2021-2022学年重庆市大足区八年级（下）期末数学试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年重庆市大足区八年级（下）期末数学试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市大足区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意。
1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）以下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．3、4、5 B．4、5、6 C．5、12、13 D．6、8、10
3．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．平行四边形的对角相等
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．有一个角是90°的菱形是正方形
4．（4分）共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（　　）
A．平均数小，方差大 B．平均数小，方差小
C．平均数大，方差小 D．平均数大，方差大
5．（4分）估计+1的值（　　）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
6．（4分）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是10km/h，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，3h后到达小岛A，乙客轮沿着南偏东60°的方向航行，4h到达小岛B．则A，B两岛的距离为（　　）km．
A．30 B．40 C．50 D．60
7．（4分）已知一次函数y＝kx﹣4（k≠0），y随x的增大而增大，则k的值可以是（　　）
A．﹣2 B．3 C．0 D．﹣3
8．（4分）某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为95分，80分，80分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（　　）
A．86分 B．85分 C．84分 D．83分
9．（4分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为﹣1和5时，输出的y的值相等，则b等于（　　）

A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
10．（4分）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若EF＝2，则DE的长为（　　）

A．2 B．1 C． D．
11．（4分）从﹣1，0，1，2，3五个数字中，随机抽取一个数，记为a．那么，使一次函数y＝﹣3x+a不经过三象限，且使关于x的分式方程有整数解的和是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，AG⊥BC于E，CF⊥AB于F，AG、CF交于H，CF、DA的延长线交于E，给出下列结论：①AC＝AG；②∠D＝∠CHG；③CH＝CD；④若点F是AB的中点，则BG＝（﹣1）GC；其中正确的结论有（　　）


A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）.
13．（4分）当有意义时，x的取值范围是 　 　．
14．（4分）如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE
时，AD＝1米，则BE＝　 　米．

15．（4分）甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当乙车到达A地时，甲车距A地 　 　千米．

16．（4分）在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别为AD、CD上一点，且AE＝CF，连接BF、CE，则BF+CE的最小值是 　 　．

三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题各8分，其余每小题8分，共86分）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理过程。
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）连接BE、DF，若∠ABE＝32°，求∠EFB的度数．

19．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，DA＝1，CD＝3．求四边形ABCD的面积．

20．（10分）为了解某学校疫情期间学生在家体育锻炼情况，从全体学生中随机抽取若干名学生进行调查．以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分，根据信息回答下列问题．
组别
平均每日体育锻炼时间（分）
人数
A
0≤x≤15
8
B
15＜x≤25

C
25＜x≤35
20
D
x＞35
12
（1）本次调查共抽取 　 　名学生；
（2）抽查结果中，B组有 　 　人；
（3）在抽查得到的数据中，中位数位于 　 　组（填组别）；
（4）若这所学校共有学生3000人，则估计平均每日锻炼超过25分钟有多少人？

21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（﹣2，0）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当函数y＝x﹣2的值大于一次函数y＝kx+b的值时，直接写出x的取值范围．
22．（10分）某小商品批发商批发的A、B两种商品的成本和批发价如表所示：

成本（元/件）
批发价（元/件）
A
3
3.4
B
3.5
4
该批发商花了32000元购进A，B两种商品若干件，立刻销售一空，共盈利4400元．
（1）该批发商分别购进A，B两种商品各多少件？
（2）由于畅销，该批发商决定再购进A，B两种商品共30000件，其中B商品的数量不多于A商品数量的2倍，那么该批发商购进A、B两种商品各多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？
23．（10分）若一个四位正整数的千位与十位相同，百位与个位相同，我们称这个四位数为“平衡数”．将“平衡数”t的千位、百位上的数字交换，十位、个位也交换，得到一个新数t′，记F（t）＝．例如t＝2525，t′＝5252，则F（t）＝＝14．
（1）若m是最大的“平䡓数”，则F（m）＝　 　；
（2）已知两个“平衡数“p，q，其中p＝，q＝（其中1≤a≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d且a，b，c，d都为整数）．若F（p）能被13整除，且F（p）＝2F（q）﹣（2d+c），求F（q）的最大值．
24．（10分）已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图1，点P为直线l1一个动点，若△PAC的面积等于10时，请求出点P的坐标；
（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1，请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．


