2021-2022学年重庆市大足区八年级（下）期末数学试卷-（含解析）

2021-2022学年重庆市大足区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的一组是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

3. 下列说法错误的是(    )

A. 平行四边形的对角相等 B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 有一个角是的菱形是正方形

4. 共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是(    )

A. 平均数小，方差大 B. 平均数小，方差小 C. 平均数大，方差小              D. 平均数大，方差大

5. 估计的值(    )

A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间

6. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮沿着北偏东的方向航行，后到达小岛，乙客轮沿着南偏东的方向航行，到达小岛则，两岛的距离为．(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知一次函数，随的增大而增大，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为分，分，分，若依次按照，，的百分比确定成绩，则该选手的成绩是(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

9. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为和时，输出的的值相等，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，点，分别是边，的中点，延长到点，使，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 从，，，，五个数字中，随机抽取一个数，记为那么，使一次函数不经过三象限，且使关于的分式方程有整数解的和是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在平行四边形中，，于，于，、交于，、的延长线交于，给出下列结论：；；；若点是的中点，则；其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 当有意义时，的取值范围是______．
14. 如图，一架梯子长米，底端离墙的距离为米，当梯子下滑到
    时，米，则______米．

15. 甲、乙两车分别从，两地同时相向匀速行驶，当乙车到达地后，继续保持原速向远离的方向行驶，而甲车到达地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过小时后两车同时到达距地千米的地中途休息时间忽略不计设两车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，与之间的函数关系如图所示，则当乙车到达地时，甲车距地______千米．

16. 在正方形中，，点、分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，已知是矩形的对角线．
    用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交、于、保留作图痕迹，不写作法和证明；
    连接、，若，求的度数．

19. 本小题分
    如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．

20. 本小题分
    为了解某学校疫情期间学生在家体育锻炼情况，从全体学生中随机抽取若干名学生进行调查．以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分，根据信息回答下列问题．

本次调查共抽取______名学生；
抽查结果中，组有______人；
在抽查得到的数据中，中位数位于______组填组别；
若这所学校共有学生人，则估计平均每日锻炼超过分钟有多少人？

21. 本小题分
    在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
    求这个一次函数的解析式；
    当函数的值大于一次函数的值时，直接写出的取值范围．
22. 本小题分
    某小商品批发商批发的、两种商品的成本和批发价如表所示：

该批发商花了元购进，两种商品若干件，立刻销售一空，共盈利元．
该批发商分别购进，两种商品各多少件？
由于畅销，该批发商决定再购进，两种商品共件，其中商品的数量不多于商品数量的倍，那么该批发商购进、两种商品各多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？

23. 本小题分
    若一个四位正整数的千位与十位相同，百位与个位相同，我们称这个四位数为“平衡数”将“平衡数”的千位、百位上的数字交换，十位、个位也交换，得到一个新数，记例如，，则．
    若是最大的“平数”，则______；
    已知两个“平衡数“，，其中，其中，，，且，，，都为整数若能被整除，且，求的最大值．
24. 本小题分
    已知：在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于、两点，直线经过点，与轴交于点．
    求直线的解析式；
    如图，点为直线一个动点，若的面积等于时，请求出点的坐标；
    如图，将沿着轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标．
     

25. 本小题分
    如图，在平行四边形中，为平行四边形内部一点，连接，，．
    如图，交于点，已知，，，，求的长；
    如图，交于点，且，为上一点，作且，并以为斜边作等腰，连接，，求证：．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故是直角三角形，不符合题意；
B、，故不是直角三角形，符合题意；
C、，故是直角三角形，不符合题意；
D、，故是直角三角形，不符合题意．
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：、平行四边形的对角相等，说法正确；
B、矩形的对角线相等且互相平分，说法正确；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法不正确；
D、有一个角是的菱形是正方形，说法正确．
故选：．
根据平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定以及正方形的判定定理进行分析判断．
本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定以及矩形的性质，解题时，需要熟练运用平行四边形，矩形，正方形以及菱形间的区别与联系．
 

