生视力的扇形统计图: (2)九年级(2)班学生视力的频数直方图:
【分析数据】
班级
平均数
中位数
众数
方差
九年级(1)班
4.88
a
4.9
0.0156
九年级(2)班
4.88
4.85
b
0.0256
(1)九年级(1)班视力中位数a落在扇形统计图的 部分(填A、B、C);
(2)请补全九年级(2)班视力的频数直方图;
(3)表中b= ;
(4)若九年级(2)班共50名学生,视力在4.85~5.05之间的大约有 人;
(5)根据九年级(1)班、九年级(2)班分别抽取的10名学生的视力情况,你认为哪个班级学生的视力健康情况更何况更好一些?并说明理由.
【答案】(1)B
(2)见解析
(3)4.8
(4)15
(5)(1)班学生的视力健康情况更何况更好一些,详见解析.
【分析】(1)根据中位数的定义,对数据进行分析即可;
(2)根据(2)班数据,可知4.65-4.85中的频数,即可补全频数直方图;
(3)根据众数的定义,对数据进行分析即可得出结果;
(4)由(2)班视力数据可知,10人中有3人视力在4.85~5.05,可知该班50人中视力在4.85~5.05的人数;
(5)根据方差越小数据越稳定,可知(1)班视力状况较好.
(1)解:由题意可知,(1)班视力数据中位数为4.9,
即a=4.9,落在B部分;
故答案为:B
(2)补全频数直方图如图所示,
(3)由(2)班视力数据可知,中数为4.8,即b=4.8;
故答案为:4.8
(4)由(2)班视力数据可知,10人中有3人视力在4.85~5.05,
故50人中视力在4.85~5.05的人数为:50×0.3=15(人);
故答案为:15.
(5)由两组数据可知,两班平均数相等,(1)班中位数大于二班,(1)班方差小于(2)班,所以(1)班视力数据较为稳定,
故:(1)班的视力状况更好一些.
【点睛】本题主要考查的数据的应用,数量掌握其中各项的定义及用法是解题的关键.
21.2022年冬奥会在北京举行,为了增进学生对冰雪文化的了解,我校开展了冰雪运动相关知识的宣传教育活动,提高了学生对冰雪运动的关注度,并掀起了模拟冰雪运动的热潮.在模拟冰壶比赛中,规定得6分及以上为合格,得8分及以上为优秀.学校从参加比赛的七、八年级学生中各随机抽取了15名学生的比赛成绩,他们的成绩如下表:
成绩(分)
4
5
6
7
8
9
七年级(人)
1
2
5
2
1
4
八年级(人)
1
1
4
5
2
2
模拟冰壶比赛得分统计如下:
统计量平均分中位数众数方差合格率
统计量
平均分
中位数
众数
方差
合格率
七年级
6.8
m
6
2.56
80.0%
八年级
6.8
7
n
1.76
86.7%
(1)m=_______;n=_________;
(2)你认为哪个年级的模拟冰壶比赛成绩更优秀?请说明理由;
(3)若七、八年级参加模拟冰壶比赛的人数分别600人和450人,求这两个年级共有多少学生的模拟冰壶比赛成绩为优秀等级?
【答案】(1)6;7
(2)八年级的模拟冰壶比赛成绩更优秀,理由见解析
(3)320
【分析】(1)根据一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列后中间的数叫做中位数,出现次数最多的数叫做众数,即可求解;
(2)从平均成绩、众数、方差、合格率几方面分析,即可求解;
(3)分别求出七年级和八年级的比赛成绩为优秀等级人数,即可求解.
(1)解:∵七年级15人的成绩的第8个数为6分,
∴七年级15人的成绩的中位数为6分,即m =6;
∵八年级15人的成绩中最多的是7分,
∴众数为7分,即n=7,
故答案为:6;7;
(2)八年级的模拟冰壶比赛成绩更优秀,理由如下:
从平均成绩看,两个年级的成绩一样,从中位数看,八年级的成绩好些,从众数看,八年级成绩更好,从方差看,八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差,方差越小,成绩越稳定,故八年级成绩比七年级成绩稳定,从合格率看比年级成绩的合格率比七年级成绩的合格率高,综合以上几点,我认为八年级的模拟冰壶比赛成绩更优秀;
(3)解: .
