高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积练习

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8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积
-----典例精讲

本节课知识点目录：
1、 圆柱的表面积；
2、 圆锥的表面积。
3、 圆台的表面积
4、 圆柱的体积；
5、 圆锥的体积。
6、 圆台的体积
7、 外接球
8、 内切球
9、 组合体
10、 旋转体的最值
11、 联考、模考题选

一、圆柱的表面积
底面积：S底＝2πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πr(r＋l)
【典型例题】
【例1】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴截面的形状和面积，求得底面圆半径和圆柱的高，再由圆柱的表面积公式求得结果.
【详解】根据题意，所得截面是边长为4的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为的圆，且高为4，
所以其表面积.
故选：B.
【例2】现利用一个正方形的硬纸片制作成一个圆柱的侧面，欲使这个圆柱的底面面积为，那么这个正方形纸片的面积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设底面圆半径为r，根据题意，可求得，进而可求得底面圆周长，即为正方形的边长，代入公式，即可得答案.
【详解】设底面圆半径为r，由题意得，解得，
所以底面圆周长，即正方形的边长为，
所以这个正方形纸片的面积为.故选：C
【例3】以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（       ）
A．8π B．4π C．8 D．4
【答案】A
【分析】根据题意求出圆柱的底面半径和高，直接求侧面积即可.
【详解】以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，
其底面半径r=2，高h=2，
故其侧面积为.故选：A
【例4】如图，AB，CD分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别取上下底面的圆心为，连接，可得平面，设圆柱上底面圆的半径为, 三棱锥的体积为,求出a，由圆柱的侧面积公式可得答案.
【详解】
分别取上下底面的圆心为，连接，则，
因为，所以，且，
所以平面，设圆柱上底面圆的半径为,则，
三棱锥的体积为,
解得，该圆柱的侧面积为，故选：C.
【例5】若一个圆柱的侧面积和它的两个底面积之和相等，则该圆柱的母线长与底面圆的半径的关系是（       ）
A． B． C． D．以上答案都有可能
【答案】A
【分析】根据圆柱侧面积和底面积公式可构造方程得到结果.
【详解】圆柱的侧面积和它的两个底面积之和相等，，.
故选：A.


【对点实战】
1.已知圆柱的底面半径是1，高是2，那么该圆柱的侧面积是（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆柱的侧面积公式直接可得.
【详解】。故选：D
2.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆柱的侧面展开图确定圆柱的底面半径和高，即可求出其体积.
【详解】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，
所以，，所以，所以圆柱的体积为.故选：C.
3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值．
【详解】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，，，
全面积为，而侧面积为，
所以全面积与侧面积之比这．
故选：A．
4.如图，已知圆柱底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是（       ）.

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】展开圆柱侧面，根据两点间直线距离最短求得正确结论.
【详解】展开圆柱的侧面如图所示，
由图可知小虫爬行路线的最短长度是.

故选：B
二、圆锥的表面积
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πr(r＋l)
【典型例题】
【例1】已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，从而求得侧面积
【详解】设圆锥的母线为，即侧面展开图的半径为
又圆锥的底面半径为1，则侧面展开图的弧长为，
又侧面展开图是半圆，则，则
所以该圆锥的侧面积为
故选：B
【例2】若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥的侧面积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件求得圆锥的底面半径和母线长，即可求解圆锥的侧面积.
【详解】设圆锥的轴截面的边长为，则，则，
得圆锥底面半径，母线，
则圆锥的侧面积.故选：D
【例3】在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得挖去的圆锥的母线长,从而求得圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，从而求得组合体的表面积.
【详解】挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于，
圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为，
所以组合体的表面积为.
故选：A


【例4】已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆锥的底半径为，母线为，高为，则，则由条件可得，由勾股定理可得，从而得出的最小值，得出答案.
【详解】设圆锥的底半径为，母线为，高为，则 由圆锥的底面圆心到母线的距离为2，则，即
又，所以，解得由，则
当，即时，最小值 则圆锥的侧面积为
故选：C
【例5】如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（       ）

A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为8
C．的取值范围是
D．若，E为线段上的动点，则的最小值为
【答案】AD
【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用，求范围即可判断C；利用图形展开及两点之间线段最短即可判断选项D.
【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径，
对于A，圆锥的侧面积为：，故A正确；
对于B，当时，的面积最大，此时，则三棱锥体积的最大值为：，故B错误；
对于C，当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值，又因为与不重合，则，又，可得，故C错误；
对于D，由，得，又，则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到，则为等边三角形，，如图可知，

因为，
，
则，故D正确；
故选：AD.

【对点实战】
1.已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（       ）
A． B．9 C．3 D．
【答案】A
【分析】根据圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，分别求得底面半径和母线长即可.
【详解】因为圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，
所以底面半径为，母线长为，
所以该圆锥的高为，故选：A.
2.已知圆锥的侧面展开图为一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（       ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据圆锥侧面展开图与本身圆锥的关系进行求解即可.
【详解】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为，
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则，解得，则圆锥的高.故选：D.
3.已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆锥底面半径为r，母线为l，根据题意可得，代入圆心角公式，即可得答案.
【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，则圆锥的侧面积为，
由题意得，解得，
所以圆锥底面圆的周长即侧面展开图扇形的弧长为，
所以该扇形的圆心角.故选：C
4.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是_____.
【答案】
【分析】根据圆锥的几何特征即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径为r，则母线长为，所以，则侧面积.
故答案为：.



