2021-2022学年重庆市开州区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年重庆市开州区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年重庆市开州区八年级（下）期末数学试卷

题号
一
二
三
总分
得分






一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是(    )
A. 1，3，2 B. 3，4，5 C. 6，8，10 D. 2，3，4
2. 下列根式是最简二次根式的(    )
A. 17 B. −6 C. 0.5 D. 8
3. 使二次根式x−34有意义的x的取值范围是(    )
A. x≠3 B. x≠4 C. x≥3 D. x>4
4. 甲、乙、丙、丁四名学生近4次数学测验成绩的平均数都是105分，方差分别是S甲2=36，S乙2=24，S丙2=25.5，S丁2=6，则这四名学生的数学成绩最稳定的是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC=4，BD=6，则菱形ABCD的周长为(    )
A. 16
B. 24
C. 413
D. 813
6. 一台自动测温仪记录了我市某天气温(℃)与时间(时)的关系如图所示，下列结论正确的是(    )

A. 变量气温不是关于时间的函数
B. 这一天中气温20℃出现了3次
C. 从0时至14时，气温随时间的推移而上升
D. 这一天的最高温度与最低温度相差11℃
7. 估计11×(211−1)的值应在(    )
A. 20和21之间 B. 18和19之间 C. 17和18之间 D. 16和17之间
8. 下列命题是假命题的是(    )
A. 顺次连接矩形各边的中点所成的四边形是菱形
B. 四个角都相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
9. 若正比例函数y=−ax(a≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=ax−a的图象大致是(    )
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若BD=23，DF=2，则AF的长为(    )
A. 6 B. 22 C. 7 D. 3
11. 若关于x的一次函数y=(m+3)x+m−5的图象不经过第二象限，且关于x的分式方程1−mxx−2+3=12−x有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
12. 二次根式除法可以这样做：如2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43.像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化，有下列结论：
①将式子15−2进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以2+5；
②若a是2的小数部分，则3a的值为2+1；
③比较两个二次根式的大小：16−2>15−3；
④计算：23+3+253+35+275+57+…+29997+9799=1−33；
⑤若x=n+1−nn+1+n，y=1x，且19x2+123xy+19y2=1985，则整数n=2．
以上结论正确的是(    )
A. ①③④ B. ①④⑤ C. ①②③⑤ D. ①③⑤

二、填空题（本大题共4小题，共16分）
13. 如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点A(−3,2)，则关于x的不等式kx+b≥2解集为______．


14. 2022年4月16日上午，神舟十三号载人飞船搭载航天员翟志刚、王亚平、叶光富安全返回内蒙古东风着陆场，至此，中国空间站关键技术验证阶段收官之战取得圆滿成功．为激励更多同学投身祖国的航天事业，开州某初中开展了航天员模拟选拔活动，从心理素质、身体素质、科学头脑、应变能力四个方面进行考核，每项满分均为100分，最后将四项得分按照4：3：2：1的比例确定成绩，小军四项所得的分数依次是86、85、88、90分，那么小军的最终得分是______分．
15. 如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，BE平分∠ABC交DC于点E，连接AE，若∠ABC=120°，∠EAB=37°，则∠ADB为______度．

16. 2022年北京冬奥运会、冬残奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”以满满的“未来感”和“中国风”圈粉无数，商家小王准备购进A、B两种类型的冬奥吉祥物纪念品，总共不超过120套，其中A型纪念品至少购进30套，B型纪念品的数量不少于A型纪念品的2倍，已知A型纪念品和B型纪念品单价之和为每套66元，但小王在做预算时将这两种纪念品的价格记反了，结果实际购买两种纪念品的总价比预算多了216元，若A型纪念品和B型纪念品的单价和数量均为整数，则小王实际购买这两种纪念品最多需花费______元．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：
(1)48÷3−215×30+24；
(2)(23−32)2−(6−5)(6+5).
18. 如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．
(1)尺规作图：作线段AC的垂直平分线EG，分别交AB，AC，CD于点E，F，G.(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，猜想DG与BE存在的数量关系，并证明你猜想的结论．

