第18章 平行四边形- 2022-2023学年八年级数学下册拔尖题精选精练（人教版）

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第18章 平行四边形
一、单选题
1．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（ ）
A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1
【答案】C
【分析】先根据菱形的性质求出边长AB＝2，再根据直角三角形的性质求出∠B＝30°，得出∠DAB＝150°，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，

∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°，
∵AE＝1，AE⊥BC，
∴AE＝AB，
∴∠B＝30°，
∴∠DAB＝150°，
∴∠DAB：∠B＝5：1；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键．
2．如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上一动点，则的最小值为（ ）．

A．8 B． C． D．10
【答案】D
【分析】要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．由此可知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．
【详解】解：如图，连接，，，设交于点，
四边形正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴点与点是关于直线对称，
，
，
点为上的动点，
∴当B、M、N三点不共线时，BN+MN＞BM，
当点运动到点时，，
∴的最小值为的长度，
四边形为正方形，
，，
又∵，
∴，
，
的最小值是10．
故选：D．

【点睛】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，能够根据轴对称的性质以及三角形的三边关系找到点N与点P重合时取最小值是解决本题的关键．
3．如图，将一个边长分别为4，8的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，则折痕的长是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由折叠前后的两图形全等，得到一些线段相等，连接后转化到一个直角三角形中，由勾股定理可求出线段AF的长，由折叠A与C重合，折痕EF垂直平分AC，进而即可求出EF的长．
【详解】解：连接AC交EF于点O，连接FC，

由折叠得：AF=FC，EF垂直平分AC，
设AF=x，则DF=8﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
，
即：，解得：x=5，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
，
∴OA=CO=，
在Rt△FOC中，，
EF=2OF=，
故选D．
【点睛】本题考查折叠的性质、勾股定理、矩形的性质等知识，将所求线段转化到一个直角三角形中是解决问题的关键，利用勾股定理建立方程求解是常用的方法．
4．如图，矩形的对角线，相交于点O，．若，则四边形的周长为（ ）．

A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，，
，，，
，
四边形是菱形，
，
四边形的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
5．某街区街道如图所示，其中垂直平分．从B站到E站有两条公交线路；线路1是，线路2是，则两条线路的长度关系为（ ）

A．路线1较短 B．路线2较短
C．两条路线长度相等 D．两条线路长度不确定
【答案】C
【分析】由于路线1的路程为BD＋DA＋AE，路线2的路程为BC＋CF＋FE，将问题变为比较它们的大小这一数学问题．
【详解】解：这两条路线路程的长度一样．理由如下：
延长FD交AB于点G．

∵BC∥DF，AB∥DC，
∴四边形BCDG是平行四边形，
∴DG＝CB．
∵CE垂直平分AF，
∴FE＝AE，DE∥AG，
∴FD＝DG，
∴CB＝FD．
又∵BC∥DF，
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴CF＝BD． ①
∵CE垂直平分AF，
∴AE＝FE，FD＝DA． ②
∴BC＝DA． ③
路线1的长度为：BD＋DA＋AE，路线2的长度为：BC＋CF＋FE，
综合①②③，可知路线1路程长度与路线2路程长度相等．
故选C．
【点睛】本题是一个图形在交通方面的应用题，解此类图形应用题的关键是建立合理的数学模型，并利用图形知识来解决这一模型，从而解决实际问题．考查线段的垂直平分线的性质，平行四边形判定与性质，中位线等知识．
6．如图，四边形中，R、P分别是上的点，E、F分别是的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）

A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关
【答案】C
【分析】如图，连接 先证明的长度是定值，再证明 可得的长度是定值，从而可得答案.
【详解】解：如图，连接
四边形中，R、P分别是上的点，当点P在上从C向D移动而点R不动，
的长度是定值，

E、F分别是的中点，

的长度是定值.
故选：
【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解本题的关键.
7．如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（ ）

A．30 B．54 C． D．60
【答案】B
【分析】设两对角线的交点为E，由即可完成．
【详解】设两对角线的交点为E
∵




=54
故选：B．

【点睛】本题考查了四边形面积的计算，关键是转化为两个直角三角形面积的和，体现了转化思想的应用．一般地，如果四边形的两条对角线相互垂直，则四边形的面积与菱形面积计算一样，等于两对角线乘积的一半．
8．如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD，则可得四边形AMCD是平行四边形，从而AB=AM=DC；可证△ABC≌△DCB，则可得BD=AC=10m；再由E、F、G、H分别为中点，由三角形中位线定理，可得四边形EFGH是平行四边形，则可求得篱笆的总长度．
【详解】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD
则∠DCB=∠AMB
∵∠DCB=∠ABC
∴∠AMB=∠ABC
∴AM=AB
∵AD∥BC，AM∥DC
∴四边形AMCD是平行四边形
∴AM=DC
∴AB=DC
在△ABC与△DCB中

∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴BD=AC=10m
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点
∴GH=EF=，EH=FG=
∴四边形EFGH是平行四边形
则篱笆的总长度为2(GH+EH)=20(m)
故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，涉及的知识点较多，掌握它们是关键．
9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，
∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故选：C．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．
10．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，，，，小敏行走的路线为，小聪行走的路线为．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（ ）

A．3100m B．4600m C．5500m D．6100m
【答案】B
【分析】连接CG，由正方形的对称性，易知AG=CG，由正方形的对角线互相平分一组对角，GE⊥DC，易得DE=GE．在矩形GECF中，EF=CG．要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行．
【详解】解：连接GC，

∵四边形ABCD为正方形，
所以AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
∵∠CDB=45°，GE⊥DC，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE=GE．
在△AGD和△GDC中，
，
∴△AGD≌△GDC（SAS）
∴AG=CG，
在矩形GECF中，EF=CG，
∴EF=AG．
∵BA+AD+DE+EF-BA-AG-GE，
AD=1500m．
∵小敏共走了3100m，
∴小聪行走的路程为3100+1500=4600（m），
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质及等腰三角形的性质．解决本题的关键是证明AG=EF，DE=GE．
二、填空题
11．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________．

【答案】
【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可．
【详解】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，

∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴AB=2BE，
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，
即AB2=AB2+32，
解得AB=2，
∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6．
故答案是：6．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键．
12．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为________．

【答案】
【分析】根据题意画出图形，得到CD=CF，，根据矩形的性质证得∠CED=90°，再根据直角三角形30度角的性质求出答案．
【详解】解：如图，由题意得CD=CF，，
∴，
∵原四边形为矩形，
∴∠BCF=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CED=∠BCF=90°，
∴∠D=30°，
故答案为：30°．

【点睛】本题考查矩形与平行四边形的概念及其性质，直角三角形30度角的性质，熟记矩形及平行四边形的性质是解题的关键．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF=______．

【答案】
【分析】连接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性质得出S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案．
【详解】解：连接OP，如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC==10，
∴S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，
∴PE+PF=；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
14．如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则_____秒后四边形成为一个平行四边形．

【答案】2
【分析】设运动时间为t秒，则AP=t，QC=2t，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP=BQ，则得方程t=6-2t求解．
【详解】解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，
则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，
∵AD∥BC，
∴AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t=6-2t，
∴t=2，
当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．
综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
15．如图，中，对角线交于O，若，则______．

【答案】
【分析】过点A作AE⊥BD于E，设OE＝a，则AE＝a，OA＝2a，在直角三角形ADE中，利用勾股定理可得DE2+AE2＝AD2，进而可求出a的值，△ABD的面积可求出，由平行四边形的性质可知：ABCD的面积＝2S△ABD，即可求解
【详解】解：过点A作AE⊥BD于E，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOE＝60°，
设OE＝a，则AE＝a，OA＝2a，
∴DE＝5+a，
在直角三角形ADE中，由勾股定理可得DE2+AE2＝AD2，
∴（5+a）2+（a）2＝72，
解得：，
，
∴ABCD的面积＝2S△ABD＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，解题关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
16．在边长为1的正方形中，以各边为边向其外作等边三角形，得到，则四边形的面积为________．
【答案】
【分析】先证四边形EFGH是正方形，连接EG，求得EG的长，即可求出四边形EFGH的面积．
【详解】解：连接EG，分别交AB、DC于点M、N．

∵与都是等边三角形，
∴∠ABE=∠CBF=60°，AB=BE，CB=BF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC．
∴BE=BF，∠EBF=360°-90°-60°-60°=150°．
∴∠BEF=∠BFE=．
同理可证：∠HAE=150°，∠HEA=15°．
∴∠HEF=15°+60°+15°=90°．
同理可证：∠EHG=∠HGF=90°．
∴四边形EFGH是矩形．
在和中，
∴．
∴EH=EF．
∴矩形EFGH是正方形．
∴EG平分∠HEF．
∴∠HEG=45°，∴∠AEG=45°-15°=30°．
∴∠AME=90°．
∴．
∴．
同理：．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟知各种图形的判定和性质是解题的关键．
17．如图平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①FE＝GE；②AE＝GF；③AE⊥GF；④FE⊥GE；⑤∠ADB＝2∠CBE；⑥GF平分∠AGE，其中正确的有_____．