三、圆台的表面积
上底面面积：S上底＝πr′2
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
【典型例题】
【例1】己知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的是（       ）
A．圆台的高为4 B．圆台的母线长为4
C．圆台的表面积为 D．球O的表面积为
【答案】BD
【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为，半径分别为,连接,利用平面几何知识得到，即可逐项计算求解.
【详解】设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆为圆台内切球的大圆，如图，
设圆台上、下底面圆心分别为，半径分别为，
则共线，且，连接，则分别平分，
故，故，解得，故圆台的高为,母线长为，圆台的表面积为，球的表面积，故选：BD
【例2】已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为2，高为，则该圆台的侧面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出圆台的母线长，再根据圆台的侧面积计算公式求解即可.
【详解】设圆台上、下底面的半径分别为，，高为h，母线长为l，则，
因此圆台的侧面积，
故选：D.
【例3】一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（       ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据圆台的侧面积公式可得答案.
【详解】设圆台的母线长为，上，下底面的半径分别为,则
圆台的侧面积为，解得 故选：C

【例4】已知圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180°，则这个圆台的侧面积为（     ）
A．600π B．300π
C．900π D．450π
【答案】A
【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解.
【详解】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有：，解
得，所以圆台的侧面积.故选：A
【例5】若圆台的高为4，母线长为5，侧面积为45π，则圆台的上、下底面的面积之和为（     ）
A．9π B．36π
C．45π D．81π
【答案】C
【分析】设圆台的两底面半径分别为,利用圆台侧面积公式求得，利用勾股定理求得，进而求得，然后利用圆的面积公式求得上下底面积的和.
【详解】设圆台的两底面半径分别为,则侧面积，∴；
又∵圆台的高为4，母线长为5，∴,即,∴,
∴,∴，
∴圆台的上下底面积的和为，故选：C
【例6】圆台上底半径为，下底半径为，母线，在上底面上，在下底面上，从中点拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子最短时长为（ ）
A．10cm B．25cm C．50cm D．cm
【答案】C
【分析】由题意需要画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，在求出最短的距离.
【详解】画出圆台的侧面展开图，

并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O.有图得所求的最短距离是，
设，圆心角是，则由题意知 ①， ②，
由①②解得，，，∴，，则.故选：C
【例7】已知圆台的上底面面积是下底面面积的倍，母线长为4，若圆台的侧面积为，则圆台的高为（       ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】设上底面的半径为，下底面的半径为，利用圆台的侧面积公式：，求出即可求解.
【详解】设上底面的半径为，因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍，
所以下底面的半径为，又母线长为4，圆台的侧面积为，
所以，解得，所以，
所以圆台的高为，故选：B．

【对点实战】
1.已知一个圆台的轴截面面积为6，轴截面的一个底角为30°，则这个圆台的侧面积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，圆台的高为，得到，即得解.
【详解】
设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，圆台的高为，
所以，由题得，
所以这个圆台的侧面积是.故选：B
2.若圆台的高为3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，其轴截面的一个底角为，则这个圆台的侧面积是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设圆台上底半径为r1，下底半径为r2，母线长为l，作出圆台的轴截面，求出，代入公式求出侧面积.
【详解】设圆台上底半径为r1，下底半径为r2，母线长为l，如图所示，

，解得：，
所以 .故选：B
3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】设圆台较小底面半径为r，由圆台的侧面积公式可计算出结果．
【详解】设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，
解得r＝7. 故选：B.
4.如图，已知扇环的内弧长为，外弧长为，扇环的宽为3，将该扇环卷成圆台，则该圆台的高为（            ）

A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求出圆台的上下底面的半径，再根据圆台的轴截面即可求得答案.
【详解】解：设圆台的上下底面的半径分别为r，R，则，所以，，所以，
作出圆台的轴截面，设圆台的高为h，根据题意圆台的母线长为3，所以，
即该圆台的高为.故选：A.


四、圆柱的体积
V圆柱＝Sh＝πr2h
【典型例题】
【例1】一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆柱的侧面展开图确定圆柱的底面半径和高，即可求出其体积.
【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，
因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，
所以，，所以，所以圆柱的体积为.故选：D.
【例2】圆柱的底面半径是6，高是10，平行于轴的截面在底面上截得的弦长等于底面的半径，则圆柱被截成的两部分中较大部分的体积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】圆柱被截成的两部分中较大部分是一个柱体，求出其底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．
【详解】解：∵圆柱的底面半径是6，平行于轴的截面在底面上截得的弦长等于底面的半径，
故该弦所对的优弧为，则圆柱被截成的两部分中较大部分是一个柱体，
其底面面积S＝，又由圆柱的高是10，
故柱体的体积.故选：A.
【例3】某工厂现将一棱长均为4的三棱柱毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为______．
【答案】
【分析】圆柱体体积最大时，圆柱的上下底面分别在三棱柱的上下底面上，且圆柱与三棱柱的侧面均相切.根据等边三角形求出其内切圆的半径，从而得出答案.
【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的上下底面分别在三棱柱的上下底面上，且圆柱与三棱柱的侧面均相切.
设圆柱的底面半径为，由题意可知圆柱底面圆即为三棱柱的底面等边三角形的内切圆.
如图所示：设为圆柱底面圆与三棱柱的底面等边三角形的一个切点，则为中点.
所以，即
圆柱体体积最大值为：
故答案为：．

【对点实战】
1.一个圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则这个圆柱的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面展开图是正方形，所以，由面积公式求出高h，再求出r，由体积公式可求出体积.
【详解】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，所以，所以，所以圆柱的体积为.故选C．
2.一个圆柱的轴截面是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，利用圆柱的轴截面面积求出的值，再利用柱体体积公式可求得该圆柱的体积.
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，该圆柱的轴截面面积为，解得，
因此，该圆柱的体积为.
故选：A.