25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，F为平行四边形内部一点，连接BF，CF，DF．
（1）如图1，DF⊥BC交BC于点E，已知∠ECF＝45°，∠CDE＝∠CBF，AB＝，EF＝1，求AD的长；
（2）如图2，DF⊥AB交AB于点E，BE＝DF且∠BFC＝90°，G为CD上一点，作MG⊥CF且MG＝BF，并以CG为斜边作等腰Rt△CGH，连接FM，FH，求证：MF＝FH．



2021-2022学年重庆市大足区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意。
1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝，故该选项不符合题意；
C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．（4分）以下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．3、4、5 B．4、5、6 C．5、12、13 D．6、8、10
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【解答】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，不符合题意；
B、42+52≠62，故不是直角三角形，符合题意；
C、52+122＝132，故是直角三角形，不符合题意；
D、62+82＝102，故是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．平行四边形的对角相等
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．有一个角是90°的菱形是正方形
【分析】根据平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定以及正方形的判定定理进行分析判断．
【解答】解：A、平行四边形的对角相等，说法正确；
B、矩形的对角线相等且互相平分，说法正确；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法不正确；
D、有一个角是90°的菱形是正方形，说法正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定以及矩形的性质，解题时，需要熟练运用平行四边形，矩形，正方形以及菱形间的区别与联系．
4．（4分）共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（　　）
A．平均数小，方差大 B．平均数小，方差小
C．平均数大，方差小 D．平均数大，方差大
【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．
【解答】解：人均收入平均数大，方差小，最能体现共同富裕要求．
故选：C．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（4分）估计+1的值（　　）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
【分析】根据平方数先估算出的值的范围，即可解答．
【解答】解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
∴估计+1的值在4和5之间，
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
6．（4分）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是10km/h，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，3h后到达小岛A，乙客轮沿着南偏东60°的方向航行，4h到达小岛B．则A，B两岛的距离为（　　）km．
A．30 B．40 C．50 D．60
【分析】由题意得∠AOB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，OA＝3×10＝30km，OB＝4×10＝40km，根据勾股定理可得AB＝，即可得出答案．
【解答】解：如图，

由题意得，∠AOD＝30°，∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∵OA＝3×10＝30km，OB＝4×10＝40km，
∴AB＝＝50km．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、勾股定理，能够正确标注方向角是解答本题的关键．
7．（4分）已知一次函数y＝kx﹣4（k≠0），y随x的增大而增大，则k的值可以是（　　）
A．﹣2 B．3 C．0 D．﹣3
【分析】根据一次函数的增减性可得k＞0，即可确定k的值．
【解答】解：根据题意，得k＞0，
∵﹣2＜0，
∴A选项不符合题意；
∵3＞0，
∴B选项符合题意；
∵k≠0，
∴C选项不符合题意；
∵﹣3＜0，
∴D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数增减性与系数的关系是解题的关键．
8．（4分）某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为95分，80分，80分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（　　）
A．86分 B．85分 C．84分 D．83分
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
95×40%+80×30%+80×30%＝86（分），
故选：A．
【点评】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的定义及计算方法．
9．（4分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为﹣1和5时，输出的y的值相等，则b等于（　　）

A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】把x＝﹣1与x＝5代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣3+b，当x＝5时，y＝6﹣5＝1，
由题意得：﹣3+b＝1，
解得：b＝4，
故选：A．
【点评】此题考查了函数值，弄清程序中的关系式是解本题的关键．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若EF＝2，则DE的长为（　　）

