2023-2024学年重庆市大足区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市大足区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2023年9月23日−10月8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感.如图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各组长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 1，2，3B. 1，1，2C. 1，2，2D. 1，5，7
3.如图，△ABC≌△DBE，∠ABC=80°，∠E=35°，则∠D的度数为( )
A. 80°
B. 35°
C. 65°
D. 115°
4.下列运算中，结果正确的是( )
A. 2a2+a2=3a4B. a2⋅a4=a8C. (a2)4=a6D. (−ab3)2=a2b6
5.如图，BE是△ABC中∠ABC的平分线，CE是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABC=40°，∠ACD=100°，则∠A+∠E=( )
A. 40°
B. 90°
C. 100°
D. 140°
6.下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是( )
A. a(b+c)=ab+acB. ax+ay+a=a(x+y)
C. (x+y)(x−y)=x2−y2D. x2+8x+16=(x+4)2
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC上，AC⊥AD，AD=3cm，则BC的长为( )
A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm
8.一项工程，甲单独完成比乙单独完成多用5天，若甲、乙合作2天后，甲需再用4天才能全部完成，若设乙单独完成此项工程需x天，则下列方程正确的是( )
A. 2+4x+5+2x=1B. 2+4x+2x+5=1
C. 2x−5+2+4x=1D. 2+4x−5+2x=1
9.如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC=130°，则∠GOF的度数为( )
A. 115°
B. 130°
C. 140°
D. 150°
10.有两个整数a、b，把整数对(a,b)进行某种操作后可得到(2b−a,b)，(a,2a−b)，(−b,−a)这三个整数对中的某一个整数对，称为第一次操作，再将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去…若将整数对(2,6)按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是( )
①若m次操作后得到的整数对仍然为(2,6)，则m的最小值为2
②三次操作后得到的整数对可能为(−6,−2)
③经过n次操作，可能得到的整数对是(−15,−16)
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m，将0.000000000148用科学记数法表示为 ．
12.如图，已知∠BAC=∠DAC，请添加一个条件：______，使△ABC≌△ADC(写出一个即可)．
13.使式子x−1x+2有意义的x的取值范围是______．
14.在平面直角坐标系中，点(3,1)关于x轴对称点的坐标是______．
15.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积是30，AB=8，AC=7，则点D到边AB的距离为______．
16.若x2−2mx+9是一个完全平方式，则m的值为______．
17.若数m使关于x的一元一次不等式组x+4>2x−1x18.一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之差的2倍，则称这个四位数为“差倍数”，对于“差倍数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为F(m)，则F(3421)= ______；若F(m)能被11整除，则所有满足条件的“差倍数”中的最大值为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)a(a−b)+(b+a)(b−a)；
(2)x2−2x+1x−3÷(2x−3+1)．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，A(−1,2)，B(−4,0)，C(−3,−2)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，并写出点B′的坐标；
(2)△ABC的面积为______．
21.(本小题10分)
在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点．
(1)用尺规完成作图：作线段AD的垂直平分线交BC于点E，交AD于F，连接AE，DE；
(注意：保留作图痕迹，不写作法，不下结论)
(2)推理填空：若∠AED=∠C，求证：BE=CD．
解：∵AB=AC
∴ ______
又∵∠AED=∠C
∴ ______
∵∠AEC=∠AED+∠CED
且∠AEC=∠B+ ______
∴ ______
∵EF垂直平分AD
∴ ______