19. 2022年5月10日上午，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在大会上发表重要讲话，寄语青年：“用青春的能动力和创造力激荡起民族复兴的澎湃春潮，用青春的智慧和汗水打拼出一个更加美好的中国！”开州区某中学团委为了了解八年级共1080名学生对中国共青团团史知识的了解情况，开展了“青春心向党，建功新时代”团史知识竞赛，从甲、乙两班各随机抽取了18名学生的成绩(百分制，单位：分)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，过程如下：
【收集数据】
甲班18名学生测试成绩分别为：
87，89，78，81，84，93，94，83，85，88，97，100，90，92，95，96，99，100．
乙班18名学生测试成绩中90≤x<95的成绩如下：94，91，91，92，93，91．
【整理数据】
班级
75≤x<80
80≤x<85
85≤x<90
90≤x<95
95≤x<100
甲班
1
3
4
4
6
乙班
3
2
2
6
5
【分析数据】
班级
平均数
方差
众数
中位数
甲班
90.9
41.9
a
91
乙班
89.9
50.7
91
b
【应用数据】
(1)根据以上信息，可以求出：a=______，b=______；
(2)根据以上数据，你认为哪个班的学生对团史知识的了解情况整体成绩较好？请说明理由(一条理由即可)；
(3)若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加团史知识竞赛的1080名学生中成绩为优秀的学生共有多少人．
20. 某商场拟将地下一楼改建为地下停车库，将原步行楼梯入口AC改造为车库斜坡入口AD.已知入口高AB=4m，且AB⊥BD，点C处测得∠ACB=45°，新坡面坡角∠ADB=30°．
(1)求斜坡底部增加的长度CD为多少米？(保留根号)
(2)入口处水平线AE=6m，地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌EF，EF⊥BD，EF=1.3m.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入，请求出限制高度为多少米？(结果精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)

21. 如图，直线l1：y=−2x−4交x轴于点A，交y轴于点B．
(1)若直线l2：y=kx+b与l1交于点P(−3,t)，与y轴交于点C(0,8)，求直线l2的解析式，并在网格中画出直线l2；
(2)在(1)的条件下，连接AC，求△APC的面积．

22. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点M是CD中点，连接EM并延长交∠DCB的外角∠DCN的平分线于点F，连接DF．
(1)求证：四边形BCFE是平行四边形；
(2)判断四边形ECFD的形状并说明理由．

23. 若一个四位正整数abcd满足：a+d=b+c，我们就称该数是“和同数”.比如：对于四位数5263，∵5+3=2+6，∴5263是“和同数”，对于四位数1276，∵1+6≠2+7，∴1276不是“和同数”．
(1)直接写出最小的“和同数”和最大的“和同数”；
(2)若m是一个“和同数”，满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，且千位上的数字与十位上的数字之和能被7整除，请求出所有满足条件的m的值．
24. 在正方形ABCD中，连接对角线AC，在AC上截取AE=BC，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，延长AF交BC于点M．
(1)如图1，连接ME并延长交AD的延长线于点Q，若BC=5，求△AQM的面积；
(2)如图2，过点A作AP⊥AM于点A，交CD的延长线于点P，求证：AP−2FM=BE．

25. 如图，直线l1经过A(92,0)、B(2,−5)两点，直线l2：y=−x+3与直线交于点C，与x轴交于点D．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；
(3)把直线l1沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线l3与直线l2交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形(含正方形)？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、∵12+(3)2=1+3=4，22=4，
∴12+(3)2=22，
∴1，3，2能作为直角三角形的三边长，
故A不符合题意；
B、∵32+42=9+16=25，52=25，
∴32+42=52，
∴3，4，5能作为直角三角形的三边长，
故B不符合题意；
C、∵62+82=36+64=100，102=100，
∴62+82=102，
∴6，8，10能作为直角三角形的三边长，
故C不符合题意；
D、∵22+32=4+9=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长，
故D符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：A、17=77，不符合题意；
B、−6是最简二次根式，符合题意；
C、0.5=12=22，不符合题意；
D、8=22，不符合题意．
故选：B．
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：∵x−3≥0，
∴x≥3．
故选：C．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：∵S甲2=36，S乙2=24，S丙2=25.5，S丁2=6，
∴S丁2 ∴这四名学生的数学成绩最稳定的是丁，
故选：D．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

5.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求得菱形ABCD的周长．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=OD=12BD=3，AO=OC=12AC=2，AC⊥BD，
∴AB=AO2+BO2=13，
∴菱形的周长为413．
故选：C．