A．2 B．1 C． D．
【分析】连接CD，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据平行四边形的性质求出CD，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，进而求出DE．
【解答】解：连接CD，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE∥CF，
∴四边形DEFC为平行四边形，
∴CD＝EF＝2，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，
则AB＝2CD＝4，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
则BC＝AB＝2，
∴DE＝BC＝1，
故选：B．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°角的直角三角形的性质，灵活运用各个定理是解题的关键．
11．（4分）从﹣1，0，1，2，3五个数字中，随机抽取一个数，记为a．那么，使一次函数y＝﹣3x+a不经过三象限，且使关于x的分式方程有整数解的和是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】首先根据一次函数y＝﹣3x+a不经过第三象限，可得a＞0；然后根据分式方程的求解方法，求出关于x的分式方程的解是多少，进而判断出它有整数解时a的值是多少，进而求出整数解的和即可．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+a不经过第三象限，
∴a＞0，
∵，
∴x＝，
∵关于x的分式方程有整数解，
∴a＝0，1，3，
∵a＝1时，x＝2是增根，
∴a＝0，3，
综上，可得满足题意的a的值有2个：0，3，
∴使一次函数y＝﹣3x+a不经过第三象限，且使关于x的分式方程有整数解的和是：3．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的求解问题，要注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解；此题还考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①k＞0，b＞0时，y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0时，y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0时，y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0时，y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，AG⊥BC于E，CF⊥AB于F，AG、CF交于H，CF、DA的延长线交于E，给出下列结论：①AC＝AG；②∠D＝∠CHG；③CH＝CD；④若点F是AB的中点，则BG＝（﹣1）GC；其中正确的结论有（　　）


A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①证△ACG是等腰直角三角形，则AG＝CG，再由勾股定理即可得出结论；
②由平行四边形的性质得AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC，AB∥CD，再证∠D+∠AHC＝180°，进而得出结论；
③证△CHG≌△ABG（AAS），得CH＝AB，即可得出结论；
④连接BH，证△BGH是等腰直角三角形，得BH＝BG，再证AH＝BH＝BG，即可解决问题．
【解答】解：①∵AG⊥BC，
∴∠AGC＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴△ACG是等腰直角三角形，
∴AG＝CG，
∴AC＝＝＝AG，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC，AB∥CD，
∵AG⊥BC，CF⊥AB，
∴AG⊥AD，CF⊥CD，
∴∠DAH＝∠DCH＝90°，
∴∠D+∠AHC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠CHG+∠AHC＝180°，
∴∠D＝∠CHG，故②正确；
③∵∠B＝∠D，
∴∠CHG＝∠B，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠CGH＝90°，
又∵CG＝AG，
∴△CHG≌△ABG（AAS），
∴CH＝AB，
∴CH＝CD，故③正确；
④如图，连接BH，
∵△CHG≌△ABG，
∴HG＝BG，
∵∠AGB＝90°，
∴△BGH是等腰直角三角形，
∴BH＝BG，
∵点F是AB的中点，CF⊥AB，
∴AH＝BH＝BG，
∵BG＝HG＝AG﹣AH，
∴BG＝CG﹣BG，
∴（+1）BG＝CG，
∴BG＝（﹣1）GC，故④正确；
其中正确的结论有4个，
故选：A．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解此题的关键．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）.
13．（4分）当有意义时，x的取值范围是 　x≥﹣3　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
故答案为：x≥﹣3．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14．（4分）如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE
时，AD＝1米，则BE＝　1　米．

【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理得出AC，进而得出DC，利用勾股定理得出CE，进而解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝＝＝4（米），
∴DC＝AC﹣AD＝4﹣1＝3（米），
在Rt△DCE中，CE＝＝＝4（米），
∴BE＝CE﹣BC＝4﹣3＝1（米），
故答案为：1．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，本题中正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键．
15．（4分）甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当乙车到达A地时，甲车距A地 　150　千米．

【分析】由图象可知甲车从A地到B地用了4小时，进而可知甲车的速度，得出A、B两地的距离是300千米，进而得出乙车到达A地的时间，进而可得答案．
【解答】解：由图象可知，甲车从A地到B地用了4小时，
∵经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地，
∴甲车从B地到C地用12﹣4＝8（小时），乙从B地到C地用了12小时，
∵A、C两地的距离是300千米，
∴甲车的速度是300÷（8﹣4）＝75（千米/时），
∴A、B两地之间的距离是75×4＝300（千米），
∴乙车从B地到达A地需要＝6（小时），
此时甲的路程为75×6＝450（千米），
∴甲车矩A地450﹣300＝150（千米），
故答案为：150．
【点评】本题以行程问题为背景的函数图象的应用，解决问题的关键是根据函数图象理解题意，求得甲车的速度．
16．（4分）在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别为AD、CD上一点，且AE＝CF，连接BF、CE，则BF+CE的最小值是 　4　．