∴△ABE≌△ECD(AAS)
∴BE=CD．
22.(本小题10分)
(1)分解因式：2a3−12a2+18a；
(2)解方程：xx+1−4x2−1=1．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC.过点A作AD//BC交∠ACB的平分线于点D，连接BD．
(1)求证：△ABD为等腰三角形．
(2)若∠BDC=20°，求∠ADC的度数．
24.(本小题10分)
如图，AO是△ABC的中线，CD⊥AO，垂足为D，BE⊥AO，交AO的延长线于点E，F是AE上一点，连接BF．
(1)求证：BE=CD；
(2)若BF=CA，求证：AF=2DO．
25.(本小题10分)
某工厂加工生产A、B两种型号的零件，每名工人每天只能生产一种型号的零件，一名熟练工每天生产的B零件的数量是A零件数量的23，并且生产240个A零件所用的时间比生产同样数量的B零件要少用5天．
(1)求一名熟练工每天可以生产多少个A零件；
(2)该工厂原有10名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产5个A零件或3个B零件，工厂决定派4名熟练工带领一部分新工人一起生产A零件，其余工人全部生产B零件，已知2个A零件与3个B零件刚好配套.若一共招聘了30名新工人，问安排多少名新工人生产A零件，才能使得该工厂每天生产的A、B两种型号的零件刚好配套？
26.(本小题10分)
在△ABC和△CDE中，BC=CD，连接BD，BD恰好平分∠ABC．

(1)如图1，当∠ABC=60°时，求∠BCD的度数；
(2)如图2，在射线BD上存在一点F，使∠FCE+∠ABC=180°，连接CF.当∠ABC=120°，CF=CE时，试说明DE与BC的位置关系；
(3)如图3，在(2)问的条件下，连接EF并延长，分别交AB，CD于点M，N，若MN=2 3，AB=BC，P，Q分别为AC和DC上的动点，请直接写出△FPQ周长的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2.【答案】C
【解析】解：A.1+2=3，不能构成三角形，不合题意；
B.1+1=2，不能构成三角形，不合题意；
C..1+2>2，能构成三角形，符合题意；
D.1+5<7，不能构成三角形，不合题意．
故选：C．
根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3.【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠DBE=∠ABC=80°，
∵∠E=35°，
∴∠D=180°−80°−35°=65°．
故选：C．
由全等三角形的性质推出∠DBE=∠ABC=80°，而∠E=35°，由三角形内角和定理求出∠D=180°−80°−35°=65°．
本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得到∠DBE=∠ABC=80°．
4.【答案】D
【解析】解：A.2a2+a2=3a2，故本选项不符合题意；
B.a2⋅a4=a6，故本选项不符合题意；
C.(a2)4=a8，故本选项不符合题意；
D.(−ab3)2=a2b′6，故本选项符合题意．
故选：D．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方等知识点，能正确运用并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则进行计算是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠CBE=12∠ABC=12×40°=20°，∠DCE=12∠ACD=12×100°=50°．
∵∠ACD是△ABC的外角，∠DCE是△BCE的外角，
∴∠A=∠ACD−∠ABC=100°−40°=60°，∠E=∠DCE−∠CBE=50°−20°=30°，
∴∠A+∠E=60°+30°=90°．
故选：B．
由BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，利用角平分线的定义，可求出∠CBE，∠DCE的度数，由∠ACD是△ABC的外角，∠DCE是△BCE的外角，利用三角形的外角性质，可求出∠A，∠E的度数，再将其代入∠A+∠E中，即可求出结论．
本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.a(b+c)=ab+ac，是整式的乘法计算，故不符合题意；
B.ax+ay+a=a(x+y+1)，故不符合题意；
C.(x+y)(x−y)=x2−y2，是整式的乘法计算，故不符合题意；
D.x2+8x+16=(x+4)2，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故符合题意．
故选：D．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=12×(180°−120°)=30°，
∵AC⊥AD，
∴∠DAC=90°，
∴CD=2AD=2×3=6(cm)，
∵∠BAD=∠BAC−∠DAC=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=3cm，
∴BC=CD+BD=6+3=9(cm)．
故选：C．
由等腰三角形的性质求出∠B=∠C=12×(180°−120°)=30°，由垂直的定义得到∠DAC=90°，由含30度角的直角三角形的性质推出CD=2AD=2×3=6(cm)，求出∠BAD=∠BAC−∠DAC=30°，得到∠B=∠BAD，因此BD=AD=3cm，即可求出BC=CD+BD=6+3=9(cm)．
