2021-2022学年重庆市沙坪坝区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年重庆市沙坪坝区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 轴上 D. 轴上

2. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 点为矩形对角线与的交点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 年冬奥会在北京市张家口成功举办．四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的方差如表所示，则这四名选手几次选拔赛成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5. 在▱中，：：，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一元二次方程配方后可化为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，与位似，点是它们的位似中心，其中：：，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 顺次连结菱形各边中点所得的四边形一定是(    )

A. 正方形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 矩形

9. 点为▱对角线与的交点，过点交于点，交于点，下列结论一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

11. 自行车运动爱好者小明从家出发沿笔直的公路骑行去公园，在公园休息玩耍后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离单位：与时间单位：之间的对应关系．下列描述正确的是(    )

A. 小明家距公园
B. 小明休息玩耍的时间为
C. 小明去公园的速度比回家时的速度快
D. 小明在公园休息玩耍和往返总时间为

12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象在第一、三象限，则关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的值之和是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中五名师生的体温单位：如下：，，，，，则这组数据的众数是______．
14. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则实数的值为______．
15. 如图，在▱中，，平分交于点，连结若，平分则▱的周长为______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，轴，垂足为，将绕点顺时针旋转到的位置，使点的对应点落到直线上，再将绕点顺时针旋转到的位置，使点的对应点落到直线上，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 解下列方程：
    ；
    ．
18. 如图，点为菱形的对角线与的交点．
    若，，求菱形的周长；
    若垂直且平分，垂足为点，判断的形状，并说明理由．

19. 为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某校组织七、八年级学生进行了“垃圾分类知识”比赛，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的比赛成绩百分制进行整理和分析成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息．
    七年级名学生的比赛成绩是：，，，，，，，，，
    八年级名学生的比赛成绩在组中的数据是：，，
    七八年级抽取的学生比赛成绩统计表

根据上述信息，解答下列问题：
直接写出上述图表中，的值；
计算七年级学生的平均成绩是多少分？
你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识更好？请说明理由写出一条理由即可．

20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知点，点的纵坐标为．
    求一次函数与反比例函数的表达式，并在网格中直接画出它们的图象不需列表；
    根据函数图象判断，当时，______填“”、“”或“”；
    连结，，求的面积．

21. 在▱中，连结，过点作于点，过点作于点，连结，．
    求证：四边形为平行四边形；
    若，，求的度数．

22. 如果一次函数、是常数与、是常数满足，且，则称为的“旋转函数”．
    例如：，，，且，为的“旋转函数”；
    又如：，，，但，不为的“旋转函数”．
    判断是否为的“旋转函数”？并说明理由；
    若一次函数为的“旋转函数”，求的值；
    已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，关于原点的对称点分别是点，，求直线的“旋转函数”．
23. 某商店以每件元的价格购进一种小电器，标价元，经过两次降价，以每件元出售，结果一个月售出台．根据以往销售经验，销售单价每降价元，每月销售量就会增加台．
    求平均每次降价的百分率；
    商店希望一个月内销售该种小电器能获得利润元，则该种小电器的销售单价应再降价多少元？
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点，交直线于点．
    求点的坐标；
    求的周长；
    在直线：上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

25. 点为正方形对角线与的交点，点为直线上一点点与点，点，点不重合，连结．
    如图，若点为的中点，，求的面积；
    如图，若点在线段上，过点作交于点，交于点过点作交于点求证：；
    若点为直线上一动点，其它条件与问条件不变．请写出线段，，之间的数量关系．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点的纵坐标为，
点在轴上．
故选：．
根据轴上的点的坐标特点解答即可．
本题考查了点的坐标，掌握坐标轴上的点的坐标特点是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，



，
故选：．
根据已知条件求出，再代入求出答案即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果，那么．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，
，
．
故选：．
利用矩形的对角线相等可以解决问题．
本题主要考查了矩形的对角线相等，比较简单．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
甲的成绩的方差最小，成绩最稳定，
故选：．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
，
：：，
，
，
故选：．
由平行四边形的对边平行结合条件可求得，则可求得的度数．
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行、对角相等是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为与位似，点是它们的位似中心，且：：，
所以．
故选：．
根据位似图形的性质分析即可．
本题考查了相似图形，熟练掌握相似图形的有关知识是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图：菱形中，、、、分别是、、、的中点，
，；，，
故四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是矩形．
故选：．
先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．
此题主要考查了菱形的性质，矩形的概念及三角形的中位线定理，正确把握相关性质是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
故选：．
利用平行四边形的性质，可得，，从而利用证明≌，得．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设剪去小正方形的边长为，则纸盒的底面为长，宽为的长方形，
依题意，得：．
故选：．
根据“剪去的小正方形的边长为”，则纸盒的底面为长，宽为的长方形，再根据纸盒的底面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图象知：
A.小明家距图书馆，故此选项不符合题意；
B.小明休息玩耍的时间为，故此选项不符合题意；
C.小明去公园的速度比回家时的速度快，描述正确，故此选项符合题意；
D.小明在公园休息玩耍和往返总时间为，故此选项不符合题意．
故选：．
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项的说法是否正确．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用图象来解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象在第一、三象限，
，
，
一元二次方程有实数根，
且，
且，
且，
且，
所有满足条件的整数的值为，，，，
所有满足条件的整数的值之和为，
故选：．
根据反比例函数的性质可得，从而可得，根据一元二次方程有实数根，从而可得，然后可得，从而可得所有满足条件的整数的值，最后进行计算即可解答．
本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程的定义，根的判别式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：数据，，，，中出现次，次数最多，
所以其众数为，
故答案为：．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