【点睛】本题主要考查了求中位数和众数,利用方差、平均数、中位数做决策,利用样本求总体数量等知识,熟练掌握相关知识点是解题的关键.
22.2021年,我国粮食总产量再创新高.小刘同学登录国家统计局网站,查询到了我国2021年31个省、直辖市、自治区的粮食产量数据(万吨).并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.反映2021年我国31个省、直辖市、自治区的粮食产量数据频数分布直方图如图(数据分成8组:,,,,,,,):
b.2021年我国各省、直辖市、自治区的粮食产量在这一组的是:
1092.8,1094.9,1231.5,1270.4,1279.9,1386.5,1421.2,1735.8,1930.3
(1)2021年我国各省、直辖市、自治区粮食产量的中位数为______万吨;
(2)小刘同学继续收集数据的过程中,发现北京市与河南省的单位面积粮食产量(千克/公顷)比较接近,如下图所示,他将自2016年至2021年北京市与河南省的单位面积粮食产量表示出来:
()
自2016-2021年间,设北京市单位面积粮食产量的平均值为,方差为;河南省单位面积粮食产量的平均值为,方差为;则______,______(填写“”或“<”);
(3)国家统计局公布,2021年全国粮食总产量13657亿斤,比上一年增长2.0%.如果继续保持这个增长率,计算2022年全国粮食总产量约为多少亿斤(保留整数).
【答案】(1)
(2) ,
(3)2022年全国粮食总产量亿斤
【分析】(1)根据中位数的定义计算即可;
(2)分别计算出北京和河南的单位面积粮食产量的平均数即可比较平均数大小,方差大小根据图像判断:方差越小越稳定,方差越大波动越大;
(3)2022年全国粮食总产量=2021年全国粮食总产量× ,即可得出.
(1)解:将2021年我国各省、直辖市、自治区的粮食产量从小到大排列:
1092.8,1094.9,1231.5,1270.4,1279.9,1386.5,1421.2,1735.8,1930.3,
一共9个数字,中间的数字1279.9即为中位数,
2021年我国各省、直辖市、自治区粮食产量的中位数为:1279.9
(2),
,
,
由图中可以看出:北京单位面积粮食产量波动小,比较稳定,河南单位面积粮食产量波动大,所以可知;
(3)由题意得:2022年全国粮食总产量=
故2022年全国粮食总产量亿斤.
【点睛】本题考查了中位数的定义,平均数和方差的公式,方差的意义以及增长率问题,牢固掌握各项概念和公式以及正确计算是本题关键.
考点4:统计思想
方法点拨:统计的基本思想方法:用样本估计总体,即通常不直接去研究总体,而是通过从总体中抽取一个样本,根据样本的情况去估计总体的相应情况.”
1.教育行政部门规定初中生每天户外活动的平均时间不少于1小时,为了解学生户外活动的情况,随机地对部分学生进行了抽样调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中共调查的学生人数为 .
(2)若我市共有初中生约14000名,试估计我市符合教育行政部门规定的活动时间的学生数;
(3)试通过对抽样数据的分析计算,说明我市初中生参加户外活动的平均时间是否符合教育行政部门的要求?
【答案】(1)50人
(2)估计我市符合教育行政部门规定的活动时间的学生数为11200人
(3)我市初中生参加户外活动的平均时间符合教育行政部门的要求,理由见解析
【分析】(1)用活动时间为0.5小时的人数除以其人数占比即可得到样本总人数;
(2)用14000乘以样本中活动时间不少于1小时的占比即可得到答案;
(3)算出样本中学生活动时间的平均数,即可得到答案.
(1)解:人,
∴在这次调查中共调查的学生人数为50人;
(2)解:人,
∴估计我市符合教育行政部门规定的活动时间的学生数为11200人;
(3)解:由题意得样本中学生活动的平均时间为小时,
∵1.18>1,
∴我市初中生参加户外活动的平均时间符合教育行政部门的要求.
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联,求平均数,用样本估计总体等等,正确读懂统计图是解题的关键.