本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质得到CD=2AD．
8.【答案】A
【解析】解：若设乙单独完成此项工程需x天，则甲单独完成此项工程需(x+5)天，
依题意得：2+4x+5+2x=1，
故选：A．
若设乙单独完成此项工程需x天，则甲单独完成此项工程需(x+5)天，根据“甲、乙合作2天后，甲需再用4天才能全部完成”，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：连接OA，如图：
∵OE是AC的垂直平分线，OD是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，OA=OC，∠ADO=∠AEO=90°，
∴∠1=∠OBA，∠2=∠OCA，
∵∠BOC=130°，
∴∠OBC+∠OCB=180°−∠BOC=50°，
∴∠1+∠OBA+∠2+∠OCA=180°−(∠OBC+∠OCB)=130°，
∴2∠1+2∠2=130°，
∴∠1+∠2=65°，
∴∠BAC=65°，
∴∠DOE=360°−∠ADO−∠AEO−∠BAC=360°−90°−90°−65°=115°，
∴∠GOF=∠DIE=115°．
故选：A．
连接OA，先利用线段垂直平分线的性质可得OA=OB，OA=OC，从而可得∠1=∠OBA，∠2=∠OCA，然后利用三角形内角和定理可得∠OBC+∠OCB=50°，从而可得∠1+∠OBA+∠2+∠OCA=130°，进而可得∠1+∠2=65°，再由四边形内角和定理得出∠DOE的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①把整数对(2,6)按照(−b,−a)操作后的(−6,−2)，完成第一次操作，第二次操作再按照(−b,−a)得(2,6)，故①正确；
②根据①的前两次操作，第三次操再按照(−b,−a)得(−6,−2)，故②正确；
③把整数对(2,6)按照(2b−a,b)，(a,2a−b)，(−b,−a)操作，得到的数对都是偶数，所以不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是(−15,−16).故③不正确．
故选：B．
根据把整数对(a,b)进行某种操作后可得到(2b−a,b)，(a,2a−b)，(−b,−a)这三个整数对中的某一个整数对，对(2,6)分别进行操作，对各结论逐一判断即可的答案．
本题考查了新定义，解题关键是读懂题意，正确运用题目中的运算法则．
11.【答案】1.48×10−10
【解析】【分析】
此题考查科学记数法表示绝对值较小的数的方法，准确确定n的值是解决问题的关键．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．
【解答】
解：0.000000000148=1.48×10−10．
故答案为：1.48×10−10．
12.【答案】AB=AD(答案不唯一)
【解析】解：添加：AB=AD，
在△ABC和△ADC中，AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
故答案为：AB=AD．
添加AB=AD，再加上条件∠BAC=∠DAC，公共边AC，可利用SAS定理判定△ABC≌△ADC．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
13.【答案】x≠−2
【解析】解：由题意可知：x+2≠0，
∴x≠−2
故答案为：x≠−2
根据分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
14.【答案】(3,−1)
【解析】解：在平面直角坐标系中，点(3,1)关于x轴对称点的坐标是(3,−1)．
故答案为：(3,−1)．
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
15.【答案】4
【解析】解：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴DM=DN，
∵△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积=30，
∴12AB⋅DM+12AC⋅DN=30，
∵AB=8，AC=7，
∴12(8+7)⋅DM=30，
∴DM=4，
∴点D到边AB的距离为4．
故答案为：4．
过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，由角平分线的性质推出DM=DN，由三角形面积公式得到12AB⋅DM+12AC⋅DN=30，又AB=8，AC=7，即可求出DM=4，得到点D到边AB的距离为4．
本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到DM=DN，由三角形面积公式得到12AB⋅DM+12AC⋅DN=30．
16.【答案】3或−3
【解析】解：∵x2−2mx+9是一个完全平方式，
∴−2m=±6，
解得：m=3或−3．
故答案为：3或−3．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
17.【答案】6
【解析】解：由于x+4>2x−1的解集为x<5，而关于x的一元一次不等式组x+4>2x−1x所以m≤5，
关于y的分式方程2+my−1+y1−y=1两边都乘以y−1得，
2+m−y=y−1，
解得y=m+32，
而分式方程有非负整数解，
所以m=−3或m=−1或m=1或m=3或m=5，