五、圆锥的体积
V圆锥＝Sh＝πr2h
【典型例题】
【例1】已知某圆柱的底面积为，高为4，某母线长为8的圆锥的侧面积恰好与该圆柱的侧面积相等，则此圆锥的体积为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用圆柱与圆锥的侧面展开图面积相等，可得圆锥的半径，从而可得圆锥的体积.
【详解】设圆柱的底面圆半径为，圆锥的底面圆半径为，则，.
由圆柱与圆锥的侧面展开图面积相等，得，即，解得，
故此圆锥的体积.故选:C.
【例2】圆柱容器内部盛有高度为的水，若放入一个圆锥（圆锥的底面与圆柱的底面正好重合）后，水恰好淹没圆锥的顶部，则圆锥的高为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆柱的底面半径为r，圆锥的高为，根据体积关系列方程求解即可.
【详解】设圆柱的底面半径为r，圆锥的高为，有，
解得.故选:C.
【例3】已知圆锥的底面圆半径为1，侧面展开图扇形的面积为，那么该圆锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先通过底面圆半径和扇形面积计算出母线长，再计算出高，进而得到圆锥的体积.
【详解】圆锥的底面圆半径为1，底面圆周长为，又侧面展开图扇形的面积为，故母线长为，故圆锥的高，体积为.
故选：D.
【例4】某圆锥的母线长为3，侧面积为，则该圆锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆锥侧面积公式求出底面半径，进一步求出圆锥的高，再用公式求体积即可.
【详解】设圆锥的母线长和底面半径分别为l，r，则，解得，
所以圆锥的高，则该圆锥的体积.
故选：D
【例5】已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆锥的高为h，母线长为l，根据圆锥的侧面积公式求出，再利用勾股定理求出，最后根据体积公式计算可得；
【详解】解：设圆锥的高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积，故，故圆锥的体积．故选：C．
【例6】中国古代数学典籍《算数书》，记载有一个计算圆锥体积的近似公式：设圆锥底面周长为L，高为h，则其体积V的近似公式为，根据该公式圆锥底面周长与底面圆半径之比约为（       ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】C
【分析】由圆锥体积公式与近似公式可得的近似值，然后可得.
【详解】圆锥底面周长L与底面圆半径r之比，由圆锥体积可得，即，所以，所以圆锥底面周长与底面圆半径之比6.
故选：C．
【例7】已知圆锥的母线与底面半径之比为3，若一只蚂蚁从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为9，则该圆锥的体积为______.
【答案】
【分析】把圆锥的侧面展开图为扇形，则扇形的弧长即为最短距离，利用已知及弧长公式即可求出扇形圆心角，再利用最短距离即可求出圆锥的底面圆半径和高，最后直接用圆锥的体积公式即可求解.
【详解】设母线长为l，半径为r，侧面展开图的圆心角为θ，则，
由已知得，联立解得，
圆锥的侧面展开图为扇形如下图所示，从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为,

则，即，，
.故答案为：.

【例8】
【对点实战】
1.相同底面半径的圆柱和圆锥的体积相等，则圆柱与圆锥的高之比为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据圆柱和圆锥的体积公式即可求得答案.
设圆柱的高为，圆锥的高为，底面半径为r，
由题意得，有，故选：A
2.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知直角圆锥的底面圆半径为r等于高h，再由直角圆锥的侧面积求出底面圆的半径，即可求出其体积.
【详解】设该直角圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以，.
因为直角圆锥的侧面积为，所以，解得，
所以该直角圆锥的体积为.
故选：B.
3.若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥侧面积和体积公式求解即可.
【详解】设圆锥的高为，底面半径为，则，解得.
所以.则圆锥的体积.故选：B
4.已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（       ）
A． B． C．π D．
【答案】B
【分析】根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面圆半径为，故可得，解得，
设圆锥的高为，则，
则圆锥的体积.故选：B.
5.半径为 4 的半圆卷成一个圆锥， 则该圆锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆锥的体积公式，结合半圆与圆锥展开图的关系进行求解即可.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，
因为圆锥是由半径为 4 的半圆卷成，
所以，由，
由勾股定理可得：，
所以圆锥的体积为：，故选：C
6.现有一个橡皮泥制作的实心圆柱，其底面半径、高均为1，将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，则该圆锥的底面积为___________.
【答案】
【分析】先求出实心圆柱的体积，再求出圆锥的底面的半径，从而可求其底面积.
【详解】由题设可得实心圆柱的体积为，
设圆锥底面的半径为，则，如，
故该圆锥的底面积为，
故答案为：.
7.已知一个圆锥的母线长为20cm，当圆锥的体积最大时，圆锥的高为多少？
【答案】当圆锥的高为时体积最大，最大体积是．
【分析】设圆锥的底面半径为，高为，表示出圆锥的体积，利用导数判断函数的单调性求出函数的最大值即可．
【详解】解：设圆锥的底面半径为，高为，则，即，
圆锥的体积为：．．
，
当变化时，，的变化情况如下表：



