2022-2023学年江苏省扬州市梅岭教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省扬州市梅岭教育集团八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列代数式中，属于分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小倍 D. 缩小倍

5.  如图，绕点按逆时针方向旋转后与重合，连接，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，已知矩形中，，点为上任意一点可与点或重合，分别过、、作射线的垂线，垂足分别是、、，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  函数中，自变量的取值范围是______ ．

10.  已知，分别是的整数部分和小数部分，则 ______ ．

11.  已知是整数，则整数的最小值为______ ．

12.  若关于的方程的解为负数，则的取值范围是______ ．

13.  已知两个分式：，，其中，则与的关系是           ．

14.  如图，四边形是菱形，连接，交于点，过点作，交于点，若，，则的长度是______ ．

15.  已知，则 ______ ．

16.  如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长度为        ．

17.  关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为______ ．

18.  “黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令为非负数，则；
则
______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
解方程：
；
．

21.  本小题分
先化简：，然后从，，中选一个合适的数代入求值．

22.  本小题分
已知，计算的值．

23.  本小题分
如图，在▱中，，交于点，点，在上，．

求证：四边形是平行四边形；
若，求证：四边形是菱形．

24.  本小题分
已知：．
求作：菱形，使菱形的顶点落在边上；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的前提下，若，，，求菱形的周长．

25.  本小题分
某企业为加快产业转型升级步伐，引进一批，两种型号的机器已知一台型机器比一台型机器每小时多加工个零件，且一台型机器加工个零件与一台型机器加工个零件所用时间相等每台，两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？

26.  本小题分
如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”．
已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”；
已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数求的值．

27.  本小题分
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析．
【提出问题】已知，求的最小值．
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题．
如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点设，则
则的最小值等于______ ．
运用以上数形结合的方法，求的最小值；
运用以上数形结合的方法，求的最大值．

28.  本小题分
实践操作
在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为点、是折痕与矩形的边的交点，再将纸片还原．
初步思考
若点落在矩形的边上如图．
当点与点重合时， ______ ；当点与点重合时， ______ ；
深入探究
当点在上，点在上时如图，求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长．
拓展延伸
若点与点重合，点在上，射线与射线交于点如图在折叠过程中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B.分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C.分母中有字母，是分式，故本选项符合题意；
D.分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据分式的定义逐个判断即可．
本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，注意：判断一个代数式是分式的关键是看分母中含有字母．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.因为，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.因为，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
分式的值缩小倍．
故选：．
根据分式的基本性质解答即可．
本题考查的是对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小倍，只要将原数乘以或除以，再代入原式求解，是此类题目的常见解法．
 

5.【答案】 

【解析】解：绕点按逆时针方向旋转后与重合，
，，
，
故选：．
根据旋转的性质得出，，进而根据等边对等角，三角形内角和定理即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理的应用，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：原式，
，
，
故选：．
根据二次根式的混合运算求出算式的结果，再利用算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：有意义，
，
，



．
故选：．
由有意义，得到，因此，于是即可化简．
本题考查二次根式的性质与化简，关键是掌握二次根式的性质；
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，，
矩形，，．
，
，
，
，
，
点为上的动点，
取最大值时，的值最小．
当点与点重合时，最大，
时，最小值，
故选：．
连接，，利用建立关于线段的方程，取最大值时，的值最小，求出即可．
本题考查了矩形的性质，将线段和的最值转化成一条边长的最值是本题的关键．
 

9.【答案】且 

【解析】

【分析】
本题主要考查了函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件及算术平方根的性质解答即可．
【解答】
解：根据题意得：且，
解得：且．
故答案为且．  

10.【答案】 

【解析】解：，，
的整数部分是，即，，
．
故答案为：．
先估算的整数部分，再计算出小数部分，代入计算即可．
本题考查了无理数大小的估算，无理数整数部分的估算是本题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，且是整数；
是整数，即是完全平方数；
的最小正整数值为．
故答案为：．
因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为．
主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则除法法则解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
 

12.【答案】且 

【解析】解：分式方程去分母得：，
解得：，
分式方程的解为负数，
且，即且，
解得：且．
故答案为：且．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为负数得到且，求出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，始终注意分母不为的条件．
 

13.【答案】互为相反数 

【解析】解：，
而，
与的关系是互为相反数．
首先把的结果求出，然后和比较即可解决问题．
此题主要考查了分式的计算，通过分式的计算化简，然后利用相反数的定义即可解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
，
即，
解得：，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式即可得出结论．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
当时，原式．
故答案为：．
利用整体代入的射线解决问题即可．
本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，解题的关键在于利用完全平方公式将式子变形．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
又，
在和中，
，
≌，
，
将边绕点逆时针旋转至，
，
又，
，
，
，
负值舍去，
故答案为：．
过点作于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出，由勾股定理可得出答案．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：解分式方程得：，
且，
且，
且，
解不等式组得：，
不等式组的解集为，
，
，
且，
所有满足条件的整数的值有，，，共个，
．
故答案为：．
解分式方程得得出，结合题意及分式方程的意义求出且，解不等式组，得出且，继而得出所有满足条件的整数的值，即可得出答案．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，掌握求解分式方程，一元一次不等式组，一元一次不等式是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：