又分式方程有增根y=1，
当y=1时，即m+32=1，此时m=−1，
综上所述，m的值可以为−3，1，3，5，
所以符合条件的所有整数m的值之和−3+1+3+5=6．
故答案为：6．
根据一元一次不等式组的解集确定m的取值范围，再根据分式方程的非负整数解以及增根的定义进行计算即可．
本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的非负整数解，掌握分式方程的解法，增根以及一元一次不等式组的解集和解法是正确解答的关键．
18.【答案】1425 9815
【解析】解：F(m)=bcd+acd+abd+bc，
F(3421)=421+321+341+342=1425，
m=1000a+100b+10c+d，
F(m)=bcd+acd+abd+bcd
=65×11b−53×11c−27×11d+5b+4c，
F(m)11
=65×11b−53×11c+5b+4c11
=65b−53c−27d+5b+4c11，
∴当5b+4c应是11的倍数，
∵0≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，
∴0≤5b+4c≤81，
∴5b+4c=11或22或33或44或55或66或77，
当5b+4c=44时，
b=8，c=1时倍差数可以为最大9815．
阅读理解题，按照题目要求解出答案即可，m=1000a+100b+10c+d，a+d=2(b−c)，F(m)=bcd+acd+abd+bcd．
本题考查了整式的加减与阅读理解，难度偏高．
19.【答案】解：(1)a(a−b)+(b+a)(b−a)
=a2−ab+b2−a2
=b2−ab；
(2)x2−2x+1x−3÷(2x−3+1)
=(x−1)2x−3÷2+x−3x−3
=(x−1)2x−3÷x−1x−3
=(x−1)2x−3⋅x−3x−1
=x−1．
【解析】(1)利用单项式乘多项式，平方差公式进行计算，即可解答；
(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】4
【解析】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求，点B′的坐标为(4,0)；
(2)△ABC的面积为3×4−12×2×3−12×1×2−12×2×4=4，
故答案为：4．
(1)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
(2)用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可．
本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
21.【答案】∠B=∠C ∠B=∠AED ∠BAE ∠BAE=∠CED AE=DE
【解析】解：(1)如图所示，直线EF为所求；
(2)∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠AED=∠C，
∴∠B=∠AED，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，
且∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠BAE=∠CED，
∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，
∴△ABE≌△ECD(AAS)，
∴BE=CD．
故答案为：∠B=∠C，∠B=∠AED，∠BAE，∠BAE=∠CED，AE=DE．
(1)根据题意作出图形即可；
(2)根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判断和性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)原式=2a(a2−6a+9)
=2a(a−3)2；
(2)原方程去分母得：x(x−1)−4=(x+1)(x−1)，
整理得：−x−4=−1，
解得：x=−3，
检验：将x=−3代入(x+1)(x−1)得−2×(−4)≠0，
故原方程的解为x=−3．
【解析】(1)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查因式分解及解分式方程，熟练掌握因式分解及解方程的方法是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AD/​/BC，
∴∠ADC=∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AD=AC，
∵AB=AC，
∴AD=AB，
∴△ABD是等腰三角形；
(2)解：设∠ADC=x°，
由(1)可得：∠ADC=∠ACD=∠DCB=x°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2x°，
∵∠BDC=20°，
∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=(x+20)°，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=(x+20)°，
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠BDC+∠ABD+∠ABC+∠DCB=180°，
∴20+x+20+2x+x=180，
解得：x=35，
∴∠ADC=35°．