  
6.【答案】B 
【解析】解：A.由图象可知，变量气温是关于时间的函数，原说法错误，故本选项不合题意；
B.由图象可知，这一天中气温20℃出现了3次，说法正确，故本选项符合题意；
C.由图象可知，从3时至14时，气温随时间增长而上升，不是从0点，原说法错误，故本选项不合题意；
D.由图象可知，这一天的最高温度与最低温度相差28−16=12(℃)，原说法错误，故本选项不合题意．
故选：B．
根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是函数的图象，能根据函数图象在坐标系中的增减性判断出函数的增减性是解答此题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：11×(211−1)=11×211−11×1=22−11，
∵9<11<16，
∴3<11<4，
∴−3>−11>−4，即−4<−11<−3，
∴−4+22<−11+22<−3+22，
即18<22−11<19．
故选：B．
先进行二次根式的运算，然后估计11在哪两个整数之间，然后利用不等式的性质，估算出22−11在哪两个整数之间．
本题考查了二次根式的运算以及估算无理式的大小，先进行二次根式的运算，然后估计11的大小，进而估计计算结果的大小，无理数的估算是关键．

8.【答案】D 
【解析】解：A选项，顺次连接矩形各边的中点所成的四边形是菱形，这是真命题，故该选项不符合题意；
B选项，四个角都相等的四边形，那么每个角都等于90°，是矩形，这是真命题，故该选项不符合题意；
C选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这是真命题，故该选项不符合题意；
D选项，对角线还需要互相平分，这是假命题，故该选项符合题意；
故选：D．
根据中位线定理和菱形的判定定理判断A选项；根据矩形的判定判断B选项；根据平行四边形的判定判断C选项；根据正方形的判定定理判断D选项．
本题考查了命题与定理，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：∵正比例函数y=−ax(a≠0)函数值随x的增大而减小，
∴−a<0，
∴a>0，
∴一次函数y=ax−a的图象经过一、三、四象限．
故选：A．
由于正比例函数y=−ax(a≠0)函数值随x的增大而减小，可得−a<0，a>0，然后，判断一次函数y=ax−a的图象经过象限即可．
本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y=kx+b，当k>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当k>0，b<0时，图象过一、三、四象限；k<0，b>0时，图象过一、二、四象限；k<0，b<0时，图象过二、三、四象限．

10.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形．
∴AB=CD，OD=12BD=3．
∵DF垂直平分OC．
∴CD=OD=3．
∴AB=CD=3．
在Rt△BCD中，
BC=BD2−CD2=(23)2−(3)2=3．
在Rt△DCF中，
CF=DF2−DC2=22−(3)2=1．
∴BF=BC−CF=3−1=2．
在Rt△ABF中，
AF=AB2+BF2=(3)2+22=7．
故选：C．
根据矩形对角线相等且互相平分，OD=12BD=3，再根据DF垂直平分OC，得DC=OD=3，分别在Rt△DCF，Rt△DCB中，利用勾股定理求出CF、BC的长，从而求出BF，在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，正确运用矩形对角线互相平分得出OD=12BD是解题的关键．

11.【答案】A 
【解析】解：∵一次函数y=(m+3)x+m−5的图象不经过第二象限，
∴m+3>0m−5≤0，
解得−3 解分式方程1−mxx−2+3=12−x得，x=43−m，
∵关于x的分式方程1−mxx−2+3=12−x有非负整数解，
∴43−m是非负整数且不等于2，
∴m=−1，2，
∵(−1)+2=1，
∴满足条件的所有整数m的和为1，
故选：A．
根据题意可以求得满足条件的m的取值，从而可以得到满足条件的所有整数m的和．
本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出满足条件的m的值，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．