14.【答案】 

【解析】解：将代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
将代入方程得关于的方程，解之可得．
本题主要考查一元二次方程的解的定义和解方程的能力，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，
▱的周长，
故答案为：．
由平行四边形的性质得，，，再证，，则，，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，，
由旋转得：，，，
，
观察图象可知，在直线时，
，
的纵坐标，
的横坐标，
故答案为：
根据题意可知、、、落在直线上，要求出的长度，即可求出坐标．
考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转以及直角三角形的性质，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法．
 

17.【答案】解：，
，
或
，；

，
，
，． 

【解析】利用因式分解法中的提公因式法把方程左边进行因式分解；
利用利用公式法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了公式法解一元二次方程．
 

18.【答案】解：四边形是菱形．
，，且．
．
在中，
．
．
菱形的周长．
等边三角形．理由如下：
垂直且平分．
．
四边形是菱形．
．
．
是等边三角形． 

【解析】根据菱形的性质得出，，，在中利用勾股定理求出的长，从而求出菱形的周长；
根据垂直且平分可得，再根据菱形的性质可得，，所以故是等边三角形．
本题考查了菱形的性质与线段垂直平分线的性质，熟练运用菱形对角线互相垂直且平分，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：八年级抽取的名学生的比赛成绩中，
组人数有人，组人数有人，组人数有人，组人数有人，
八年级成绩从小到大排列后处在中间位置的两个数都是，因此中位数是，即，
，；
七年级学生的平均成绩是分；
八年级成绩较好，理由如下：
八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好． 

【解析】求出八年级抽取的名学生的比赛成绩四个组所在的人数，再根据中位数的定义求出的值，用组人数除以可得；
根据平均数的定义列式计算即可；
从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好．
本题考查平均数、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
反比例函数的图象经过点且点的纵坐标为，
点的坐标为，
一次函数的图象经过点，点，
，
解得：，，
故一次函数的解析式为；
图象如下：

根据函数图象，当时，；
故答案为：；
令，则，
，
的面积．
根据反比例函数的图象经过点，求出的值，得出反比例函数的解析式，从而求出点的坐标，再根据一次函数的图象经过点和点，求出和的值，得出一次函数的解析式；
根据函数的图象和交点坐标即可求得；
根据的面积，利用三角形角形的面积公式可得答案．
此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是根据所给的条件得出点的坐标，求出函数的解析式．注意运用数形结合的思想，难度不大，是中考常考的题型．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：，，
，
，
，
由可知，≌，
． 

【解析】证≌，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，再由直角三角形的性质得，然后由全等三角形的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】解：是的“旋转函数”，
理由：，，
是的“旋转函数”；

一次函数为的“旋转函数”，
，，
，，
；

对于函数，
令，得到，
令，得到，
，，
点，关于原点的对称点分别是点，，
，，
设直线的解析式为，则有，
，
直线的解析式为，
直线的“旋转函数”为． 

【解析】根据“旋转函数”的定义判断即可；
根据“旋转函数”的定义构建方程求解即可；
求出，的坐标，利用待定系数法解决问题即可．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，“旋转函数”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】解：设平均每次降价的百分率为，
根据题意，得，
解得或舍，
答：平均每次降价的百分率为；
设该种小电器的销售单价应再降价元，
根据题意，得，
解得或舍，
答：该种小电器的销售单价应再降价元． 

【解析】设平均每次降价的百分率为，根据经过两次降价，以每件元出售列一元二次方程，求解即可；
设该种小电器的销售单价应再降价元，根据一个月内销售该种小电器能获得利润元列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：当时，
解得，
，
；
对于，当时，，
，
对于，当时，，
，
，，，
的周长为；
存在，设，
，，
，
当时，则，
解得或舍去，
，
当时，则，
解得，
或，
当时，，
解得，
，
综上：存在点，或或或 

【解析】当时，解方程即可得出点的横坐标，从而得出答案；
利用函数解析式求出和的坐标，再利用两点间距离公式即可解决问题；
设，根据两点间的距离公式表示出，的长，再根据等腰三角形的性质进行分类即可．
本题是一次函数综合题，主要考查了两条直线的交点问题，两点间的距离公式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握两点间的距离公式表示各线段的长是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
 

25.【答案】解：正方形中，，点为的中点，
，，，
，
；
过点作于点，交于如图，

在正方形中，
，
，
，
，
，
≌，
，
同理证明≌，
，，
，
即；
当点在线段上时如上图，
由得：≌，
，
，，，
，
即；
当点在线段的延长线上时如图，连接，

正方形对角线与交于点，
垂直平分，，
，
，
，即，
在和中，由“”字型易得：，
同理和中，，
，
，
，
又，
≌，
，
，，
，即，
；
当点在线段的延长线上时如图，过点作于点，作于点，

，，
，，
≌，
，
在和中，由“”字型得，，
≌，
，
，，，
；
当点在线段的延长线上时如图，连接，

方法同上，得，，，，，
，
在≌，
，
，，，
，
．
综上所述：线段，，之间的数量关系为：或或． 

【解析】根据勾股定理计算正方形对角线的长，再根据三角形面积公式计算即可解答；
根据“一线三等角、型全等”这一基本模型，证明≌，≌，即可解答；
需要分：当点在线段上时、当点在线段的延长线上时、当点在线段的延长线上时，当点在线段上时四种情况分别解答即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，推理比较复杂，解题关键是关注特殊性，添加辅助线，需要十分扎实的基础和很强的能力．