高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用随堂练习题

6.4.4.1余弦定理    

本节课知识点目录：

1、余弦定理1；已知两边及一角解三角形

2、余弦定理2；已知三边解三角形

3、余弦定理3；无边长求角。

4、余弦定理4；均值和余弦定理结合求最值范围

5、余弦定理5；与向量结合

6、余弦定理6；与面积结合

7、李用余弦定理判断三角形形状

8、余弦定理与中线、角平分线等应用

9、综合

一、余弦定理1：已知两边及一角解三角

【典型例题】

【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b=（       ）

A． B． C．3 D．或3

【例2】在中，角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（     ）

A．3 B． C． D．3

【例3】在中，若，，，则边（       ）

A．4 B．16 C． D．10

【例4】．在中，的对边分别为，已知，则（       ）

A． B． C． D．

【例5】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（       ）

A． B． C． D．或

【对点实战】

1.在中，，则（       ）

A．3 B． C． D．

2.在中，如果，，，那么等于（       ）

A． B． C． D．

3.在中，已知，则（       ）

A． B． C． D．

4.已知的内角所对的边分别为若，则=（       ）

A． B． C． D．

5.在中，，，，则（     ）

A． B． C．或 D．无解

6.在锐角中，，，且，则______．

二、余弦定理2：已知三边解三角形

【典型例题】

【例1】在三角形中，，则大小为（       ）

A． B． C． D．

【例2】已知的内角所对的边分别为，若，则（       ）

A． B． C． D．

【例3】下列选项中，能构成钝角三角形的三边长的选项是（       ）

A． B． C． D．

【例4】若的三边满足，则最小的内角余弦值为_____.

【例5】在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小．

【例6】在钝角中，，，，，则的取值范围是______．

【对点实战】

1.．已知的内角所对的边分别为，若，则为（       ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

2.在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小．

3.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD＝________．

4.已知三角形的三边之比为5：7：8，则该三角形最大角的余弦值是_____________.

5.在中，角所对的边分别为，若，，，则角C的大小为__________．

三、余弦定理3：无边长求角

【典型例题】

【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则 （       ）

A． B． C． D．

【例2】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则角（       ）

A． B． C． D．或

【例3】在中，若，则等于（       ）

A． B．或 C． D．

【例4】在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是（       ）

A． B． C． D．

【例5】在中，若，则（       ）

A． B． C． D．

【对点实战】

1.已知是三边之长，若满足等式，则等于（       ）

A． B． C． D．

2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则角的值为

A． B．

C．或 D．或

3.在△中，三边、、所对的角分别为、、，若，则角的大小为_________．

4.已知的三边长为，，，若满足，则角大小为______．

四、余弦定理4：均值和余弦结合求最值范围

【典型例题】

【例1】在钝角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则最大边的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【例2】若锐角的边长分别为、、，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【例3】在中，角所对的边分别为，且，若，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【例4】．已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（       ）

A． B．为锐角三角形

C． D．

【例5】（多选）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B可以是（       ）

A． B． C． D．

【例6】在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且，则B的取值范围是___________.

【例7】在中，，则取最小值时，___________．

【对点实战】

1.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（       ）

A． B． C． D．

2.（多选）已知的内角所对的边分别为，若，则的取值可以是

A． B． C． D．

3.（多选）设的内角所对的边为，则下列命题正确的有（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

4.在中，设边所对的角为，若，则的最大值为________．

5.设的内角所对的边分别为，已知，则的最大值为_________ .

6.已知锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为____________．

7.若，，为钝角三角形的三边长，求实数a的取值范围.

五、余弦定理5：与向量结合

【典型例题】

【例1】已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，若，则角C的大小为（　　）

A． B． C． D．

【例2】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，若，则角的大小为（       ）

A． B． C． D．

【例3】在平行四边形中，，，，是线段的中点，则（       ）

A． B． C． D．

【例4】在中，，则的最小角的余弦值为______.

【例5】在中，角所对的边分别为，若，，若，的周长为，的面积为，则的值是______.

【对点实战】

1.如图，已知为中的角平分线，若，，则（       ）

A． B． C． D．

2.在中，内角A､B､C所对的边分别是a､b､c.若，，则___________.

3.在中，已知，则________________．

六、余弦定理6：与面积结合

三角形面积公式的应用：

(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

(2)与面积有关的问题，一般要用到余弦定理进行边和角的转化．

【典型例题】

【例1】在中，，，的面积为，则为（       ）．A． B． C． D．

【例2】已知的三边上高的长度比分别为，若的最短边与最长边的长度和为，则面积为

A． B． C． D．

【例3】已知、、分别为内角、、的对边，，，，则的面积为__________.

【例4】在中，，，，则的内切圆面积为_________

【例5】已知的面积为，且，，则的长为________.

【对点实战】

1.在中，若，三角形的面积，则B角为________.

2.已知锐角三角形内接于单位圆，且，则面积的最大值是___________.

七、利用余弦定理判断三角形形状

【典型例题】

【例1】在中，若，则的形状一定是（       ）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【例2】在中，，则此三角形必是（       ）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．钝角三角形

【例3】在中，已知，则的形状是（       ）

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形

【例4】在中，角，，所对的边分别是，，，若，则的形状一定是（       ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

【例5】在中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，则是（       ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【对点实战】

1.在中，，则一定是（       ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形

2.（多选）在中，，，，则角的可能取值为（       ）

A． B． C． D．

3.（多选）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（       ）

A．5 B． C． D．6

八、余弦定理与中线角平分线等应用

【典型例题】

【例1】在中，，，，角的平分线与边交于点，则（       ）

A． B． C． D．

【例2】．的内角，，的对边分别是，，.已知，，边上的中线长度为，则（       ）

A． B． C．1 D．

【例3】在中，若，则边上的中线的长为___________.

【例4】在中，为中点，，且，则________．

【例5】在中，点是边的中点，，，则的最大值为___________.

【例6】在中，已知，的平分线交于，且，，则的面积为_________.

【例7】在中，，，D为BC中点，则AD最长为_________.

【对点实战】

1.在中，为的平分线，，则等于_____________．

2.已知分别是三个内角的对边，边上的中线长记为，则___________（用表示结果）．

3.在中，，，，则的角平分线的长为______．

4.在中，已知，则边上的中线长度为__________.

5.   在中，角，所对的边分别为，已知，，，则边上的中线长_________．

九、综合

【典型例题】

【例1】在中，角，，的对边分别是，，，若，则与的大小关系是

A． B． C． D．不能确定

【例2】．在四边形中，，，，，则的长为（       ）

A． B． C． D．

【例3】已知在中，角A，，的对边分别为，，，若，且，则（       ）

A． B． C． D．

【例4】（多选）在中，边所对的角分别为，若，则

A． B． C． D．

【例5】（多选）在中，角的对边分别为，若，则角可为（       ）

A． B． C． D．

【例6】在平面四边形中，，，，，，则__________.

【例7】在中，为边上一点，，，，若，则__________．

【例8】如图，，，，则______.