2.为拓宽学生的知识面,某校开展了读书活动,学校对本校八年级学生9月份的读书数量进行了随机抽样调查,对所有随机抽取的学生的读书数量(单位:本)进行了统计,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
(1)请补全条形统计图;
(2)本次所抽取学生9月份读书数量的众数为_______本,中位数为_______本;
(3)根据抽样调查的结果,请你估计该校八年级1500名学生中,9月份读书数量不少于4本的学生人数.
【答案】(1)补全条形统计图见解析
(2)3,3
(3)估计9月份读书数量不少于4本的学生有450人
【分析】(1)根据题意求出被调查的学生总人数,从而可求出读书数量为4本的人数,即可补全统计图;
(2)根据众数和中位数的概念即可求解;
(3)求出被调查的人数中读书数量不少于4本的学生人数所占百分比,再乘该校八年级总人数即可.
(1)∵调查的学生总人数为5÷10%=50(人),
∴读书数量为4本的有50-(5+10+20+5)=10(人).
故补全统计图,如图所示:
(2)∵读3本的人数最多,
∴众数为3本.
50人中处于最中间的为第25和第26人,两人都为读了3本,
∴中位数为3本.
故答案为:3,3;
(3)(人),
答:估计9月份读书数量不少于4本的学生有450人.
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图相关联,中位数和众数,由样本估计总体.根据条形统计图和扇形统计图找出必要的信息和数据是解题关键.
3.寒假结束返校后,校团委想了解学生寒假社会实践活动天数,随机抽取了部分学生参加社会实践活动的天数,并将得到的数据绘制了两幅统计图,下面给出了两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)扇形统计图中的a=_________________,参加实践活动的天数为7天的学生对应的圆心角度数是______________;
(2)请你补全条形统计图;本次抽样调查的中位数是___________天.
(3)若该校共有学生3500人,请你估计活动时间不少于6天的学生人数大约有多少人?
【答案】(1)10%;90°
(2)图形见解析;6
(3)2100
【分析】(1)用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值,用360°乘以它所占的百分比,即可求出该扇形所对圆心角的度数;
(2)根据5天的人数和所占的百分比求出总人数,再乘以8天的人数所占的百分比,补全统计图;根据中位数的定义直接解答即可;
(3)用总人数乘以活动时间不少于6天的人数所占的百分比即可求出答案.
(1)解:;
参加实践活动的天数为7天的学生对应的圆心角度数是;
(2)解:参加实践活动的学生人数为人,
∴参加实践活动的天数为8天的学生人数为人;
补全图形,如下图:
抽样调查中总人数为100人,结合条形统计图可得:位于第50位和51位的都是6,
所以中位数是6天;
(3)解:根据题意得:3500×(25%+10%+5%+20%)=2100人
答:活动时间不少于6天的学生人数大约有2100人.
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
4.2020年3月20日,中共中央国务院发布《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,强化劳动育人的功能,要求各学校有目的有计划组织学生参加日常生活劳动,生产劳动和服务性劳动,让学生动手实践、出力流汗、接受锻炼,磨练意志.我区教体局为了解八年级学生参加社区劳动情况,随机抽查了部分学校八年级学生第一学期参加社区劳动的天数,并用得到的数据绘制了两幅统计图,下面给出了两幅不完整的统计图(如图).
请根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)a=______,并写出该扇形所对圆心角的度数为______,请补全条形图.
(2)在这次抽样调查中,众数和中位数分别是多少?
(3)如果该县共有八年级学生2000人,请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人?
【答案】(1),,条形统计图见详解;
(2)本次调查中众数是5天,中位数是6天;
(3)估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有800人;
【分析】(1)根据其他各部分所占的百分比,可计算出a区域的百分比,和8天所对应的人数;
(2)将每个天数所对应的人数列出来,根据天数的大小由小到大排列,可计算出中位数和众数;
(3)根据活动时间不少于7天的人数占样本的百分比,可估算出总体中约有多少人活动时间不少于7天.
(1)解:,
所对的扇形圆心角度数为:,
总人数:(人),
8天所对的人数:(人),
条形图如下所示:
(2)解:由图可知,5天有240人,6天有120人,7天有150人,8天60人,9天30人,
∴众数为5天,
∵一共有600人,
∴中位数是第299与第300人的平均天数,
∵第299人与第300人都参加了6天,
∴中位数为6天.
