2021-2022学年江苏省扬州市江都区七年级（下）期末数学试卷(含解析)

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2021-2022学年江苏省扬州市江都区七年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若，则下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图能说明的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列命题中，属于真命题的是(    )

A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么或

6. 班级要用元钱买、两种型号的口罩，两种型号口罩必须都买，已知型口罩每个元，型口罩每个元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

7. 被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等只雀、只燕重量为斤．问雀、燕毎只各重多少斤？”设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 若关于的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9. 冠状病毒是目前已知的第种可以感染人的冠状病毒，病毒颗粒的平均直径约为纳米．已知纳米米，则纳米用科学记数法表示为______米．
10. 计算的结果是______．
11. 已知，则的值为______．
12. 已知，，则______．
13. 若，，则______．
14. 我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形．如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则______

15. 如图，把一张长方形纸条沿折叠．若，则______

16. 观察：第个等式，第个等式，第个等式，第个等式猜想：第个等式是______．
17. 一个三角形的周长为，其中两边长分别是、，则的取值范围是______．
18. 规定，若、满足，，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 因式分解：
    ；
    ．
21. 先化简，再求值：，其中，满足．
22. 解方程组：
    ；
    ．
23. 解下列不等式组：
    解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来；
    解不等式组．
24. 已知：如图，，．
    求证：．
    
    请补充下面证明过程证
    证明：已知
    ____________
    已知
    ____________
    ______
    某同学想到了另一种证法，请你补充完整他的证明过程．
    证明：连接，如图．
25. 若关于，的方程组为常数．
    解这个方程组用含的代数式表示；
    是否存在整数，使方程组的解满足为负数，为非正数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
26. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图．
    若某户居民月份用水，则水费______元；
    若某户居民某月用水，则用含的代数式表示水费；
    若某户居民、月份共用水，月份用水量超过月份，共交水费元，则该户居民、月份各用水多少立方米？

27. 某数学实验小组在探究“关于的二次三项式的性质、为常数”时，进行了如下活动．
    【实验操作】取不同的的值，计算代数式的值．

根据上表，计算出、的值，并补充完整表格．
【观察猜想】实验小组组员通过观察表格，提出以下猜想．
同学甲说：“代数式的值随着的增大而增大”．
同学乙说：“当取时，代数式有最小值，为”．
请你也提出一个合理的猜想：______．
【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．
请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例．

28. 在中，平分交于点，点是线段上的动点不与点重合，过点作交射线于点，的角平分线所在直线与射线交于点．
    如图，点在线段上运动．
    若，，则______；
    若，则______；
    探究与之间的数量关系，并说明理由；
    若点在线段上运动时，直接写出与之间的数量关系．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
故D符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.原式不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项符合题意；
D.原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与属于对顶角，则，故A不符合题意；
B、由两直线平行，同位角相等得，故B不符合题意；
C、是三角形的外角，则，故C符合题意；
D、由同角的余角相等得，故D不符合题意，
故选：．
根据对顶角的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，余角的定义对各项进行分析即可．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意，
故选：．
根据各选项图形所表达的整式运算进行判断、选择．
此题考查了整式乘法几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形准确列式并正确运算．
 

5.【答案】 

【解析】解：如果，那么或，故A是假命题，不符合题意；
如果，且，那么，故B是假命题，不符合题意；
如果，那么或，故C是假命题，不符合题意；
如果，那么或，故D是真命题，符合题意；
故选：．
根据绝对值概念，不等式性质，乘方的概念等逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握不等式的性质及实数的相关运算法则．
 

6.【答案】 

【解析】解：设可以买个型口罩，个型口罩，
依题意得：，

又，均为正整数，
或或，
共有种购买方案．
故选：．
设可以买个型口罩，个型口罩，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
设每只雀有斤，每只燕有斤，根据五只雀、六只燕，共重斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【解答】
解：设每只雀有斤，每只燕有斤，
由题意得，
故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：，
解得，
解得．
则不等式组的解集是．
不等式组有三个整数解，
整数解是，，．
．
故选：．
首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有三个整数解，即可确定整数解，然后得到关于的不等式，求得的范围．
本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

9.【答案】 

【解析】解：纳米米米．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
利用积的乘方和幂的乘方法则，运算求值即可．
本题考查了整式的运算，掌握积的乘方法则、幂的乘法法则是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：
．
故答案是：．
把前两项分解因式，然后把代入，化简，然后再利用表示，代入求值即可．
本题考查了平方差公式，正确对所求的式子进行变形是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据完全平方公式，可得出，再整体代入即可．
本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：
．
当，时，
原式