12.【答案】C 
【解析】解：①15−2分子、分母同时乘以2+5，原式=1×(2+5)(5−2)(2+5)=2+53，分母中的根号化去，实现分母有理化．
故①正确．
②∵2的整数部分是1，a是2的小数部分，
∴a=2−1，
∴3a=12−1=1×(2+1)(2−1)(2+1)=2+1．
故②正确．
③16−2=1×(6+2)(6−2)(6+2)=6+22，
15−3=1×(5+3)(5−3)(5+3)=5+32，
∵6>5，2>3，
∴6+2>5+3，
∴6+22=5+32．
故③正确．
④23+3+253+35+275+57+…+29997+9799
=2×(3−3)(3+3)(3−3)+2×(53−35)(53+35)(53−35)+2×(75−57)(75+57)(75−57)+⋅⋅⋅+2×(9997−9799)(9997+9799)(9997−9799)
=(1−33)+(33−55)+(55−77)+⋅⋅⋅+(9797−9999)
=1−33+33−55+55−77+⋅⋅⋅+9797−9999
=1−9999．
故④错误．
⑤∵x=n+1−nn+1+nn+1+nn+1−n=(n+1−n)(n+1−n)(n+1+n)(n+1−n)=(n+1−n)2，
∴x>0，
∵y=1x，
∴xy=1，y=n+1+nn+1−n=(n+1+n)2，
∴y>0，
∴x+y>0，
∵19x2+123xy+19y2=1985，
∴19x2+123+19y2=1985，
x2+y2=98，
x2+y2+2xy=98+2xy，
(x+y)2=98+2，
(x+y)2=100，
∵x+y>0，
∴xy=10，
即(n+1−n)2+(n+1+n)2=10，
解得n=2．
故⑤正确．
故选：C．
①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化，
②估计无理数2的整数部分，求出小数部分2−1，进而分母有理化进行化简，
③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小，
④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值，
⑤x与y可以分母有理化化简，x与y互为倒数，则xy=1，然后观察方程特点，求得n的值．
本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化，解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题．

13.【答案】x≥−3 
【解析】解：根据题意，可知当x=−3时，y=kx+b=2，
根据图象可知关于x的不等式kx+b≥2解集为：x≥−3．
故答案为：x≥−3．
根据题意，可知当x=−3时，y=kx+b=2，根据图象即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，结合图象解不等式是解题的关键．

14.【答案】86.5 
【解析】解：小军的最终得分是86×4+85×3+88×2+90×14+3+2+1=86.5(分)，
故答案为：86.5．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．

15.【答案】83 
【解析】解：∵平行四边形ABCD中，AD=BC，∠ADE=∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∵∠EAB=37°，
∴∠EAD=∠BAD−∠EAB=23°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC，∠BEC=60°，
∴BE=AD，∠BED=120°=∠ADE，
在△BDE与△AED中，
BE=AD∠BED=∠ADEED=DE，
∴△BDE≌△AED(SAS)，
∴∠DBE=∠EAD=23°，
∴∠DBC=83°，
∴∠ADB=∠DBC=83°，
故答案为：83．
根据平行四边形的性质得到AD=BC，∠ADE=∠ABC=120°，∠BAD=60°，根据等边三角形的性质得到BE=BC，∠BEC=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行四边形的对边相等的应用，注意数形结合思想的应用．

16.【答案】4068 
【解析】解：设A型纪念品购进x套，B型纪念品购进y套，依题意有：
x≥30y≥2xx+y≤120，
解得30≤x≤4060≤y≤90，
设A型纪念品每套a元，则B型纪念品每套(66−a)元，依题意有：
ax+y(66−a)−ay−x(66−a)=216，
(66−2a)(y−x)=216=4×54，
∵30≤y−x≤60，
∴66−2a=4，y−x=54，
解得a=31，
则66−a=66−31=35，
∵x+y≤120，A型纪念品和B型纪念品的单价和数量均为整数，
∴x最大为33，y为87，
31×33+35×87
=1023+3045
=4068(元)．
答：小王实际购买这两种纪念品最多需花费4068元．
故答案为：4068．
设A型纪念品购进x套，B型纪念品购进y套，根据商家小王准备购进A、B两种类型的冬奥吉祥物纪念品，总共不超过120套，其中A型纪念品至少购进30套，B型纪念品的数量不少于A型纪念品的2倍，列出不等式组得到30≤x≤4060≤y≤90，再设A型纪念品每套a元，则B型纪念品每套(66−a)元，根据结果实际购买两种纪念品的总价比预算多了216元，得到(66−2a)(y−x)=216=4×54，再根据30≤y−x≤60，得到66−2a=4，y−x=54，根据x+y≤120，A型纪念品和B型纪念品的单价和数量均为整数，得到x最大为33，y为87，依此即可求解．
本题考查应用类问题，解题的关键是读懂题意，列出方程及不等式组．