(3)解:不少于7天的人数所占百分比:,
故不少于7天的人数为:(人),
答:估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约800人.
【点睛】本题考查条形统计图,扇形统计图,中位数,众数,由样本估算整体,能够将条形统计图与扇形统计图相结合补充出缺少的信息是解决本题的关键.
5.国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h”.为此,某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生.根据调查结果绘制成的统计图(部分)如图所示,其中分组情况是:
A组: B组: C组: D组:
请根据以上信息解答下列问题:
(1)本次调查的人数是__________人;D组对应扇形的圆心角为____________°;
(2)根据题中信息补全条形统计图;
(3)本次调查数据的中位数落在__________组内;
(4)若该市辖区约有80000名初中学生,请估计其中达到国家规定的体育活动时间的学生有多少人.
【答案】(1)400,36;
(2)补图见解析;
(3)C
(4)估计达到国家规定的体育活动时间的学生约有56000人
【分析】(1)根据A组的人数和百分比即可求出总人数,算出D组所占的百分比,再求出对应的圆心角;
(2)根据总人数和条形统计图即可求出C组人数;
(3)根据第200个和第201个数据所在的组即可求出中位数所在的组;
(4)根据优秀人数的百分比即可估算出全市优秀的人数.
(1)∵A组有40人,占10%,
∴总人数为=400(人),
D组所占的百分比为×100%=10%,
∴D组所对的圆心角为360°×10%=36°,
故答案为400,36;
(2)C组的人数为400-40-80-40=240(人),
统计图如下:
(3)中位数为第200个数据和第201个数据的平均数,都在C组,
∴中位数在C组,
故答案为C;
(4)
优秀人数所占的百分比为×100%=70%,
∴全市达到国家规定体育活动时间的学生人数大约为80000×70%=56000(人).
【点睛】本题主要考查统计图形的应用,最关键的是得出抽查人数,只需要看两个统计图里都已知的量即可,像中位数,众数,平均数这样的统计量中考比较爱考,要牢记它们的概念和计算公式.
6.某药店有2500枚口罩准备出售,从中随机抽取了一部分口罩,根据它们的价格(单位:元),绘制出如图的统计图.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)图①中m的值为______;
(2)统计的这组数据的平均数为______,众数为______,中位数为______;
(3)根据样本数据,估计这2500枚口罩中,价格为2.0元的约有多少枚?
【答案】(1)28
(2)1.52元,1.8元,1.5元
(3)约有200枚
【分析】(1)根据扇形统计图中的数据,可以计算出m%的值,从而可以得到m的值;
(2)根据扇形统计图中的数据可以得到这组数据的平均数,然后根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数;
(3)根据统计图中的数据,可以计算出价格为2.0元的约多少枚.
(1)解:m%=1−10%−22%−32%−8%=28%,
即m的值是28,
故答案为:28;
(2)解:平均数是:1.0×10%+1.2×22%+1.5×28%+1.8×32%+2.0×8%=1.52(元),
∵本次调查了5+11+14+16+4=50(枚),
∴把这组数据从小到大排列,中位数是第25个和第26个数据的平均数,
由,知,第25个和第26个数据都是1.5元,
故这组数据的中位数是1.5元,
1.8元出现的次数最多,故这组数据的众数是1.8元;
故答案为:1.52元,1.8元,1.5元;
(3)解:2500×8%=200(枚),
答:估计这2500枚口罩中,价格为2.0元的约200枚.
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,从统计图中获取相关准确的信息.
7.近日,俄乌军事冲突事件引起了全世界的关注,此次事件也让我们深切体会到,只有祖国强大了,人民群众才有安全感,才会被世界“温柔”以待为此,某校举行了“少年强则国强”演讲比赛.学校随机调查了参加比赛的名学生,并将他们的比赛成绩统计如下满分为分:
(1)这名学生比赛成绩的众数是______分,并补全条形统计图;
(2)计算这名学生比赛成绩的平均数;
(3)若该校共有名学生参加了这次演讲比赛,请估计得满分的共有多少名学生?
