专题23.2 中心对称图形（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版）

这是一份专题23.2 中心对称图形（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版），共23页。

专题23.2 中心对称图形（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
1. 掌握中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
2. 掌握关于原点对称的点的坐标的特征，以及如何求对应点的坐标；
3. 探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。

【知识点梳理】
考点1 中心对称（两个图形）
1.概念
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；
2.性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。


4. 作图步骤：
(1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。
(2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。
(3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形

5.中心对称图形（一个图形）
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

考点2 点坐标对称
1.关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
2.关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
3.关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

【典例分析】
【考点1 中心对称图形】

【例1】（2022春•鼓楼区校级期中）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2022•青岛一模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2022•西乡塘区一模）下列四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022春•宁海县期中）下列图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．


【考点2 中心对称的性质】
【例2】（2021秋•梁子湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，6）．若直线l经过点（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是（　　）

A．y＝x﹣2 B．y＝3x﹣6 C． D．
【变式2-1】（2021秋•淮南月考）如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）

A．OC＝OC′ B．∠ABC＝∠A'C'B'
C．点B的对称点是B′ D．BC∥B'C'
【变式2-2】（2020秋•昌图县期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（　　）

A．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B．平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形



【变式2-3】（2021春•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（　　）

A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
【例3】（2021秋•任城区校级月考）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 　　．

【变式3-1】（2021秋•泰山区期末）如图，点O是▱ABCD的对称中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABFE和四边形EFCD的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为S1　　S2．（填“＞”或“＝”或“＜”）

【变式3-2】（2021秋•南昌期中）如图，直线MN过▱ABCD的中心点O，交AD于点M，交BC于点N，已知S▱ABCD＝4，则S阴影＝　　．

【变式3-2】（2021春•娄星区校级期中）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为　 　．

【考点3 点坐标的对称】
【例4】（2022•孝南区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，则（　　）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
【变式4-1】（2021秋•桃城区校级期末）已知点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，则a与b的值分别为（　　）
A．﹣3；1 B．﹣1；3 C．1；﹣3 D．3；﹣1
【变式4-2】（2022•新都区模拟）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣4）
【变式4-3】（2021秋•开封期末）已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则该点关于原点对称点的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
【考点4 图案设计】
【例5】（2022春•泗阳县期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立如图所示平面直加坐标系，△ABC的顶点均在格点上，其中点A坐标为（1，﹣3）．
（1）以点B为旋转中心，画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）画△ABC关于点O对称的△A2B2C2；
（3）若平面内存在一点D，使A、B、C、D四点构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　 　．

【变式5-1】．（2022春•将乐县期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．


【变式5-2】（2022•朝阳区校级一模）图1、图2分别是7×7的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上，仅用无刻度直尺完成下列作图．
（1）在图1中确定点C、D（点C、D在小正方形的顶点上），并画出以AB为对角线的四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为15；
（2）在图2中确定点E、F（点E、F在小正方形的顶点上），并画出以AB为对角线的四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形，且面积为15．






【变式5-3】（2022春•化州市月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出△A1B1C1的各顶点的坐标；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2，并写出各顶点的坐标．












专题23.2 中心对称图形（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
5. 掌握中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
6. 掌握关于原点对称的点的坐标的特征，以及如何求对应点的坐标；
7. 探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。

【知识点梳理】
考点1 中心对称（两个图形）
1.概念
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；
2.性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。


8. 作图步骤：
(4) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。
(5) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。
(6) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形

5.中心对称图形（一个图形）
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

考点2 点坐标对称
1.关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
2.关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
3.关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

【典例分析】
【考点1 中心对称图形】

【例1】（2022春•鼓楼区校级期中）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【变式1-1】（2022•青岛一模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【变式1-2】（2022•西乡塘区一模）下列四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
【变式1-3】（2022春•宁海县期中）下列图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【考点2 中心对称的性质】
【例2】（2021秋•梁子湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，6）．若直线l经过点（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是（　　）

A．y＝x﹣2 B．y＝3x﹣6 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵点B的坐标为（8，6），
∴平行四边形的中心坐标为（4，3），
设直线l的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，0），（4，3）代入，可得，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x﹣3．
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•淮南月考）如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）