17.【答案】解：(1)48÷3−215×30+24
=48÷3−215×30+26
=16−26+26
=4−26+26
=4；
(2)(23−32)2−(6−5)(6+5)
=12−126+18−(6−5)
=29−126． 
【解析】(1)先算乘除，后算加减，即可解答；
(2)利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：(1)如图，直线EG即为所作；

(2)DG=BE，
证明：∵EG垂直平分AC，
∴FA=FC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD/​/AB，CD=AB，
∴∠DCA=∠BAC，
在△CFG和△AFE中，
∠CFG=∠AFECF=AF∠GCF=∠AFE，
∴△CFG≌△AFE(ASA)，
∴CG=AE，
∴CD−CG=AB−AE，
即DG=BE． 
【解析】(1)利用基本作图，作AC的垂直平分线即可；
(2)由EG垂直平分AC得到FA=FC，根据平行四边形的性质得到CD/​/AB，CD=AB，然后证明△CFG≌△AFE得到CG=AE，从而得到结论．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(过一点作已知直线的垂线)，也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．

19.【答案】100  91 
【解析】解：(1)∵甲班18名学生测试成绩中，100出现的次数最多，
∴甲班的众数是100，即a=100；
∵乙班18名学生测试成绩中，第9号和10号位置的数都是91，
而91和91的平均数也是91，
∴乙班的中位数是91，即b=91，
故答案为：100；91；
(2)甲班的学生对团史知识的了解情况整体成绩较好，理由：
因为甲班的平均数90.9大于乙班的平均数89.9，
所以甲班的学生对团史知识的了解情况整体成绩较好；
(3)4+6+6+518+18×1080=630(人)，
答：参加团史知识竞赛的1080名学生中成绩为优秀的学生大约有630人．
(1)根据众数和中位数的定义解答即可；
(2)根据平均数的定义解答即可；
(3)利用样本估计总体即可．
本题考查了平均数，中位数，方差及众数的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，众数是出现次数最多的数据．

20.【答案】解：(1)∵AB⊥BD，
∴∠B=90°，
在Rt△ABC中，AB=4m，∠ACB=45°，
∴BC=ABtan45∘=4(m)，
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，
∴BD=ABtan30∘=433=43(m)，
∴CD=BD−BC=(43−4)m，
∴斜坡底部增加的长度CD为(43−4)m；
(2)延长EF交AD于点G，过点F作FH⊥AD，垂足为H，

由题意得：
∠FHG=∠AEG=90°，AE/​/BD，
∴∠EAD=∠ADB=30°，
∴∠AGF=90°−∠EAD=60°，
在Rt△AEG中，AE=6m，
∴EG=AE⋅tan30°=6×33=23(m)，
∵EF=1.3m，
∴FG=EG−EF=2.1(m)，
在Rt△FHG中，FH=FG⋅sin60°=2.1×32≈1.8(m)，
∴限制高度约为1.8米． 
【解析】(1)根据垂直定义可得∠B=90°，然后分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BC，BD的长，进行计算即可解答；
(2)延长EF交AD于点G，过点F作FH⊥AD，垂足为H，根据题意可得∠FHG=∠AEG=90°，AE/​/BD，从而求出∠EAD=30°，∠AGF=60°，然后在Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而求出FG的长，最后在Rt△FHG中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，解直角三角形的应用−坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

21.【答案】解：(1)把点P(−3,t)代入y=−2x−4得t=6−4=2，则P点坐标为(−3,2)，
∵直线l2：y=kx+b与l1交于点P(−3,2)，与y轴交于点C(0,8)，
∴−3k+b=2b=8，解得k=2b=8，
所以直线l2的解析式为y=2x+8，
如图，直线l即为所作，

