专题24.1.3 与圆有关的角（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版）

专题24.1.3  与圆有关的角（知识解读）

【直击考点】

【学习目标】

1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算

2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.

【知识点梳理】

考点1   圆心角的概念                         

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。

考点2  圆角角的概念

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=）

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点3  圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

     即：在⊙中，  ∵四边是内接四边形

                     ∴ 

【典例分析】

【考点1 圆心角】

【例1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，＝，∠1＝45°，则∠2＝（　　）

A．60° B．30° C．45° D．40°

【变式1-1】（2020秋•道外区期末）下列图形中，∠AOB为圆心角的是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式1-2】（2021秋•雁塔区校级月考）如图1，在⊙O中，若点C是中点，∠OAB＝50°，则∠BOC的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°

【变式1-3】（2021秋•越秀区校级期中）如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为　　度．

【变式1-4】（2021秋•黄石期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数　　  ．

【考点2  圆周角】

【例2】（2021秋•临邑县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（　　）

A．65° B．55° C．60° D．75°

【变式2-1】（2021•重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（　　）

A．70° B．90° C．40° D．60°

【变式2-2】（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝　　．

【考点3 圆心角与圆周角】

【例3】（2021•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　）

A．27° B．108° C．116° D．128°

【变式3-1】（2022•黄石模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠AOC＝（　　）

A．80° B．100° C．120° D．140°

【变式3-2】（2021•郧西县校级模拟）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）

A．25° B．50° C．65° D．75°

【变式3-2】（2021•邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°

【考点4 圆内接四边形】

【例4】（2022•湘潭县校级模拟）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OD和OB，且∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（　　）

A．140° B．120° C．110° D．70°

【变式4-1】（2022•长沙一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是（　　）

A．80° B．120° C．135° D．140°

【变式4-2】（2021秋•泰安期末）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（　　）

A．25° B．30° C．40° D．55°

【变式4-3】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝63°，那么∠BOD的度数为（　　）

A．63° B．126° C．116° D．117°

专题24.1.3  与圆有关的角（知识解读）

【直击考点】

【学习目标】

1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算

2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.

【知识点梳理】

考点1   圆心角的概念                         

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。

考点2  圆角角的概念

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=）

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【典例分析】

【考点1 圆心角】

【例1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，＝，∠1＝45°，则∠2＝（　　）

A．60° B．30° C．45° D．40°

【答案】C

【解答】解：∵＝，

∴∠2＝∠1＝45°，

故选：C．

【变式1-1】（2020秋•道外区期末）下列图形中，∠AOB为圆心角的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解答】解：根据圆心角定义可知：

A．顶点不是圆心，所以A选项不符合题意；

B．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以B选项不符合题意；

C．∠AOB顶点是圆心，两边与圆相交，所以C选项符合题意；

D．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以D选项不符合题意．

故选：C．

【变式1-2】（2021秋•雁塔区校级月考）如图1，在⊙O中，若点C是中点，∠OAB＝50°，则∠BOC的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°

【答案】A

【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB＝50°，

∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，

∵点C是中点，

∴∠BOC＝∠AOB＝40°，

故选：A．

【变式1-3】（2021秋•越秀区校级期中）如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为　　度．

【答案】64

【解答】解：∵∠BOD＝32°，

∴∠AOC＝∠BOD＝32°，

∵＝，

∴∠AOE＝∠AOC＝32°，

∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°，

故答案为：64．

【变式1-4】（2021秋•黄石期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数　　  ．

【答案】70°

【解答】解：连接OE，如图，

∵弧CE的度数为40°，

∴∠COE＝40°，

∵OC＝OE，

∴∠OCE＝∠OEC，

∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，

∵弦CE∥AB，

∴∠AOC＝∠OCE＝70°．

【考点2  圆周角】

【例2】（2021秋•临邑县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（　　）

A．65° B．55° C．60° D．75°

【答案】A

【解答】解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠CAB＝25°，

∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，

∴∠ADC＝∠ABC＝65°．

故选：A．

【变式2-1】（2021•重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（　　）

A．70° B．90° C．40° D．60°

【答案】A

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠C＝90°，

∵∠A＝20°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，

故选：A．

【变式2-2】（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝　　．

【答案】13°

【解答】解：如图，连接DC，

∵∠DBC＝90°，

∴DC是⊙O的直径，

∵点B是的中点，

∴∠BCD＝∠BDC＝45°，

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，

∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，

∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，

故答案为：13°．

【考点3 圆心角与圆周角】

【例3】（2021•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　）

A．27° B．108° C．116° D．128°

【答案】B

【解答】解：∵∠A＝54°，

∴∠BOC＝2∠A＝108°，

故选：B．

【变式3-1】（2022•黄石模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠AOC＝（　　）

A．80° B．100° C．120° D．140°

【答案】B

【解答】解：∵∠D＝40°，

∴∠BOC＝2∠D＝80°，

∴∠AOC＝100°．

故选：B．

【变式3-2】（2021•郧西县校级模拟）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）

A．25° B．50° C．65° D．75°

【答案】C

【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，

∵∠ABC+∠AOC＝75°，

∴∠AOC＝×75°＝50°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，

故选：C．

【变式3-2】（2021•邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°

【答案】B

【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，

由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，

又∠AOC＝90°，

∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．

故选：B．

【考点4 圆内接四边形】

【例4】（2022•湘潭县校级模拟）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OD和OB，且∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（　　）

A．140° B．120° C．110° D．70°

【答案】A

【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝110°，

∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，

由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，

故选：A．

【变式4-1】（2022•长沙一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是（　　）

A．80° B．120° C．135° D．140°

【答案】B

【解答】解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，

∴设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠B+∠D＝180°，∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°，

∴∠B＝3x＝60°，

∴∠D＝180°﹣60°＝120°．

故选：B．

【变式4-2】（2021秋•泰安期末）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（　　）

A．25° B．30° C．40° D．55°

【答案】D

【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ADC＝∠FBC，

∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠FBC＝∠A+∠E，

∴180°﹣∠A﹣∠F＝∠A+∠E，

则2∠A＝180°﹣（∠F+∠E）＝110°，

解得，∠A＝55°，

故选：D．

【变式4-3】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝63°，那么∠BOD的度数为（　　）

A．63° B．126° C．116° D．117°

【答案】B

【解答】解：∵∠DCE＝63°，

∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝117°，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A＝180°﹣∠BCD＝63°，

由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝126°，

故选：B．