【分析】首先利用正方形的性质可以证明△ADF和△CDE（SAS），然后利用全等三角形的性质得到BF+CE的最小值就是BF+AF的最小值，最后利用轴对称即可求解．
【解答】解：如图，连接AF，
∵正方形ABCD中，AE＝CF，
∴AD＝CD，DE＝DF，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF和△CDE（SAS），
∴CE＝AF，
∴BF+CE＝BF+AF，
∴BF+CE的最小值就是BF+AF的最小值，
如图，作A关于CD的对称点H，连接BH交CD于F，则F即可满足BF+AF最小，
∵AB＝4，
∴AD＝DH＝4，AH＝8，
∴BF+CE＝BF+AF＝BH＝＝4．
∴BF+CE的最小值是4．
故答案：4．

【点评】本题主要考查了轴对称的性质，最短路径问题，同时也利用了正方形的性质，有一定的综合性．
三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题各8分，其余每小题8分，共86分）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理过程。
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；
（2）直接利用乘法公式计算，进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝4﹣6×+3×4
＝4﹣2+12
＝14；

（2）原式＝3﹣2+3+2﹣2
＝6﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（8分）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）连接BE、DF，若∠ABE＝32°，求∠EFB的度数．

【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明∠BEF＝∠DEF＝61°，再利用平行线的性质求解．
【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求；


（2）∵EF垂直平分线段BD，
∴EB＝ED，
∴∠BEF＝∠DEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝58°，
∴∠BEF＝∠DEF＝（180°﹣58°）＝61°，
∴∠EFB＝∠DEF＝61°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的作法和性质，属于中考常考题型．
19．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，DA＝1，CD＝3．求四边形ABCD的面积．

【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理逆定理判断△ACD是直角三角形，然后把四边形ABCD的面积分割成两个直角三角形的面积和即可求解．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，
∴BC＝，
∴AB＝＝＝，
又∵DA＝1，CD＝3，AC＝2，
∴DA2+AC2＝12+（2）2＝1+8＝9＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝S△ACD+S△ABC＝AD•AC+AB•BC＝×1×2+××＝+．
【点评】本题考查勾股定理，关键是对勾股定里的掌握和运用．
20．（10分）为了解某学校疫情期间学生在家体育锻炼情况，从全体学生中随机抽取若干名学生进行调查．以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分，根据信息回答下列问题．
组别
平均每日体育锻炼时间（分）
人数
A
0≤x≤15
8
B
15＜x≤25

C
25＜x≤35
20
D
x＞35
12
（1）本次调查共抽取 　60　名学生；
（2）抽查结果中，B组有 　20　人；
（3）在抽查得到的数据中，中位数位于 　C　组（填组别）；
（4）若这所学校共有学生3000人，则估计平均每日锻炼超过25分钟有多少人？

【分析】（1）用D组的人数除以其所占百分比可得；
（2）总人数减去其他类别人数即可求得B组的人数；
（3）根据中位数的定义即可求解；
（4）用总人数乘以样本中平均每日锻炼超过25分钟的人数所占比例即可求解．
【解答】解：（1）本次调查的人数有：12÷20%＝60（名），
故答案为：60；
（2）抽查结果中，B组有60﹣（8+20+12）＝20（人），
故答案为：20；
（3）∵共有60个数据，其中位数是第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均落在C组，
∴在抽查得到的数据中，中位数位于C组；
故答案为：C；
（4）3000×＝1600（人），
答：估计平均每日锻炼超过25分钟有1600人．
【点评】本题考查频数（率）分布表、扇形统计图、中位数、样本估计总体等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（﹣2，0）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当函数y＝x﹣2的值大于一次函数y＝kx+b的值时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝2，再将点（﹣2，0）代入y＝2x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）由题意得x﹣2＞2x+4，解不等式即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝2x平移得到，
∴k＝2，
将点（﹣2，0）代入y＝2x+b，
得﹣4+b＝0，解得b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝2x+4；
（2）由题意得x﹣2＞2x+4，
解得x＜﹣4，
∴x的取值范围是x＜﹣4．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，解不等式，熟知一次函数的性质是解题的关键．
22．（10分）某小商品批发商批发的A、B两种商品的成本和批发价如表所示：