【答案】(1)9,条形图见解析
(2)8.5分
(3)估计得满分的共有名学生
【分析】(1)根据条件和图表计算出得8分的人数,补全条形图,对比即可求得众数
(2)计算出总得分除以20即可得到平均分
(3)用100乘以样本中得10分的人数所占的比例即可
(1)解:(1)得分的人数为(人),所以得分的人数最多,众数为
故答案为:;
补全条形统计图如下:
(2)解:(分)
答:这名学生比赛成绩的平均数是分;
(3)解:(名)
答:估计得满分的共有名学生.
【点睛】本题考查了条形图,众数,平均数,用样本估算总体等相关知识点,熟练掌握是解题的关键
8.为响应“全民阅读”号召,某校在八年级800名学生中随机抽取100名学生,对该年级学生在2021年全年阅读中外名著的情况进行调查,整理调查结果发现,学生阅读中外名著的本数,最少的有5本,最多的有8本,并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图,其中阅读了6本的人数占被调查人数的30%.
请你根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)在这次抽样调查中,学生阅读中外名著的本数的众数和中位数分别是多少?
(3)估计该校八年级全体学生在2021年全年阅读中外名著的总本数.
【答案】(1)见解析
(2)7,6.5
(3)5160本
【分析】(1)由阅读了6本的人数占被调查人数的30%,可求得阅读了6本的人数,再统计图即可求得阅读了7本的人数,从而可补全条形统计图;
(2)根据补全的条形统计图的数据即可求得众数及中位数;
(3)求出抽取的100位学生平均阅读数量,它与全校八年级总人数的积就是所求的总本数.
(1)由于阅读了6本的人数占被调查人数的30%,则阅读了6本的人数为:100×30%=30(人)
于是阅读了7本的人数为:100−(20+30+15)=35(本),
补全的条形统计图如下:
(2)观察补全的条形统计图知,阅读7本的人数最多,即学生阅读中外名著的本数的众数为7;
把100个数从小到大排列,第50、51个数的平均数为这组数据的中位数,20+30=50,则第50个数为6,第51个数为7,则中位数为,
即学生阅读中外名著的本数的众数和中位数分别为7,6.5;
(3)∵平均每位学生的阅读数量为:(本),
∴估计该校八年级全体学生在2019年阅读中外名著的总本数为(本).
【点睛】本题考查了条形统计图,众数、中位数与平均数,用样本估计总体,熟练掌握这些知识并能从统计图中获取信息是关键.
9.为了解某校九年级学生的物理实验操作情况,随机抽查了40名同学实验操作的得分(满分10分).根据获取的样本数据,制作了下面的条形统计图和扇形统计图,请根据相关信息,解答下列问题.
(1)这40个样本数据的平均数是______,众数是______,中位数是______;
(2)扇形统计图中m的值为______;
(3)若该校九年级共有400名学生,估计该校九年级物理实验操作得满分的学生有多少人.
【答案】(1)8.3分,9分,8分
(2)30
(3)实验操作得满分的学生有70人
【分析】解:(1)根据加权平均数可得分,根据重复次数最多的数据可得众数是9分,利用中位数定义找出从小到大排序后第20与第21两数都是8分求其平均数即可,
(2)用1减去6、7、8、10分所占的扇形统计图中的百分比得m;
(3)用九年级总人数乘以满分的人数所占的份数计算即可得解.
(1)解:这40个样本数据平均数是分
由条形图可知:重复次数最多的数据是9分12次,所以众数是9分,
,数据从小到大排序后第20和21两个数据都在分数8这组,所以中位数在从小到大排列第20和第21的平均值为 8分,
故答案为:8.3;9;8;
(2),
故m的值为:30;
(3)(3)40名同学中,满分占比为7÷40=17.5%,
因此九年级全体同学物理实验操作得满分的学生为:17.5%×400=70(人).
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
10.为了解七年级学生的长跑水平,我校对全体七年级同学进行了长跑测试,体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩(满分100)进行整理和分析(成绩共分成五组:A.,B.,C.,D.,E.),绘制了不完整的统计图表:
(1)收集、整理数据
20名男生的长跑成绩分别为:76,77,95,88,50,89,89,97,99,93,97,89,65,87,68,89,78,88,98,88.