A．OC＝OC′ B．∠ABC＝∠A'C'B'
C．点B的对称点是B′ D．BC∥B'C'
【答案】B
【解答】解：∵△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，
∴OC＝OC′，BC∥B′C′，点B的对称点B′，
故A，C，D正确，
故选：B．
【变式2-2】（2020秋•昌图县期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（　　）

A．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B．平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形
【答案】C
【解答】解：连接BD．

∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BD经过点O，OD＝OB，
∵AD∥BC，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
观察图形可知，四边形BEDF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：C．
【变式2-3】（2021春•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（　　）

A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
【答案】B
【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，
所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，
故选：B．
【例3】（2021秋•任城区校级月考）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 　　．

【答案】12
【解答】解：如图，

∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝4，OD＝3，
∴AB＝3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12．
故答案为：12．
【变式3-1】（2021秋•泰山区期末）如图，点O是▱ABCD的对称中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABFE和四边形EFCD的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为S1　　S2．（填“＞”或“＝”或“＜”）

【答案】＝
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是▱ABCD的对称中心，
∴OB＝OD，
在△DEO与△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴S△DEO＝S△BFO，
∵S△ABD＝S△CDB，
∴S1＝S2．
故答案为：＝．
【变式3-2】（2021秋•南昌期中）如图，直线MN过▱ABCD的中心点O，交AD于点M，交BC于点N，已知S▱ABCD＝4，则S阴影＝　　．

【答案】1
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM∥CN，OA＝OC，
∴∠MAO＝∠NCO，
∵∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴S△AOM＝S△CON，
∴S阴＝S△AOM+S△BON＝S△BOC＝S平行四边形ABCD＝1，
故答案为：1．
【变式3-2】（2021春•娄星区校级期中）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为　 　．

【答案】n﹣1
【解答】解：连接O1B、O1C，如图：
∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，
∴∠BO1F＝∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，
在△O1BF和△O1CG中，
，
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形＝1，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形＝1，
∴把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为（n﹣1）．
故答案为：n﹣1
【考点3 点坐标的对称】
【例4】（2022•孝南区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，则（　　）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
【答案】B
【解答】解：∵点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝﹣2，
故选：B．
【变式4-1】（2021秋•桃城区校级期末）已知点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，则a与b的值分别为（　　）
A．﹣3；1 B．﹣1；3 C．1；﹣3 D．3；﹣1
【答案】B
【解答】解：∵点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，
∴
解得．
故选：B．
【变式4-2】（2022•新都区模拟）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣4）
【答案】B
【解答】解：点P（﹣2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（2，4），
故选：B．
【变式4-3】（2021秋•开封期末）已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则该点关于原点对称点的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
【答案】D
【解答】解：∵M（a，b）在第二象限内，
∴a＜0，b＞0，
又∵|a|＝1，|b|＝2，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴点M（﹣1，2），
∴点M关于原点的对称点的坐标是（1，﹣2）．
故选：D．
【考点4 图案设计】
【例5】（2022春•泗阳县期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立如图所示平面直加坐标系，△ABC的顶点均在格点上，其中点A坐标为（1，﹣3）．
（1）以点B为旋转中心，画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）画△ABC关于点O对称的△A2B2C2；
（3）若平面内存在一点D，使A、B、C、D四点构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　 　．

【答案】（1）略（2）略 （3）（3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．
【解答】解：（1）如图，的△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）点D的坐标为 （3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．
故答案为：（3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．


【变式5-1】．（2022春•将乐县期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．

【答案】（1）略 （2）A2的坐标（﹣2，2）
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2的坐标（﹣2，2）．

【变式5-2】（2022•朝阳区校级一模）图1、图2分别是7×7的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上，仅用无刻度直尺完成下列作图．
（1）在图1中确定点C、D（点C、D在小正方形的顶点上），并画出以AB为对角线的四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为15；
（2）在图2中确定点E、F（点E、F在小正方形的顶点上），并画出以AB为对角线的四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形，且面积为15．


【答案】略
【解答】解：（1）如图1中，平行四边形ACBD即为所求．
（2）如图2中，菱形AEBF即为所求．

【变式5-3】（2022春•化州市月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出△A1B1C1的各顶点的坐标；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2，并写出各顶点的坐标．

【答案】（1）A1（3，﹣5），B1（2，﹣1），C1（1，﹣3）；
（2）A2（5，3），B2（1，2），C2（3，1）
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（3，﹣5），B1（2，﹣1），C1（1，﹣3）；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（5，3），B2（1，2），C2（3，1）．