，


0






由上表可知，当时，有最大值．
答：当圆锥的高为时体积最大，最大体积是．
六、圆台的体积
V圆台＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h
【典型例题】
【例1】某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设小锥体的底面半径为，大锥体的底面半径为，小锥体的高为，大锥体的高为为，通过表示大圆锥和小圆锥体积，作差可得圆台体积.
【详解】设小锥体的底面半径为，大锥体的底面半径为，小锥体的高为，大锥体的高为为，
则大圆锥的体积即为，整理得，
即小圆锥的体积为所以该圆台体积为故选：A.
【例2】已知圆台形的木桶的上、下底面的半径分别为4和2，木桶的高为，则该木桶的侧面展开成的扇环所对的圆心角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将圆台补成圆锥，即可求出圆锥的母线，再根据弧长公式计算可得；
【详解】解：如图，将圆台补成圆锥，则，，，

所以，，由圆锥的结构特征可知，
所以该木桶的侧面展开成的扇环的外圆的周长为，而扇形所对外圆弧的长为，
所以侧面展开成的扇环所对的圆心角为．故选：A．
【例3】若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆台的体积公式代入求解即可.
【详解】由公式，可知：该圆台的体积为．
故选：C
【例4】已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为（       ）（注：圆台的体积）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆台的体积公式求出圆台的高，再根据圆台轴截面性质，利用勾股定理求出母线长即可.
【详解】依题意，圆台的体积，
解得，故圆台的母线长，故选: ．
【例5】紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.
【详解】解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，
圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，
可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，
设大圆锥的高为，所以，解得：，
则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，
所以该壶的容积.
故选：B.

【对点实战】
1.已知圆台上､下底面的半径分别为1和2，表面积为，则这个圆台的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆台的上下底面积可计算出其上下底面的半径与周长，根据周长之比计算出展开图的扇形半径之比，根据扇环的面积求出母线l的长度，由两个半径、高、母线构成的直角梯形中求出圆台的高，带入圆台的体积公式即可得出答案．
【详解】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为

如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长，大扇形弧长， 由知道，上底面的面积为，下底面的面积为，
则圆台的侧面积，
解得，所以高，圆台的体积， 故选：C.
2.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（       ）


A．该圆台轴截面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的母线与下底面所成的角为30°
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
【答案】ABD
【分析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断A；由台体的体积公式可判断B；由台体的母线与高可判断C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断D.
【详解】解：由，且，可得，高，
则圆台轴截面面积为，故A正确；
圆台的体积为，故B正确；
圆台的母线与下底面所成的角为，其正弦值为，所以，故C错误；
由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角为，
设的中点为，连接，可得，，，
则，所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故D正确.
故选：ABD.
3.已知轴截面为正三角形的圆锥，它的内切球的半径为R．若以圆锥的底面为下底面、用平行于圆锥底面的平面截圆锥所得的截面为上底面的圆台的体积是圆锥的体积与它的内切球的体积的差，则该圆台的高为______．
【答案】
【分析】求出圆锥的底面半径和高，从而由题意求得圆台的体积，表示出圆台的上底面半径和高，根据圆台的体积公式，列出方程，解得答案.
【详解】作出圆锥和球的轴截面如图所示，
则圆锥底面半径，圆锥高，圆锥母线，
所以 ,设内接圆台的上底面半径为，下底面半径，
则高，所以，
所以，所以，
解得，所以,故该圆台的高为,故答案为：
4.
如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则该圆台的体积为_________；侧面积为_________．

【答案】         
【分析】将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，则圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥体积，圆台侧面积为大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积.
【详解】将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，大小圆锥的顶点为，如图所示，在经过的轴截面上，从点做垂线于，显然且.
∵，∴，，
又∵∴为的边的中位线，∵，得
则，解得∴
则圆台的体积为圆为底，高为的圆锥体积减去以圆为底，高为的圆锥体积，即
圆台的侧面积.故答案为：；.

七、外接球
【典型例题】
【例1】已知球的内接圆柱（圆柱的底面圆周在球面上）的高恰好是球的半径，则圆柱侧面积与球的表面积之比为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，圆柱的高为R，可得，即求.
【详解】设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，圆柱的高为R，如图为圆柱的轴截面，
则，又圆柱的侧面积为，球的表面积为，
∴圆柱侧面积与球的表面积之比为.故选：B.
【例2】已知圆锥底面圆半径为2，母线与底面成角为60°，则圆锥侧面积为__________，若圆锥底面圆周及顶点均在一球上，则该球体积为__________.
【答案】         
【分析】求出圆锥的母线长可得侧面积，求出圆锥轴截面三角形外接圆半径即圆锥外接球半径，从而可得球体积．
【详解】如图，是圆锥的轴截面，由题意，，则，
侧面积为；
的外接圆半径为，即为圆锥外接球半径，
所以球体积为．
故答案为：；．

【例3】如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上.若球的体积为，圆柱的高为，则圆锥的体积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作球的截面大圆，得圆柱、圆锥的轴截面，由此求得圆锥的底面半径和高．
【详解】过球心作截面，得圆柱、圆锥轴截面，如图，球半径为，则，，
圆柱的高，则，，，
圆锥体积为．故选：D．


【例4】在三棱锥中，平面平面，，，，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为___________.
【答案】
【分析】设的外心为，半径，三棱锥的外接球球心，半径，应用线面垂直的性质及矩形、外接球的性质，结合正弦定理即可求、，由求出，即可求外接球表面积.
【详解】设的外心为，半径，三棱锥的外接球球心，半径，
过作的平行线，过作的平行线，两条直线交于，
∵面面，面面，，面，
∴平面，又平面，
∴，则四边形为矩形，而，即为中点，即，
在中，由正弦定理得：，所以，
∵，∴.故答案为：.
【例5】我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.