女生长跑成绩在C组和D组的分别为:73,74,74,74,74,76,83,88,89.
(2)分析数据:两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示:
长跑成绩
平均数
中位数
众数
男生
85
88.5
b
女生
81.8
a
74
请根据以上信息,回答下列问题:
(1)①补全频数分布直方图; ②填空:______,______;
(2)根据以上数据,你认为七年级学生是男生的长跑的成绩更好还是女生的长跑成绩更好?判断并说明理由(一条理由即可).
(3)如果我校七年级有男生500名,女生400名,请估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数.
【答案】(1)①见解析;②79.5、89;
(2)男生长跑成绩好,理由见解析;
(3)550人
【分析】(1)①根据频数分布直方图及各组人数之和等于被调查总人数即可补全图形;
②根据众数和中位数的概念求解即可;
(2)从平均数和众数及中位数的意义求解即可;
(3)先求出女生长跑成绩不低于80分的学生人数,再用总人数乘以样本中长跑成绩不低于80分的学生人数所占比例即可.
(1)①80~90分的人数为20-(1+2+3+6)=8(人),
补全直方图如下:
②男生成绩的众数b=89,女生成绩的中位数a==79.5,
故答案为:79.5、89;
(2)男生长跑成绩好,
因为男生长跑成绩的平均数大于女生,所以男生长跑成绩比女生好.
(3)∵样本中女生A、B组人数为20×(10%+10%)=4(人),C组人数为6人,
∴女生长跑成绩不低于80分的学生人数为10人,
所以估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数500×+400×=350+200=550(人).
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
11.某校为了解九年级学生的手算能力,随机抽取九年级的部分学生就数学中的计算题做了测试.测试的结果分为四个等级:优秀、良好、合格、不合格;根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图,请你根据以上统计图提供的信息解答以下问题:
(1)该手算检测结果的众数为______;
(2)补全上面的条形统计图;
(3)若该校九年级有1600名学生,估计该校九年级手算能力为“不合格”的学生约有多少人?
【答案】(1)合格等级
(2)画图见解析
(3)512人
【分析】(1)先求解合格等级的百分比,再根据众数的定义解答即可;
(2)先求出总人数,再求出不合格的人数即可解决问题;
(3)利用样本估计整体,用1600乘以样本中“不合格”等级学生的百分比即可.
(1)解:
所以合格等级的人数最多,
该手算检测结果的众数为合格等级;
故答案为:合格等级;
(2)总人数=8÷16%=50.
不合格的人数=50×32%=16(人),
补全条形统计图如图所示:
(3)(人),
答:估计该校八年级体质为“不合格”的学生约有512人.
【点睛】本题考查条形统计图,样本估计总体,扇形统计图,众数等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
12.钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说:“我们需要重视防护,但也不必恐慌,尽量少去人员密集的场所,出门戴口罩,在室内注意通风,勤洗手,多运动,少熬夜.”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解,通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识,并鼓励社区居民在线参与作答《2022年新型冠状病毒防治全国统一考试(全国卷)》试卷,社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩,并对他们的成绩(单位:分)进行统计、分析,过程如下:
收集数据:
甲小区:85、80、95、100、90、95、85、65、75、85、90、90、70、90、100、80、80、90、95、75.
乙小区:80、60、80、95、65、100、90、85、85、80、95、75、80、90、70、80、95、75、100、90.
整理数据:
成绩x(分)
甲小区
2
5
a
b
乙小区
3
7
5
5
分析数据:
统计量
平均数
中位数
众数
甲小区
85.75
87.5
c
乙小区
83.5
d
80
应用数据:
(1)填空:a=______,b=______,c=______,d=______;
(2)若甲小区共有800人参与答卷,请估计甲小区成绩大于90分的人数;
(3)根据以上数据,______(填“甲”或“乙”)小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握得更好,理由______.(填一条即可)
【答案】(1)8;5;90;85.5
(2)200
(3)甲,理由见解析
【分析】(1)根据所给数据可直接得出a、b的值,再根据众数和中位数的定义可得c、d的值;
(2)用总人数乘以样本中甲小区成绩大于90分的人数所占比例;
(3)从平均数、中位数和众数三方面均可得出甲小区比乙小区掌握的更好.