【答案】①③⑤⑥
【分析】根据平行四边形的性质可得证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BE⊥AC，根据直角三角形斜边中线定理得GE＝AB，由三角形中位线得EF＝CD，进而得到EG＝EF，可判断①；证明四边形AGEF是菱形可判断②③⑥；④易证BE⊥AE，四边形BEFG是平行四边形，由EG＝EF，要使EF⊥GE，则∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，没有条件AE＝BE，或∠BAC＝45°，可判断④；根据平行线的性质和等腰三角形的性质可判断⑤．
【详解】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD＝BC，DO＝BO＝BD，
∵BD＝2AD，
∴AD＝DO，BC＝BO，
∴△BOC是等腰三角形，

∵E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA＝90°，
∵G为AB中点，
∴EG＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF＝CD，
∴EG＝EF，
故①正确；
②连接AF，

Rt△AEB中，G是AB的中点，
∴EG＝AB＝AG，
∵EG＝EF，
∴AG＝EF，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF//CD，
∵AB//CD，
∴AG//EF，
∴四边形AGEF是菱形，
∴AE⊥FG，GF平分∠AGE，
故②错误，③⑥正确；
③∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF//DC，
∵DC//AB，
∴EF//AB，
∴∠EFG＝∠AGF，
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴∠EGF＝∠AGF，
∴GF平分∠AGE，故③正确；
④由①知：BE⊥AE，
由②、③得：EF//AB，EF＝CD＝AB＝BG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵EG＝EF，
∴要使EF⊥GE，则∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，
没有条件AE＝BE，或∠BAC＝45°，故④错误；
⑤∵AD//BC，
∴∠ADB＝∠CBD＝2∠CBE，
∴故⑤正确；
本题正确的有：①③⑤⑥．
故答案为：①③⑤⑥．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．
18．如下图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OBl为边作第三个正方形OBlB2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为_______．

【答案】
【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2020的坐标．
【详解】解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB=，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2=2，B2点坐标为（-2，2），
同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0），
B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），
B6（8，-8），B7（16，0）
B8（16，16），B9（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2020÷8=252…4，
∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，横坐标为负值，纵坐标是负值，
∴B2020的坐标为（21010，21010）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．
三、解答题
19．中，点E、F是上的两点，并且．求证：四边形是平行四边形．

【答案】证明见解析
【分析】如图，连接 交于 证明再证明从而可得结论.
【详解】证明：如图，连接 交于

,




四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质与判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是证题的关键.
20．如图，在线段的同侧作正方形和正方形，连接并延长交于M，过M作于N，交于P，若正方形的边长为1，四边形为菱形，求的长．

【答案】
【分析】先求证DM＝BG，之后在Rt△MCG中再利用勾股定理得到进而求出MG，再利用菱形的性质解答．
【详解】证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG均为正方形，四边形为菱形，
∴DC＝BC， ，∠C＝∠GBE＝90°，∠CDB＝∠CBD＝45°，MGBD，
∴∠CMG＝∠CDB＝45°，∠CGM＝∠CBD＝45°，
∴∠CMG＝∠CGM，
∴CM＝CG，
∴DM＝BG
设正方形BEFG的边长为x，
∵BGMP是菱形，
则DM＝BG＝MG＝x，MC＝CG＝1−x，
在Rt△MCG中，有 ，
即，
解这个方程得， ，
∵BE＜AB，
∴舍去．
∴BE＝MG=．
【点睛】本题是四边形综合题，考查的是菱形和正方形的性质及勾股定理，要充分利用题目所给的条件根据勾股定理解答．
21．如图，在四边形中，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？

【答案】分别需经过；或．理由见解析．
【分析】①设经过，，根据平行四边形的性质进行解答即可得，②设经过，，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F，当CF=EQ时，四边形PQCD为梯形（腰相等）或平行四边形，分情况解答即可得．
【详解】解：①设经过，，
此时四边形成为平行四边形，
∵，
∴，
解得，
∴当s时，且PQ=CD
②设经过，，
如图所示，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F，当CF=EQ时，四边形PQCD为梯形（腰相等）或平行四边形，