4.【答案】 

【解析】解：人均收入平均数大，方差小，最能体现共同富裕要求．
故选：．
根据算术平均数和方差的定义解答即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
估计的值在和之间，
故选：．
根据平方数先估算出的值的范围，即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得，，，
，
，，
．
故选：．
由题意得，，，根据勾股定理可得，即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题、勾股定理，能够正确标注方向角是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
，
选项不符合题意；
，
选项符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
故选：．
根据一次函数的增减性可得，即可确定的值．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数增减性与系数的关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
分，
故选：．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的定义及计算方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：当时，，当时，，
由题意得：，
解得：，
故选：．
把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值．
此题考查了函数值，弄清程序中的关系式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，
点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
在中，，点是边的中点，
则，
在中，，，
则，
，
故选：．
连接，根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，进而求出．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含角的直角三角形的性质，灵活运用各个定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：一次函数不经过第三象限，
，
，
，
关于的分式方程有整数解，
，，，
时，是增根，
，，
综上，可得满足题意的的值有个：，，
使一次函数不经过第三象限，且使关于的分式方程有整数解的和是：．
故选：．
首先根据一次函数不经过第三象限，可得；然后根据分式方程的求解方法，求出关于的分式方程的解是多少，进而判断出它有整数解时的值是多少，进而求出整数解的和即可．
此题考查了分式方程的求解问题，要注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解；此题还考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：，时，的图象在一、二、三象限；，时，的图象在一、三、四象限；，时，的图象在一、二、四象限；，时，的图象在二、三、四象限．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，故正确；
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
又，
≌，
，
，故正确；
如图，连接，
≌，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点是的中点，，
，
，
，
，
，故正确；
其中正确的结论有个，
故选：．
证是等腰直角三角形，则，再由勾股定理即可得出结论；
由平行四边形的性质得，，，，再证，进而得出结论；
证≌，得，即可得出结论；
连接，证是等腰直角三角形，得，再证，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，根据勾股定理，可得：米，
米，
在中，米，
米，
故答案为：．
在中，根据勾股定理得出，进而得出，利用勾股定理得出，进而解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图象可知，甲车从地到地用了小时，
经过小时后两车同时到达距地千米的地，
甲车从地到地用小时，乙从地到地用了小时，
、两地的距离是千米，
甲车的速度是千米时，
、两地之间的距离是千米，
乙车从地到达地需要小时，
此时甲的路程为千米，
甲车矩地千米，
故答案为：．
由图象可知甲车从地到地用了小时，进而可知甲车的速度，得出、两地的距离是千米，进而得出乙车到达地的时间，进而可得答案．
本题以行程问题为背景的函数图象的应用，解决问题的关键是根据函数图象理解题意，求得甲车的速度．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
正方形中，，
，，
在和中，
，
和，
，
，
的最小值就是的最小值，
如图，作关于的对称点，连接交于，则即可满足最小，
，
，，
．
的最小值是．
故答案：．
首先利用正方形的性质可以证明和，然后利用全等三角形的性质得到的最小值就是的最小值，最后利用轴对称即可求解．
本题主要考查了轴对称的性质，最短路径问题，同时也利用了正方形的性质，有一定的综合性．
 

17.【答案】解：原式

；

原式
． 

【解析】直接化简二次根式，进而合并得出答案；
直接利用乘法公式计算，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】解：如图，直线即为所求；


垂直平分线段，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
． 

【解析】根据要求作出图形；
证明，再利用平行线的性质求解．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的作法和性质，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：，，，
，
，
又，，，
，
是直角三角形，
四边形的面积． 

【解析】先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，然后把四边形的面积分割成两个直角三角形的面积和即可求解．
本题考查勾股定理，关键是对勾股定里的掌握和运用．
 

20.【答案】     

【解析】解：本次调查的人数有：名，
故答案为：；
抽查结果中，组有人，
故答案为：；
共有个数据，其中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据均落在组，
在抽查得到的数据中，中位数位于组；
故答案为：；
人，
答：估计平均每日锻炼超过分钟有人．
用组的人数除以其所占百分比可得；
总人数减去其他类别人数即可求得组的人数；
根据中位数的定义即可求解；
用总人数乘以样本中平均每日锻炼超过分钟的人数所占比例即可求解．
本题考查频数率分布表、扇形统计图、中位数、样本估计总体等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：一次函数的图象由直线平移得到，
，
将点代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
由题意得，
解得，
的取值范围是． 

【解析】先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式；
由题意得，解不等式即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，解不等式，熟知一次函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设批发商分别购进种商品件，种商品件，
根据题意得：，
解得，
答：批发商分别购进种商品件，种商品件；
设该批发商获得利润为元，购进种商品件，则购进种商品件，
商品的数量不多于商品数量的倍，
，
解得：，
根据题意得，
，
随的增大而减小，
时，取最大值，最大值为元，
此时，
答：该批发商购进种商品件，种商品时会获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】设批发商分别购进种商品件，种商品件，根据批发商花了元购进，两种商品若干件，共盈利元列出方程组，解方程组即可；
设该批发商获得利润为元，购进种商品件，则购进种商品件，根据商品的数量不多于商品数量的倍求出的取值范围，再根据总利润两种商品利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式．
 

23.【答案】 

【解析】解：由题意得：最大的““平衡数”是，
则．
故答案为：；
“平衡数”，
，
能被整除，
是的倍数，
，
，
，
，或，，或，，
“平衡数”为，或或，
，
，
，
，
，
，
，，且，都为整数，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，，
当时，，
当时，，
为或或，
的最大值为，
根据“平衡数”的定义，结合的计算方法得出结论；
先根据“平衡数”能被整除，进而判断出，从而求出，再根据，得出，进而求出，，即可得出结论．
本题考查了完全平方数，整除问题，是新定义题目，理解和运用新定义是解本题的关键．
 

24.【答案】解：设直线的解析式，
直线：与轴，轴分别交于、两点，
，，
直线经过点，与轴交于点，
，
，
直线的解析式：；
由题意可知，，
设点的横坐标为，
，
或．
或
设将沿着轴平移个单位长度得到，
，
，，
设点坐标为，
当为以、、、为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当时，即，
此时，即点在轴上，
且，
点与点重合，即．
当时，
，，
，
解得，
此时，即点在轴上，
且，
．
当为以、、、为顶点的菱形对角线时，，即点在的垂直平分线上，且，关于对称，
当向左一移动，，，，
，
解得或舍，
当向右移动时，，，，
，
解得舍或舍，
，
．
综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为，，． 

【解析】设直线的解析式，求出点的坐标，把、的坐标代入解析式计算即可；
设点的横坐标为，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
按为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点的坐标即可．
本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
 

25.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
．
证明；如图，连接，设交于点，交于点．

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
又，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
． 

【解析】由等腰直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，证明≌，由全等三角形的性质得出，求出，则可得出答案；
连接，设交于点，交于点证明≌，由全等三角形的性质得出，证明≌，得出，，证出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．