(1)解:甲小区80<x≤90之间数据有85,90,85,85,90,90,90,90,共有8个
∴a=8,
甲小区90<x≤100之间数据有95,100,95,100,95,共有5个
∴b=5,
∵90出现了5次,出现的次数最多,
∴c=90;
把乙小区的数据从小到大排列,中位数是第10、11个数的平均数,
则d==82.5;
故答案为:8,5,90,82.5;
(2)解:根据题意得:
800×=200(人),
答:估计甲小区成绩大于90分的人数有200人;
(3)甲小区;
理由:甲小区的平均数、众数、中位数的成绩都大于乙小区,故甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好.
故答案为:甲,甲小区的平均数、众数、中位数的成绩都大于乙小区,故甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好.
【点睛】本题主要考查中位数、众数及样本估计总体,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.求一组数据的众数的方法:找出频数最多的那个数据,若几个数据频数都是最多且相同,此时众数就是这多个数据.
13.我市近期正在创建全国文明典范城市,学校倡议学生利用双休日参加义工活动,为了解同学们的活动情况学校随机调查了部分同学的活动时间,并用得到的数据绘制了不完整的统计图,根据图中信息回答下列问题:
(1)将条形统计图补充完整;
(2)扇形图中“1.5小时”部分圆心角是____________度,活动时间的平均数是___________,众数是___________小时,中位数是___________小时;
(3)若该学校共有900人参与义工活动,请你估计工作时长一小时以上(不包括一小时)的学生人数为____________.
【答案】(1)见解析
(2)144;1.32小时;1.5;1.5
(3)522
【分析】(1)从两个统计图中可以得到,工作时间为1小时的有30人,占调查人数的30%,可求出调查的总人,进而求出工作时间为1.5小时的人数,补全统计图即可;
(2)扇形图中1.5小时的部分占360°的40%,求出圆心角的度数,再利用加权平均数求出平均数,观察工作时间出现次数最多求得众数;将100个学生的活动时间从大到小排序后处在第50、51位的数平均数即为中位数;
(3)用总人数乘以工作时间大于1小时的百分比即可求解.
(1)(人)
(人),
故补全统计图如图所示,
(2),
活动时间的平均数为:(小时),
活动时间出现次数最多的是1.5小时,出现40次,因此众数为1.5小时,
将100个学生的活动时间从大到小排序后处在第50、51位的数都是1.5小时,因此中位数是1.5小时,
故答案为:144;1.32小时;1.5;1.5.
(3)解:(人)
故答案为:522
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法,从两个统计图中获取有用信息是解题的关键.样本估计总体是统计中常用的方法,同时还考差了众数、中位数、平均数的意义和计算方法.
14.为增进学生对营养与健康知识的了解,某校开展了两次知识问答活动,从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩(百分制),并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.下图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图.
(1)①学生甲第一次成绩是85分,则该生第二次成绩是______分,他两次活动的平均成绩是______分;
②学生乙第一次成绩低于80分,第二次成绩高于90分,请在图中用“○”圈出代表乙的点;
(2)为了解每位学生两次活动平均成绩的情况,A,B,C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图(数据分成6组:,,,,,):
已知这三人中只有一人正确作出了统计图,则作图正确的是______;
(3)假设有400名学生参加此次活动,估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为_______.
【答案】(1)①90,87.5;②见解析
(2)B
(3)180
【分析】(1)①根据图象直接得到,再求平均即可;②符合题目要求的范围在直线x=80的左边,直线y=90以上,圈出即可;
(2)根据统计图数出落在各区间的频数,再与在直方图上表示的数对照即可求解;
(3)用总人数乘以抽样中两次活动平均成绩不低于90分的占比即可.
(1)解:①由统计图可以看出横坐标为85的直线上只有一个点,其纵坐标为90,因此这两次的平均分是(85+90)÷=87.5,
故答案为:90,87.5.
②如图所示,符合题目要求的范围在直线x=80的左边,直线y=90以上,在图中圈出的就是所求.
(2)由统计图可以看出,70≤x
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