∵，
∴四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，
∵AD=24cm，BC=26cm，
∴（cm），
当四边形PQCD为梯形（腰相等）时，，
∴，
解得，
∴当s时，PQ=CD，
当四边形为平行四边形或梯形（腰相等），为平行四边形时有s，PQ=CD，
综上所述，当s时，；当s或s时，PQ=CD．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用平行四边形的性质．
22．正方形中，E为边上的任意一点，交边的延长线于点F，

①如图1，求证：；
②若直线分别交边于P、Q，如图2，求证：．
【答案】①见详解；②见详解
【分析】①根据正方形的性质证明，即可得到结论；
②连接EF，可得是等腰直角三角形，再证明四边形PDFQ是平行四边形，可得PQ=DF，PD=QF，根据三角形三边长关系，即可得到答案．
【详解】①证明：∵正方形中，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
又∵∠A=∠DCF，
∴，
∴；
②连接EF，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴EF=DF，
∵，，
∴PQ∥DF，
又∵PD∥QF，
∴四边形PDFQ是平行四边形，
∴PQ=DF，PD=QF，
∴EF=PQ，
∵QE+QF= QE+PD≥EF，即：．

【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造等腰直角三角形是解题的关键．
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．

（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足 时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形．
【答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝90°
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质“三线合一”可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再利用角平分线的定义得∠MAE=∠CAE，从而证得；然后根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”即可证明结论．
（2）假设当，先根据等腰三角形的性质由AB=AC得，再根据等腰直角三角形的性质得AD=DC，从而根据正方形的判定得四边形ADCE为正方形．
【详解】解：（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=，
∵AN是∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE=，
∴∠DAE=，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足时，四边形ADCE是一个正方形，理由如下；
∵AB＝AC，
∴，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形，
故当时，四边形ADCE是一个正方形．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定、等腰三角形的性质及角平分线的定义等知识点的综合运用．
24．如图，在 中，，过点 的直线MN//AB，为 边上一点，过点 作 ，垂足为点 ，交直线 于点 ，连接 ，．

（1）求证：；
（2）当 为 中点时，四边形 是什么特殊四边形?说明你的理由；
（3）在（）的条件下，当 的大小满足什么条件时，四边形 是正方形?请说明你的理由．
【答案】（1）见解析；（2）四边形 是菱形，理由见解析；（3）当 时，四边形 是正方形．理由见解析．
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）当=45°，由（）可知，四边形 是菱形，可得，则四边形BECD是正方形．
【详解】（1） ，
，
，
，
，
，即 ，
四边形 是平行四边形，
．
（2） 四边形 是菱形，
理由是： 点 为 中点，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，点 为 中点，
，
四边形 是菱形．
（3） 当 时，
，
，
由（）可知，四边形 是菱形，
，
，
四边形 是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
25．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

【答案】（1）见解析；（2）①；②
【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；
（2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在RtCDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝1cm；在RtAPE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝cm即可；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EFAB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∴EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝5cm，
在RtCDE中，DE＝＝4cm，
∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；
在RtAPE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，
∴EP2＝12+（3﹣EP）2，
解得：EP＝cm，
∴菱形BFEP的边长为cm；
②当点Q与点C重合时，如图2：
点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；
当点P与点A重合时，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．


【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
26．（1）作图发现：如图1，已知，小涵同学以AB、AC为边向外作等边和等边．连接BE，CD、这时他发现BE与CD的数量关系是______；

（2）拓展探究：如图2，已知，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得，，米，，求BE的距离．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）BE的距离为．
【分析】（1）利用等边三角形的性质得出，然后有，再利用SAS即可证明，则有；
（2）利用正方形的性质得出，然后有，再利用SAS即可证明，则有；
（3）根据前（2）问的启发，过作等腰直角，连接，，同样的方法证明，则有，在中利用勾股定理即可求出CD的值，则BE的值可求．
【详解】（1）如图1所示：

∵和都是等边三角形
∴，，
∴，即
在和中
∵
∴（SAS）
∴
（2）BE=CD ，理由如下：
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形
∴，，
∴
在和中
∵
∴（SAS）
∴

（3）如图3，
过作等腰直角，，连接，，
则米，，
米，

∴
即
在和中，
，
，

，
，
在中，米，米，
根据勾股定理得：（米），
则米．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，勾股定理应用，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．