成本（元/件）
批发价（元/件）
A
3
3.4
B
3.5
4
该批发商花了32000元购进A，B两种商品若干件，立刻销售一空，共盈利4400元．
（1）该批发商分别购进A，B两种商品各多少件？
（2）由于畅销，该批发商决定再购进A，B两种商品共30000件，其中B商品的数量不多于A商品数量的2倍，那么该批发商购进A、B两种商品各多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设批发商分别购进A种商品x件，B种商品y件，根据批发商花了32000元购进A，B两种商品若干件，共盈利4400元列出方程组，解方程组即可；
（2）设该批发商获得利润为w元，购进A种商品m件，则购进B种商品（30000﹣m）件，根据B商品的数量不多于A商品数量的2倍求出m的取值范围，再根据总利润＝两种商品利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设批发商分别购进A种商品x件，B种商品y件，
根据题意得：，
解得，
答：批发商分别购进A种商品6000件，B种商品4000件；
（2）设该批发商获得利润为w元，购进A种商品m件，则购进B种商品（30000﹣m）件，
∵B商品的数量不多于A商品数量的2倍，
∴30000﹣m≤2m，
解得：m≥10000，
根据题意得w＝（3.4﹣3）m+（4﹣3.5）（30000﹣m）＝﹣0.1m+15000，
∵﹣1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝10000时，w取最大值，最大值为﹣0.1×10000+15000＝14000（元），
此时30000﹣m＝20000，
答：该批发商购进A种商品10000件，B种商品20000时会获得最大利润，最大利润是14000元．
【点评】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式．
23．（10分）若一个四位正整数的千位与十位相同，百位与个位相同，我们称这个四位数为“平衡数”．将“平衡数”t的千位、百位上的数字交换，十位、个位也交换，得到一个新数t′，记F（t）＝．例如t＝2525，t′＝5252，则F（t）＝＝14．
（1）若m是最大的“平䡓数”，则F（m）＝　36　；
（2）已知两个“平衡数“p，q，其中p＝，q＝（其中1≤a≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d且a，b，c，d都为整数）．若F（p）能被13整除，且F（p）＝2F（q）﹣（2d+c），求F（q）的最大值．
【分析】（1）根据“平衡数”的定义，结合F（t）＝ 的计算方法得出结论；
（2）先根据“平衡数”F（p）能被13整除，进而判断出p，从而求出F（q）＝2（c+d），再根据F（p）＝2F（q）﹣（2d+c），得出d＝13﹣，进而求出c，d，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：最大的““平衡数”是9999，
则F（m）＝＝36．
故答案为：36；
（2）∵“平衡数”p＝，
∴F（p）＝2（a+b），
∵F（p）能被13整除，
∴a+b是13的倍数，
∵1≤a≤b≤9，
∴2≤a+b≤18，
∴a+b＝13，
∴a＝4，b＝9或a＝5，b＝8，或a＝6，b＝7，
∴“平衡数”．p为4949，或5858或6767，
∴F（p）＝26，
∴F（q）＝2（c+d），
∵F（p）＝2F（q）﹣（2d+c），
∴26＝2×2（c+d）﹣（2d+c），
∴3c+2d＝26，
∴d＝＝13﹣，
∵1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d且c，d都为整数，
当c＝2时，d＝10，不符合题意，舍去，
当c＝4时，d＝7，
当c＝6时，d＝4，
当c＝8时，d＝1，
∴q为4747或6464或8181，
∴F（q）的最大值为8181，
【点评】本题考查了完全平方数，整除问题，是新定义题目，理解和运用新定义是解本题的关键．
24．（10分）已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图1，点P为直线l1一个动点，若△PAC的面积等于10时，请求出点P的坐标；
（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1，请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．