【解析】(1)根据角平分线的定义和平行线的性质可证△ADC是等腰三角形，从而可得AD=AC，然后利用等量代换可得AD=AB，即可解答；
(2)设∠ADC=x°，利用(1)的结论可得：∠ADC=∠ACD=∠DCB=x°，从而可得∠ACB=2x°，再利用等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=2x°，然后利用角的和差关系可得∠ADB=(x+20)°，再利用等腰三角形的性质可得∠ADB=∠ABD=(x+20)°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AO是△ABC的中线，
∴BO=CO，
∵BE⊥AO，BE⊥AO，
∴∠CDO=∠E，
在△BEO和△CDO中，
∠E=∠CDO∠BOE=∠CODOB=OC，
∴△BEO≌△CDO(AAS)，
∴BE=CD；
(2)证明：在Rt△BEF和Rt△CDA中，
BF=ACBE=CD，
∴Rt△BEF≌Rt△CDA(HL)，
∴EF=AD，
∴EF+FD=AD+FD，
即AF=ED，
∵△BEO≌△CDO，
∴EO=DO，
∴ED=2OD，
∴AF=2DO．
【解析】(1)证明△BEO≌△CDO(AAS)，由全等三角形的性质得出BE=CD；
(2)证明Rt△BEF≌Rt△CDA(HL)，由全等三角形的性质得出EF=AD，由(1)得出EO=DO，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
25.【答案】解：(1)设一名熟练工每天可以生产x个A零件，则一名熟练工每天可以生产23x个B零件，
由题意得：240x=24023x−5，
解得：x=24，
经检验，x=24是原方程的解．且符合题意，
答：一名熟练工每天可以生产24个A零件；
(2)由(1)可知，23x=23×24=16，
设安排y名新工人生产A零件，则安排(30−y)名新工人生产B零件，
由题意得：(4×24+5y)×3=[(10−4)×16+(30−y)×3]×2，
解得：y=4，
答：安排4名新工人生产A零件，才能使得该工厂每天生产的A、B两种型号的零件刚好配套．
【解析】(1)设一名熟练工每天可以生产x个A零件，则一名熟练工每天可以生产23x个B零件，根据生产240个A零件所用的时间比生产同样数量的B零件要少用5天．列出分式方程，解方程即可；
(2)设安排y名新工人生产A零件，则安排(30−y)名新工人生产B零件，根据2个A零件与3个B零件刚好配套．根据2个A零件与3个B零件刚好配套．列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
26.【答案】解：(1)∵∠ABC=60°，BD恰好平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=30°，
∵BC=CD，
∴∠BDC=30°，
∴∠BCD=180°−30°−30°=120°；
(2)DE/​/BC，理由如下：
∵BD恰好平分∠ABC，∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°，
∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∵∠FCE+∠ABC=180°，
∴∠FCE=60°，
∴∠BCF=∠BCD+∠DCF=60°+∠DCF，∠DCE=∠FCE+∠DCF=60°+∠DCF，
∴∠BCF=∠DCE，
∵CF=CE，BC=CD，
∴△BCF≌△DCE(SAS)，
∴CDE=∠CBD=60°，
∴∠BDE=120°，
∴∠DBC+∠BDE=180°，
∴DE/​/BC；
(3)∵AB=BC，BD恰好平分∠ABC，
∴BD垂直平分AC，
作F点关于AC的对称点G，则G点在BD上，
∵∠BCD=∠DCE，
∴作F点关于CD的对称点H在DE上，
连接GH交AC于点P，交CD于点Q，
∴PF+PQ+FQ=GP+PQ+QH≥GH，
∴当G、H、P、Q四点共线时，△FPQ的周长最小，此时N、Q重合，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠ACB=30°，
∵∠BCD=60°，
∴∠DCA=30°，
连接CG，CH，
∴∠GCH=60°，
∵CF=CH=CG，
∴△CGH是等边三角形，
∴GH=CF，
∵△CEF是等边三角形，
∴EF=CF，
∴GH=EF，
过F点作FK//BC交AB于点K，
∵∠BKE=60°，
∵∠KBD=60°，
∴△KFB是等边三角形，
∴KF=BF，
∵BF=DE，
∴△KDM≌△DEN(ASA)，
∴MF=NE，
∴MF+FN=FN+NE，
∴MN=EF=2 3，
∴GH=EF=2 3，
∴△FPQ的周长的最小值为2 3．
【解析】(1)根据角平分线的定义和三角形内角和定理可求∠BCD的度数；
(2)先判断△BCD是等边三角形，再证明△BCF≌△DCE(SAS)，求出∠BDE=120°，再由同旁内角互补∠DBC+∠BDE=180°，可得DE/​/BC；
(3)根据题意可得BD垂直平分AC，作F点关于AC的对称点G，则G点在BD上，作F点关于CD的对称点H在DE上，连接GH交AC于点P，交CD于点Q，当G、H、P、Q四点共线时，△FPQ的周长最小，此时N、Q重合，可求出∠DCA=30°，连接CG，CH，则△CGH是等边三角形，能推导出GH=EF，过F点作FK//BC交AB于点K，可判断△KFB是等边三角形，证明△KDM≌△DEN(ASA)，则MF=NE，推导出MN=EF=GH=EF=2 3，则△FPQ的周长的最小值为2 3．
本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键．