【答案】
【分析】由已知得，球心在上下底面中心的连线上，该连线与上下底面垂直，球心必在该垂线上，然后根据，利用直角三角形与直角三角形，即可列出外接球半径的方程，求解即可.
【详解】假设为刍童外接球的球心，连接、交于点，连接、交于点，由球的几何性质可知、、在同一条直线上，
由题意可知，平面，平面，，
设，在中，，在矩形中，，
，，在中，，
在矩形中，，，，
设外接球半径，，解得，
则，即，则该刍童的外接球半径为该刍童外接球的表面积为：，
故答案为：.
【例6】正四面体和边长为1的正方体有公共顶点，，则该正四面体的外接球的体积为______，线段长度的取值范围为_______.
【答案】         
【分析】由图可知正四面体的外接球的体积等于正方体的外接球的体积，求正方体外接球体积即可；点在以的中点圆心，以为半径的圆上，线段长度最小为点到圆心的距离减去半径，最大为点到圆心的距离加上半径，代入数据求解即可.
【详解】
如图，由题可得正四面体与正四面体全等，所以正四面体的外接球的体积等于正四面体的外接球的体积，也即是正方体的外接球的体积，因为正方体棱长为1，所以外接球直径为，所以正方体的外接球的体积为：，所以正四面体的外接球的体积为；
分析可知点在以的中点圆心，以为半径的圆上，，由点在圆内，且，所以长度最小为，长度最大为，所以长度的取值范围为.故答案为：；.

【对点实战】
1.边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为______.
【答案】
【分析】根据给定条件结合球的截面小圆性质求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.
【详解】因边长为3的正方形的四个顶点都在球上，则正方形的外接圆是球O的截面小圆，其半径为，
令正方形的外接圆圆心为，由球面的截面小圆性质知是直角三角形，且有，
而与对角线的夹角为45°，即是等腰直角三角形，球O半径，
所以球的体积为.故答案为：
2.一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为______.
【答案】
【分析】画出正四棱锥及对角截面，找到外接球的球心，设，利用PO=OB=r建立方程，求出，进而求出半径和球的表面积.
【详解】如图所示，正四棱锥P-ABCD，PE为正四棱锥的高，因为正四棱锥的顶点都在同一球面上，所以外接球球心一定在该棱锥的高上，设球心为O，半径为r，连接EB，OB，则EB为正方形ABCD对角线的一半，PO=OB=r.
因为棱锥的高为，底面边长为，所以PE=2，BE=，设，则，
由勾股定理得：，所以，解得：，所以，所以该球的表面积为

故答案为：.
3.已知圆台的上下底面的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（       ）
A．50π B．100π C．150π D．200π
【答案】B
【分析】由题中条件得到圆台的高，再分圆台的两个底面在球心异侧与同侧两种情况讨论即可得到答案.
【详解】由题得圆台的高为，设圆台的上下底面圆心为，，球的半径为.
当圆台的两个底面在球心异侧时，，
，解得；
当圆台的两个底面在球心同侧时，，，解得，(舍)，
故球的表面积为.
故选：B．
4.如图，在中，，，是的角平分线，沿将折起到的位置，使得平面平面.若，则三棱锥外接球的表面积是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题中的条件求出的三边，再求外接圆的半径，最后通过构造直角三角形求出外接球的半径即可.
【详解】过点作，连接.
设，则，，.
在中，由余弦定理可得.
因为平面平面，所以平面，
所以，则，从而.
在中，由余弦定理可得.
因为是的角平分线，所以，.
因为，且，
所以.
设外接圆的圆心为，半径为，则，点到直线的距离.
设三棱锥外接球的球心为，半径为，则，即，解得，故三棱锥外接球的表面积是.故选：A