．
故答案为：．
先将代入得到原式，再根据分母有理化的方法将分式进行计算即可．
本题考查分母有理化，平方差公式以及分式的运算，掌握分母有理化的方法，平方差公式的结构特征以及分式的运算方法是正确解答的前提．
 

19.【答案】解：


；




． 

【解析】先根据二次根式的性质进行计算，再算加减即可；
先根据完全平方公式，平方差公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

20.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解． 

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．
 

21.【答案】解：



，
要使分式有意义，且，
所以不能为和，
取，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出不能为和，取，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得：，
解得：，
把代入，得，
当，时． 

【解析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得的值，进而可求出的值，然后代入求值即可．
 

23.【答案】证明：在▱中，，，
．
，
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形是菱形．
 

24.【答案】解：如图，菱形即为所求作；

由得四边形是菱形，
，
设 ，则，
在中，根据勾股定理得，
，
解得，
，
菱形的周长是． 

【解析】作的垂直平分线交于，然后以点为圆心，为半径画弧交的垂直平分线于，则四边形满足条件；
根据菱形的性质得到，设 ，则，利用勾股定理得到，解方程得到菱形的边长，从而得到菱形的周长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
 

25.【答案】解：设每台型机器每小时加工个零件，则每台型机器每小时加工个零件，
由题意得，
解得 ，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
此时，每台型机器每小时加工个，
答：每台型机器每小时加工个零件，每台型机器每小时加工个零件． 

【解析】设每台型机器每小时加工个零件，根据工作总量除以工作效率等于工作时间建立方程求解．
本题考查分式方程的应用，根据题意建立方程是关键，注意分式方程需要验根．
 

26.【答案】解：，，
，
与互为“和整分式”，“和整值”；
，，
，
与互为“和整分式”，且“和整值”，
，
，
，
分式的值为正整数．
或，此时的值为或，
为正整数，
的值为． 

【解析】把与相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可；
把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“和整分式”且“和整值”，求出多项式，最后根据为正整数，分式的值为正整数求出值即可．
本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】已知图中，构造边长为的正方形，为边上的动点，

设，则，
在中，
，
在中，
，
，
延长至点，使，则垂直平分线段，
上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，
连接由“两点之间，线段最短”可知：
当点在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，
在中，，，，
，
的最小值等于，
故答案为：；
构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，，

设，则，
在中，
，
在中，
，
，
延长至点，使，则垂直平分线段，
上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，
连接由“两点之间，线段最短”可知：
当点在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，
过点作于点，
在中，，，
，
的最小值等于；
，
 设，点在上，，，，，过点作于点，如图：

 则，由勾股定理可知：
 ，
，
，
则，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理，得
，
若点不在线段上，
则，
即，
若点在线段上，如图，
则，
即，
综上所述，，
的最大值为：．
构造边长为的正方形，为边上的动点，设，则，，，，延长至点，使，当点在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，，即可求得 的最小值；
构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，，设，则，，，，当点在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，过点作于点，，进而求出 的最小值；
，设，点在上，，，，，则，由勾股定理可知：，，，过点作于点，则，四边形是矩形，
，分情况讨论，若点不在线段上则，若点在线段上，则，进而求得的最大值．
本题考查勾股定理，正方形，矩形的性质综合问题，解题的关键是对数形结合的灵活运用．
 

28.【答案】   

【解析】初步思考
当点与点重合时，如图，

是的中垂线，
，
当点与点重合时，如图，

此时，
故答案为：，；
深入探究
当点在上，点在上时，如图，

是的中垂线，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱为菱形，
当时，设菱形的边长为，则，，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
时的菱形的边长为：；
拓展延伸
存在，
情况一：如图，连接，

，
≌，
设，则，则，
，，
，
，
解得：；
情况二，如图，

，
≌，
设，则，则，，
则，，，
，
解得：，
综上，线段的长为：或．
初步思考当点与点重合时，是的中垂线，，当点与点重合时，此时；
深入探究当点在上，点在上时，是的中垂线，，，四边形是矩形，≌，，四边形是平行四边形，▱为菱形，当时，设菱形的边长为，则，，由勾股定理得：，进而求得；
拓展延伸情况一：，≌，设，则，则，，求得；情况二，，≌，设，则，则，，，求得．
本题考查三角形全等，折叠，矩形的性质综合题，解题的关键是是对问题的分类讨论．