(2)点B是直线y=−2x−4与y轴的交点，
∴令x=0，则y=−4，即点B(0,−4)，
∵C(0.8)，
∴BC=12，
∴S△BCP=12×12×3=18，
又∵点A是直线y=−2x−4与x轴的交点，
∴令y=0，则x=−2，即点A(−2,0)，
∴S△ABC=12×12×2=12，
∴S△APC=S△BCP−S△ABC=18−12=6． 
【解析】(1)先把P(−3,t)代入y=−2x−4求出t，则可确定P点坐标，然后利用待定系数法求直线l2的解析式，然后画出直线l2；
(2)先利用坐标轴上点的坐标特征确定A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=BE，∠ACD=12∠BCD，AC⊥BD，
∵点M是CD中点，
∴EM是△BCD的中位线，
∴EM/​/BC，
∵CF平分∠DCN，
∴∠DCF=12∠DCN，
∴∠ACD+∠DCF=12(∠BCD+∠DCN)=12×180°=90°，
即∠ACF=90°，
∴AC⊥CF，
∴BD/​/CF，
∴四边形BCFE是平行四边形；
(2)解：四边形ECFD是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BE=DE，AC⊥BD，
∴∠DEC=90°，
由(1)可知，四边形BCFE是平行四边形，
∴BE=CF，BE/​/CF，
∴DE=CF，DE/​/CF，
∴四边形ECFD是平行四边形，
又∵∠DEC=90°，
∴平行四边形ECFD是矩形． 
【解析】(1)证EM是△BCD的中位线，得EM/​/BC，再证∠ACF=90°，则AC⊥CF，得BD/​/CF，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得BE=DE，AC⊥BD，则∠DEC=90°，再由平行四边形的性质得BE=CF，BE/​/CF，则DE=CF，DE/​/CF，然后证四边形ECFD是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．

23.【答案】解：(1)根据题意得最小的“和同数”是1010，最大的“和同数”为9999；
(2)设“和同数”m=abcd−，则a+d=b+c，
∵m满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，
∴d=2b，
∴a+2b=b+c，
∴a+b=c，
∵千位上的数字与十位上的数字之和能被7整除，
∴a+c=7k(k为正整数)，
∵0 ∴k=1或2，
当k=1时，则①a=1，b=5，c=6，d=10(不合题意，舍去)；
②a=2，b=3，c=5，d=6，
∴m=2356；
③a=3，b=1，c=4，d=2，
∴m=3142；
当k=2时，则①a=5，b=4，c=9，d=8，
∴m=5498；
②a=6，b=2，c=8，d=4，
∴m=6284；
③a=7，b=0，c=14，d=0，
∴m=7070；
综上所述，满足条件的m的值有：2356，3142，5498，6284，7070． 
【解析】(1)根据新定义和四位数大小特征进行解答便可；
(2)设“和同数”m=abcd−，根据新定义得a+d=b+c，根据m满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，得a+b=c，根据千位上的数字与十位上的数字之和能被7整除，得a+c=7k(k为正整数)，求得k=1或2，分两种情况分别求得m的值便可．
本题主要考查了新定义，不定方程的应用，整除的性质，关键是理解新定义，根据整除的性质得出不定方程．

24.【答案】(1)解：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，BC=5，
∴AB=BC=5，∠DAB=∠ABC=90°，∠QAE=12∠DAB=45°，
∵AE=AB=5，AF⊥BE，
∴∠EAM=∠BAM，
在△EAM和△BAM中，
AE=AB∠EAM=∠BAMAM=AM，
∴△EAM≌△BAM(SAS)，
∴∠AEM=∠ABM=90°，
∴∠AEQ=90°，
∴∠Q=180°−∠QAE−∠AEQ=180°−45°−90°=45°，
∴QE=AE=5，
∴AQ=QE2+AE2=52+52=52，
∴△AQM的面积=12⋅AQ⋅AB=12×52×5=2522；
(2)证明：如图2，在AF上截取FG=FM，连接BG，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=∠ADC=∠ADP=90°，∠CAB=∠ACB=45°，
∵AP⊥AM，
∴∠PAM=∠DAB=90°，
∴∠PAM−∠DAM=∠DAB−∠DAM，即∠PAD=∠MAB，
在△PAD和△MAB中，
∠PDA=∠MBADA=BA∠PAD=∠MAB，
∴△PAD≌△MAB(ASA)，
∴AP=AM，
∵AB=AE，AF⊥BE，
∴∠BAG=∠EAG=12∠CAB=22.5°，
∴∠BMG=∠EAG+∠ACB=22.5°+45°=67.5°，
∵FG=FM，BF⊥GM，
∴BG=BM，∠EBC=12∠GBM，
∴∠BGM=∠BMG=67.5°，
∴∠ABG=∠BGM−∠BAG=67.5°−22.5°=45°，
∴∠GBM=90°−45°=45°，
∴∠EBC=12∠GBM=22.5°，
在△ABG和△BCE中，
∠GAB=∠EBC=22.5°AB=BC∠ABG=∠BCE=45°，
∴△ABG≌△BCE(ASA)，
∴AG=BE，
∵AM−GM=AG，
∴AP−2FM=BE． 
【解析】(1)由正方形的性质得出AB=BC=5，∠DAB=∠ABC=90°，∠QAE=12∠DAB=45°，由等腰三角形的性质得出∠EAM=∠BAM，得出△EAM≌△BAM，进而证明△AEQ是等腰直角三角形，由勾股定理得出AQ=52，代入三角形面积公式进行计算，即可求出△AQM的面积；
(2)在AF上截取FG=FM，连接BG，先证明△PAD≌△MAB，得出AP=AM，再证明△ABG≌△BCE，得出AG=BE，由AM−GM=AG，得出AP−2FM=BE．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，线段的和差计算等知识是解决问题的关键．