八、内切球
棱锥内切球的问题，多用等体积法求解。
【典型例题】
【例1】四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】画出直观图，梳理条件，再画出截面图，从中找到等量关系，求出外接球半径，从而求出外接球的表面积.
【详解】如图1所示，正四面体ABCD中，AH⊥底面BCD，E、F、G、K为四个球的球心，M为CD中点，连接BM，AM，易知B、H、M三点共线，直线AH交平面EFG于点，连接，交GF于点N，则N为GF的中点，因为内切球半径为2，故EF=4，画出截面ABM如图2所示，正四棱锥EFGK外接球球心设为O，则正四面体ABCD的外接球球心与正四面体EFGK外接球球心重合，设正四面体ABCD的外接球半径为R，正四面体EFGK外接球半径为r，在图2中，EK=4，，，，所以
由，即，解得：
所以过点E作EP⊥BM于点P，则EP=2则△BEP∽△
∴，解得：∴
∴正四面体ABCD的外接球表面积
故选：A
【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为
A． B．36 C． D．
【答案】B
【分析】利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱长，可求得正方体的棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果.
【详解】设正方体的棱长为，则，因为三棱锥内切球的表面积为，
所以三棱锥内切球的半径为1，设内切球的球心为，
到面的距离为，则，，，
又，，
又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，正方体外接球的半径为，
其体积为，故选B.
【例3】大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案.
【详解】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为
所以球的体积为, 表面积为.
圆柱的体积为：,所以其体积之比为：
圆柱的侧面积为：, 圆柱的表面积为：
所以其表面积之比为： 故选：C
【例4】已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】根据题意可得该圆柱的内切球的半径为，设内切球为球，当正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长最大，所以等价于已知球的半径为，求内接正四面体的棱长即可.
【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，母线长为，所以圆柱的底面圆直径和高都是，
所以该圆柱的内切球的半径为，如图球即为该圆柱的内切球，
若该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，
则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长最大，
如图该正四面体的棱长为，
设点在面内的射影为，即面，
则球心在上，且，
，所以，
所以，
在中，，即 ，
整理可得：，解得或(舍) ，所以的最大值为，
故选：D


【例5】将棱长为的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为______.
【答案】##
【分析】求出正方体的内切球的半径后可求体积
【详解】将棱长为的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球为原正方体的内切球，
故其半径为，故体积为.故答案为：
【例6】已知以正方体6个表面的中心为顶点，形成一个八面体，该八面体的内切球的体积与正方体的外接球的体积比为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考虑八面体的上面一部分为正四棱锥，在该几何体内部考虑与半球相切，求得球的半径，即可求得答案.
【详解】考虑八面体的上半部分为正四棱锥 ，如图：

设正方体棱长为2，则底面正四边形边长为，
设M为内切球的球心，
侧面正三角形边长为，故侧面上的高为，
设T为八面体的内切球与面PEF的切点，则T落在PN上，连接MT,则 ,
故 ,即有 ,即，又，，
设正八面体内切球半径为r，故：，
又正方体外接球直径为正方体的体对角线长，故外接球半径为，
设八面体的内切球的体积与正方体的外接球的体积分别为 ,
故：,故选：C.
【对点实战】
1.正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面投影是底面中心）的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球表面积是___________.
【答案】
【分析】用等体积法先求出内切球的半径，进而算出球的表面积.
【详解】如示意图，正三棱锥P-ABC，点O为内切球球心，底面ABC，D为BC的中点，球O与底面ABC，侧面PBC分别切于，于是.

因为正三角形ABC边长为，所以易知为正三角形ABC的重心，所以所以,所以.
所以，所以球O的表面积为：.
故答案为：.
2.已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】采用补形法得正方体，作出图形，找出内切球，外接球球心，由几何关系知：两点间距离的最小值为，易求外接圆半径，结合等体积法可求出内切圆半径和，进而得解.
【详解】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示.
设三棱锥内切球球心为，外接球球心为，内切球与平面的切点为，
易知：三点均在上，且平面，
设内切球的半径为，外接球的半径为，则.

由等体积法：，得，
由等体积法：，得，
将几何体沿截面切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最大截面，
∴两点间距离的最小值为.故选：B.
3.已知球O为正方体的内切球，平面截球O的面积为，则正方体的棱长为（        ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【分析】平面截球O得到的面为的内切圆，设出棱长后，由平面表示出内切圆半径，即可解出棱长.
【详解】
设正方体的棱长为，则，内切球的半径为，设内切球的球心在平面上的投影为，由为等边三角形
知为等边三角形的重心，则，又，所以球心到平面的距离为，
又平面，所以截面圆的半径为：，截面圆的面积为，解得.
故选：D.
4.已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设三棱柱的高为h，内切球O的半径为r，通过内切球的半径可求出h，再求得，由体积公式即可求解三棱锥的体积．
【详解】解：设直三棱柱的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r，
由题意可知球O的表面积为，解得r＝2，∴h＝4，
又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4，
∴连接OA，OB，OC，可将直三棱柱分成5个棱锥，
即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，
两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，
∴由体积相等可得直三棱柱的体积为h＝ahr＋bhr＋chr＋2×r，
即4＝（a＋b＋c）hr＋，∴＝，
∴三棱锥的体积为h＝×4×4＝故选：B．

九、组合体
【典型例题】
【例1】已知在菱形中，，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，且使得棱，则三棱锥的外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设外接球的球心为，等边三角形的中心为，取的中点，证得平面，在平面中，过点作的垂线，与的延长线交于点，证得平面，得到四边形是矩形，设外接球的半径为，根据和，求得球的半径，结合表面积公式，即可求解.
【详解】由题意可知，为等边三角形，如图所示，
设外接球的球心为，等边三角形的中心为，
取的中点，连接，，，，，，
由，可得，，
又因为，所以平面，
且可求得，而，所以，
在平面中，过点作的垂线，与的延长线交于点，
由平面，可得，
又由，，所以平面，
过点作于点，则四边形是矩形，
又因为，
所以，，.
设外接球的半径为，，则由，，
可得，，解得，，
故三棱锥外接球的表面积.故选：C.