【分析】（1）设直线l2的解析式y＝kx+b，求出点A的坐标，把A、C的坐标代入解析式计算即可；
（2）设点P的横坐标为t，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
（3）按CC1为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点D的坐标即可．
【解答】解：（1）设直线l2的解析式y＝kx+b，
∵直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，
∴A（2，0），B（0，2），
∵直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4），
∴，
∴，
∴直线l2的解析式：y＝2x﹣4；
（2）由题意可知，BC＝6，
设点P的横坐标为m，
∴S△PAC＝•|xA﹣xP|•BC＝|2﹣m|×6＝10，
∴m＝﹣或m＝．
∴P（﹣，）或P（，）．
（3）设将△ABC沿着x轴平移t个单位长度得到△A1B1C1，
∴A1（2﹣t，0），
∴CC1＝t，A1C1＝AC＝2，
设D点坐标为（p，q），
①当CC1为以A1、C1、C、D为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当CC1＝A1C1＝2时，即t＝2，
此时CC1∥A1D，即点D在x轴上，
且A1D＝A1C1＝2，
∴点D与点A重合，即D（2，0）．
当CC1＝A1C＝t时，
∵A1（2﹣t，0），C（0，﹣4），
∴（﹣4）2+（2﹣t）2＝t2，
解得t＝5，
此时CC1∥A1D，即点D在x轴上，
且A1D＝CC1＝5，
∴D（﹣8，0）．
②当CC1为以A1、C1、C、D为顶点的菱形对角线时，A1C1＝A1C＝2，即点A1在CC1的垂直平分线上，且A1，D关于CC1对称，
当△ABC向左一移动，A1（2﹣t，0），C（0，﹣4），C1（﹣t，﹣4），
∴（﹣4）2+（2﹣t）2＝（2）2，
解得t＝4或t＝0（舍），
当△ABC向右移动时，A1（2+t，0），C（0，﹣4），C1（t，﹣4），
∴（﹣4）2+（2+t）2＝（2）2，
解得t＝﹣4（舍）或t＝0（舍），
∴A1（﹣2，0），
∴D（﹣2，﹣8）．
综上所述，存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形，点D的坐标为（2，0），（﹣8，0），（﹣2，﹣8）．
【点评】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，F为平行四边形内部一点，连接BF，CF，DF．
（1）如图1，DF⊥BC交BC于点E，已知∠ECF＝45°，∠CDE＝∠CBF，AB＝，EF＝1，求AD的长；
（2）如图2，DF⊥AB交AB于点E，BE＝DF且∠BFC＝90°，G为CD上一点，作MG⊥CF且MG＝BF，并以CG为斜边作等腰Rt△CGH，连接FM，FH，求证：MF＝FH．


【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出CE＝EF＝1，由勾股定理求出DE＝2，证明△EFB≌△ECD（AAS），由全等三角形的性质得出BE＝DE＝2，求出BC＝BE+EC＝3，则可得出答案；
（2）连接MH，设MG交CF于点J，FC交GH于点O．证明△BEF≌△FDC（ASA），由全等三角形的性质得出BF＝CF，证明△CHF≌△GHM（SAS），得出FH＝MH，∠CHF＝∠GHM，证出△FHM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）解：∵DE⊥BC，
∴∠FEC＝∠BEF＝90°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠CFE＝∠ECF＝45°，
∴CE＝EF＝1，
∴DE＝＝＝2，
∵∠CDE＝∠CBF，∠DEC＝∠BEF＝90°，CE＝EF，
∴△EFB≌△ECD（AAS），
∴BE＝DE＝2，
∴BC＝BE+EC＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝3．
（2）证明；如图，连接MH，设MG交CF于点J，FC交GH于点O．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵DF⊥AB，
∴∠BEF＝∠FDC＝90°，
∴∠EFB+∠EBF＝90°，
∵∠BFC＝90°，
∴∠EFB+∠DFC＝90°，
∴∠EBF＝∠DFC，
∵BE＝DF，
∴△BEF≌△FDC（ASA），
∴BF＝CF，
又∵BF＝MG，
∴CF＝MG，
∵FC⊥MG，△CGH是等腰直角三角形，
∴∠CHO＝∠GJO＝90°，
∵∠COH＝∠GOJ，
∴∠HCO＝∠OGJ，
又∵CH＝GH，
∴△CHF≌△GHM（SAS），
∴FH＝MH，∠CHF＝∠GHM，
∴∠FHM＝∠GHC＝90°，
∴△FHM是等腰直角三角形，
∴MF＝FH．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/19 9:57:21；用户：山东省北镇中学；邮箱：bzzx001@xyh.com；学号：44838527