．
故答案为：．
逆运用同底数幂的乘法法则，先把写成的形式，再利用幂的乘方法则把写成的形式后代入求值．
本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：正五边形的每个内角度数为，正方形的每个内角等于，
，
故答案为：．
的度数是正五边形的内角与正方形内角的度数差，根据多边形内角和定理求出各内角的度数，进而求解．
本题考察查了正五边形和正方形的性质，多边形内角和定理，掌握该知识点是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是长方形，
，
，
长方形纸条沿折叠到，
．
故答案为：．
根据长方形性质得出平行线，根据平行线的性质求出，根据折叠求出的度数．
本题考查了平行线的性质，折叠性质，长方形的性质的运用，注意：平行线的性质有两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补．
 

16.【答案】 

【解析】解：第个等式，
第个等式，
第个等式，
第个等式，

第个等式为：．
故答案为：．
根据所给的等式不难看出相差的两数的乘积等于这两个数之间的数的平方减，据此作答即可．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意得，
解得：．
故答案为：．
根据三角形的三边关系定理可得不等式组，再解不等式组即可求解．
此题主要考查了三角形的三边关系，以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
 

18.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义化简得：
，，
由得：，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
利用题中的新定义化简已知等式及不等式，求出的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

19.【答案】解：

；


． 

【解析】根据整数指数幂、零指数幂的法则先化简，然后计算加减；
根据单项式乘单项式、同底数幂除法、以及幂的乘方法则先化简，然后合并同类项．
本题考查了实数以及整式的运算，解题的关键是熟练掌握实数与整式的运算法则，先乘方，后乘除，再加减，有括号的先算括号内里面的．
 

20.【答案】解：原式
；

原式

． 

【解析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
 

21.【答案】解：原式
，
，
，，
，，
原式
． 

【解析】先展开，再合并同类项，化简后求出，的值，代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式运算的相关法则，把所求式子化简．
 

22.【答案】解：，
把代入得：
，
解得：，
把代入中，
，
原方程组的解为：；
原方程组可化简为：
，
得：
，
得：
，
解得：，
把代入中得：
，
解得：，
原方程组的解为：． 

【解析】利用代入消元法，进行计算即可解答；
先将原方程组进行化简整理，然后再利用加减消元法进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．
 

23.【答案】解：不等式去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为得：；

，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为． 

【解析】不等式去分母，去括号，移项，合并，把系数化为，求出解集，表示在数轴上即可；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

24.【答案】  两直线平行，同旁内角互补    等量代换  同旁内角互补，两直线平行 

【解析】证明：已知，
两直线平行，同旁内角互补，
已知，
等量代换，
同旁内角互补，两直线平行．
故答案为：，两直线平行，同旁内角互补，，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．
，
两直线平行，内错角相等，
，
，
内错角相等，两直线平行．
先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据等量代换得出得出；
根据得出，再根据得出，根据内错角相等，两直线平行判定即可．
本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键熟练掌握平行线的判定和性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
 

25.【答案】解：，
，得：，
解得，
将代入，得：，
解得，
；
存在，
根据题意知，，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则，
为整数，
． 

【解析】利用加减消元法求解即可；
根据为负数，为非正数列出关于的不等式组，解之求出的范围，结合为整数可得答案．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：


元．
故答案为：．
当时，水费为元；
当时，水费为元；
当时，水费为元．
综上所述，水费为元．
设月份的用水量为，则月份的用水量为．
当时，，
解得：，
；
当时，，
解得：不合题意，舍去；
当时，，
该情况不符合题意．
答：该户居民月份的用水量为，月份的用水量为．
利用水费超过的部分，即可求出结论；
分，及三种情况，用含的代数式表示出水费；
设月份的用水量为，则月份的用水量为，分，及三种情况考虑，根据两个月共交水费元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出水费；分，及三种情况，找出关于的一元一次方程．
 

27.【答案】    当和时，代数式的值是相等的答案不唯一 

【解析】解：当时，；
当时，．
可得方程组，
解得：．
所以关于的二次三项式为，
当时，；
当时，．
故答案是：，；

言之有理即可，比如当时，随的增大而增大；当和时，代数式的值是相等的；
理由：由可知，，
抛物线的对称轴是直线，
当和时，代数式的值是相等的．
故答案是：当和时，代数式的值是相等的答案不唯一；

甲的说法不正确．
举反例：当时，；但当时，，所以同学甲说：“代数式的值随着的增大而增大”，这个说法不正确．
乙的说法正确．
证明：，
．
，
当取时，代数式有最小值，为．
通过解方程组求得、的值．
可以根据二次函数的图象性质进行猜想；
举出反例．
本题考查了配方法的应用和非负数的性质，解题时，需要掌握待定系数法确定函数关系式和二次函数图象的性质．
 

28.【答案】   

【解析】解：如图，
是平分线，是的平分线，
，，
，
，，
，


，
故答案为：；
由得，




，
故答案为：；
，理由为：
由得，



，
如图，
由的结论，可得，


，
即．
根据角平分线，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可；
根据，，再代入计算即可；
根据的结论，可得，，
画出相应的图形，根据三角形内角和定理平行线的性质与判断得出答案．
本题考查角平分线，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握角平分线的定义，三角形的内角和为以及题目中各个角之间的关系得出答案即可．