【例2】在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
在中由余弦定理求得，即知为等边三角形，又由已知，若的外接圆的圆心为有为菱形，则平面ABC，进而确定外接球球心O，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可.
【详解】在中，，即，又，
∴为等边三角形
根据题意，有如下示意图：

如图，设的外接圆的圆心为，连接，，，连接PH.
由题意可得，且，.
∴由上知：且，又，
∴，由，平面ABC.
设O为三棱锥外接球的球心，连接，，OC过O作，垂足为D，则外接球的半径R满足，， ，代入解得，即有，
∴三棱锥外接球的表面积为.故选：A.
【例3】如图，圆锥的底面直径和高均为，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求圆柱底面半径和高，再分别求圆锥和圆柱的体积，即可计算剩下的几何体的体积.
【详解】因为点是的中点，所以圆柱的底面直径为，高，
圆锥的体积，圆柱的体积，
所以剩下的几何体的体积.故选：B
【例4】唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为,设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则（       ）

A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】设酒杯上部分（圆柱）的高为，球的半径为，则酒杯下部分（半球）的表面积为，结合圆柱和球的体积公式，即可求解.
【详解】设酒杯上部分（圆柱）的高为，
球的半径为，则酒杯下部分（半球）的表面积为，
酒杯内壁表面积为，得圆柱侧面积为，
酒杯上部分（圆柱）的表面积为，解得
酒杯下部分（半球）的体积
酒杯上部分（圆柱）的体积所以.故选：A.
【例5】如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为的半球，下面大圆刚好与高度为6的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥的体积可以为（       ）

A．10π B．30π C．35π D．40π
【答案】AB
【分析】根据给定条件求出半球半径，再利用球面的截面小圆性质用小圆锥底面圆心到球心距离h
表示小圆锥底面圆半径，列出小圆锥体积的函数关系，借助导数求出最大值判断作答.
【详解】设上部分的半球半径为R，则有，解得，
设小圆锥的底面半径为r，小圆锥底面圆心到球心距离为h，则r，h，R构成直角三角形，即，
小圆锥的体积，令，
则，当时，，当时，，
因此，在上单调递增，在上单调递减，则当时， ，，
所以，即，显然C，D不满足题意，A，B满足题意.
故选：AB
【例6】如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若四棱锥的表面积为，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设球、半球的半径分别为、，设正方体的下底面的中心为，连接，根据已知条件求出的值，根据几何体的对称性知球的球心在线段上，进而可得出关于的方程，求出的值，利用球体的表面积公式可求得球的表面积.
【详解】设球、半球的半径分别为、，
则由正方体与半球的位置关系易知正方体的棱长为，
设正方体的下底面的中心为，连接，则四棱锥的高，
易知四棱锥为正四棱锥，则其斜高为，
由题意得，得，
根据几何体的对称性知球的球心在线段上，连接、，

在中，，，，
由勾股定理得，则，解得，
因此，球的表面积，故选：B.
【对点实战】
1.已知三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，且，，若已知，，，，则球O的体积是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
由余弦定理求，再由正弦定理求△的外接圆半径，又面知△的外接圆的圆心与所构成的截面必过三棱锥外接球的球心，即可求出球的半径，根据球的体积公式求体积即可.
【详解】由，，， 则由余弦定理有：
，即，
∴由正弦定理知△的外接圆半径：，
由题意知：面，又，三棱锥的外接球半径：
，由球的体积公式，有：，故选：C
2.如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是0.24m．要对1个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（       ）克


A．340π B．440π C．4600π D．6600π
【答案】C
【分析】求出圆锥的侧面积和半球面的面积后，然后乘以100，再乘以1可得．
【详解】由题意圆锥的母线长为，
所以台灯表面积为，
需胶重量为（克）．故选：C．
3.高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为24a，下底面直径为18a，母线长为13a，则该篮球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先画出球与垃圾篓组合体的轴截面图，然后根据题意求出垃圾篓的高，从而可求出球心到上底面的距离，进而可求出球的半径，于是可求得球的表面积
【详解】球与垃圾篓组合体的轴截面图如图所示.

根据题意，得垃圾篓的高为.
所以球心到上底面的距离为.设篮球的半径为r，则.
故篮球的表面积为.故选：D.
4.冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体，若圆锥部分的侧面展开图是面积为的半圆形，则该冰激凌的体积为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意列出方程组，求得的值，得出，结合圆锥的体积公式，即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
根据题意，可得，解得，所以，
故该冰激凌的体积.故选：A.

十、旋转体的最值
【典型例题】
【例1】一圆锥的内部装有一个小球，若小球的体积为，则该圆锥侧面积的最小值是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意考查球与圆锥相切的情况，然后结合均值不等式的结论即可求得圆锥侧面积的最小值.
【详解】满足题意时，圆锥与球相切，其纵截面如图所示，

设圆锥的底面半径，母线长，内切球半径，
由小球的体积为可知其半径为，
利用等面积法可得：，
故，       ①
不妨设，代入①式整理可得：，
则圆锥的侧面积的平方：
，
故，当且仅当时等号成立.故选C.
【例2】已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，现要在圆锥内部放置一个圆柱，要求圆柱的一个底面要放在圆锥的底面内，则能放置圆柱的最大体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件求出圆锥的底面半径和高，画出轴截面，设圆柱的底面半径为，则利用三角函数可表示出圆柱的高，从而可表示出圆柱的体积，进而可求出其最大值
【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，
所以圆锥的底面半径为，高为，
要使圆柱的体积最大，就要使圆柱与圆锥相切，
则组合体和轴截面如图所示，