25.【答案】解：(1)设直线l1的解析式为y=kx+b，
∴92k+b=02k+b=−5，
解得k=2b=−9，
∴y=2x−9，
联立方程组y=2x−9y=−x+3，
解得x=4y=−1，
∴C(4,−1)；
(2)在y=−x+3中，令y=0，则x=3，
∴D(3,0)，
作D点关于y轴的对称点D′，连接D′B交y轴于点P，连接PD，
∵PD=PD′，
∴PD+CD+BC+PB=PD′+PB+BC+CD≥BD′+BC+CD，
∴当P、B、D′三点共线时，四边形PDCB的周长最小，
∵D′(−3,0)，
∴DD′=6，
设直线BD′的解析式为y=k′x+b′，
∴−3k′+b′=02k′+b′=−5，
解得k′=−1b′=−3，
∴y=−x−3，
令x=0，则y=−3，
∴P(0,−3)，
∴AD′=152，AD=32，
∴S△AD′B=12×152×5=754，
S△DD′P=12×6×3=9，
S△ACD=12×32×1=34，
∴S四边形PDCB=S△AD′B−S△DD′P−S△ACD=754−9−34=9；
(3)存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形(含正方形)，理由如下：
由题意可得直线l3的解析式为y=2x，
联立方程组y=2xy=−x+3，
解得x=1y=2，
∴E(1,2)，
设Q(m,0)，F(x,y)，
①当ED为菱形对角线时，EQ=DQ，
∴4=m+xy=2(m−1)2+4=(m−3)2，
解得x=3y=2m=1，
∴Q(1,0)；
②当EQ为菱形对角线时，DE=DQ，
∴1+m=3+x2=y4+4=(m−3)2，
解得x=22+1y=2m=22+3或x=−22−5y=2m=−22−3，
∴Q(22−3,0)或(−22−3,0)；
③当EF为菱形对角线时，DE=EQ，
∴1+x=3+m2+y=04+4=(m−1)2+4，
解得x=3y=−2m=−1或x=1y=−2m=3(舍)，
∴Q(−1,0)；
综上所述：Q点坐标为(1,0)或(22−3,0)或(−22−3,0)或(−1,0)． 
【解析】(1)由待定系数法求出直线l1的解析式为y=2x−9，联立方程组y=2x−9y=−x+3，即可求C点坐标；
(2)作D点关于y轴的对称点D′，连接D′B交y轴于点P，连接PD，当P、B、D′三点共线时，四边形PDCB的周长最小，求出直线BD′的解析式为y=−x−3，则可求P(0,−3)，由S四边形PDCB=S△ABD′−S△DD′P−S△ACD求解即可；
(3)由题意可得直线l3的解析式为y=2x，联立方程组y=2xy=−x+3，求出E(1,2)，设Q(m,0)，F(x,y)，分三种情况讨论：①当ED为菱形对角线时，EQ=DQ，则4=m+xy=2(m−1)2+4=(m−3)2，可得Q(1,0)；②当EQ为菱形对角线时，DE=DQ，则1+m=3+x2=y4+4=(m−3)2，可得Q(22−3,0)或(−22−3,0)；③当EF为菱形对角线时，DE=EQ，则1+x=3+m2+y=04+4=(m−1)2+4，可求Q(−1,0)．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．