则，
设圆柱的底面半径为（），则，，
所以，所以圆柱的体积为，（），则，令，得（舍去）或，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值，
所以圆柱的最大体积为，故选：A
【例3】已知某圆锥的底面半径为2，母线长为4，该圆锥有一内接圆柱，要使圆柱的体积最大，则圆柱的底面半径应为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件列出关于圆柱体积与圆柱底面圆半径之间的表达式，利用导数判断函数的单调调性，进而求其最值即可.
【详解】下图为此几何体的轴截面，设圆柱的底面圆半径为，母线长为，
由已知条件得,
∵△∽△, ∴, 即，其中，
∴圆柱的体积为，又∵，
∴函数在上为单调递增，在上单调递减，
∴函数在时，圆柱的体积取得最大值.故选：.
【例4】已知经过圆锥的顶点与底面圆心的截面是边长为的正三角形，一个圆柱的下底面在该圆锥的底面上，上底面圆周在该圆锥的侧面上，则该圆柱的体积的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用相似比得出，再由圆柱的体积公式即可求解.
【详解】由题意设圆柱的底面半径为（），高为，
所以，解得，
所以圆柱的体积，，令，解得，
，解得，，解得，所以函数在上单调递增；在上单调递减；
所以.故选：C

【例5】某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左右两端均为半球形，其半径为r，若其表面积为S，则胶囊的体积V取最大值时(     )

A． B． C． D．
考点29 几何体的体积-备战2022年高考数学典型试题解读与变式
【答案】A
【分析】由圆柱和球的表面积公式将l用r和S表示出来，再代入圆柱体积和球体积公式，表示出胶囊的体积V，利用求导求出V的最大值及此时r的值.
【详解】依题意，，故
，当时，，取最大值．故选：A

【例6】已知圆锥的底面半径为，若其底面上存在两点，使得，则该圆锥侧面积的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据可确定，由圆锥侧面积公式可求得最大值.
【详解】设圆锥的母线长为，
，，又（当且仅当为底面圆直径时取等号），
，即，
圆锥侧面积，即所求最大值为.故选：A.

【对点实战】
1.在底面直径和高均为的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大侧面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出圆锥的轴截面，设内接圆柱的高为，底面半径为，根据三角形相似求出，从而把圆柱的侧面积表示为的二次函数，利用二次函数求最大值.
【详解】如图，作出圆锥的轴截面，设内接圆柱的高为，底面半径为，
则根据三角形相似，可得，解得，
所以内接圆柱的侧面积为，
当且仅当时，侧面积有最大值.

故选：B．
2.．将周长为4的矩形绕旋转一周所得圆柱体积最大时，矩形的面积为（       ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】设，求圆柱的体积关于x的函数的解析式，在利用导数求其最大值，并确定体积取最大值时x的值，由此可求对应的矩形的面积.
【详解】设，因为矩形周长为4，则，所以将周长为4的矩形绕旋转一周所得圆柱体积为，，则，由得，解得；由得，解得，所以在上单调递增；在上单调递减，所以当，即，时，取得最大值，矩形的面积为，
故选D．
3.内接于半径R的球且体积最大的圆柱体的高为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可.
【详解】根据题意，设圆柱底面半径为，圆柱的高为，作出示意图如下所示：
显然满足，
故圆柱的体积，故可得，
令，解得，故此时单调递增，
令，解得，故此时单调递减.
故.即当时，圆柱的体积最大.故选：A.
4.圆柱的表面积为，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为（       ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设圆柱的底面半径为，高为，根据圆柱的表面积可得与的关系，再将圆柱的体积表示成关于的函数，利用导数判断单调性即可求解.
【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的表面积为，
所以，可得：，
所以圆柱的体积为：，
所以，
当时，；当时，，
所以当时，最大，
所以当圆柱的底面半径为时，圆柱的体积最大，故选：A.
5.一个圆锥底面半径为，高为，（1）则该圆锥的表面积为______.（2）则该圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值______.．
【答案】         
【分析】（1）勾股定理求母线长，然后由公式可得；
（2）结合图形根据相似三角形的正四棱柱底面对角线的一半与高的关系，将表面积表示成底面对角线的一半的函数，由二次函数性质可得.
【详解】（1）由题意可知，圆锥的母线长为，
所以该圆锥的表面积为；
（2）如下图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x，，，即，解得，

正四棱柱的底面是一个正方形，其底边长为，底面积为，所以，四棱柱的表面积为，由二次函数的基本性质可知，当时，正四棱柱的表面积S有最大值，即.
故答案为：，

十一、联赛、联考与自主招生题选
【例1】两个不同的圆锥的底面是球O的同一截面，顶点均在球O表面上，若球O的体积为V，则这两个圆锥体积之和的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设球半径为，两个圆锥中较小的高为，由圆截面性质求得圆锥底面半径，再得两个圆锥体积和，记为，由二次函数性质得最大值．
【详解】设球半径为，两个圆锥中较小的高为，则另一个圆锥的高为，
圆锥底面半径为，则，，
两个圆锥的体积和为，
所以时，，
，因此．故选：B．
【例2】已知一个圆锥的体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果.
【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，
所以，圆锥的体积，解得，
所以该圆锥的侧面积为.故选：B




结束