2021-2022学年重庆市大足区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年重庆市大足区七年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在实数、、、中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，把点向右平移个单位后所得的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 为完成下列任务，采用抽样调查较合适的是(    )

A. 对入校同学进行体温检测
B. 了解七年级班全体学生的身高
C. 了解某班同学的核酸检测情况
D. 调查大足区居民对新冠防疫知识的了解情况

4. 估计与最接近的整数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，已知，，，则的度数等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列命题是真命题的是(    )

A. 两直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 相等的两个角一定是对顶角
D. 等角的余角相等

7. 用不等式表示如图的解集，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，，将直角沿着射线方向平移个单位长度，得，已知，，则阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 甲乙两辆小车同时从地开出，甲车比乙车每小时快，结果甲车行驶了分钟到达了地，而乙车比甲车晚分钟到达地，设甲车和乙车的速度分别为，，则下列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，，如此继续运动下去，则的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 若关于的不等式组有解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，下列结论：；；；，其中正确的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 为了了解某地区初一年级名学生的体重情况，从中抽取了名学生的体重，这个问题中的样本是______．
14. 一个正数的平方根分别是和，则这个正数为______．
15. 如图，，于，，则的度数为______．

16. 今年“五一”劳动节期间，某手机专卖店上架了甲、乙两款手机．前三天售出的甲款手机的数量比乙款手机的数量多，后两天售出的甲款手机的数量比前三天售出的甲款手机的数量少，结果后两天售出的甲乙两款手机的总数量比前三天售出的甲乙两款手机的总数量多，若后两天甲、乙两款手机的销售总额比前三天甲、乙两款手机的销售总额多，在整个销售期间甲乙两款手机的单价不变，则甲款手机的单价与乙款手机的单价的比值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：；
    已知，求的值．
18. 本小题分
    解方程组：；
    解不等式组：．
19. 本小题分
    如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，若，求证：．
    证明：已知
    ______两直线平行，内错角相等
    已知
    等量代换
    ______同旁内角互补，两直线平行
    ____________
    ______对顶角相等
    等量代换

20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系内，三角形是由三角形平移得到，三角形内部一点随之平移后得到点．
    填空：点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______；
    连接，求三角形的面积．

21. 本小题分
    某校组织七年级学生参加了一次“新冠疫情防控知识”的竞赛活动，共有名学生参加，参赛学生的成绩最低分为分，为了解本次参赛学生的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生，对他们的成绩进行调查，分为四组：分表示大于等于同时小于，后续同样为组，分为组，分为组，分为组．学校根据调查的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
    
    请根据以上信息，解答下列问题：
    求本次调查中随机抽取的学生总人数，并补全频数分布直方图；
    求扇形统计图中组所在扇形圆心角的度数；
    成绩达到分及以上为“优秀”等级，请估计参加这次知识竞赛活动的学生中属于“优秀”等级的约有多少人？
22. 本小题分
    如图，直线和交于点，射线平分，．
    求的度数；
    若射线于点，请补全图形，并求的度数．

23. 本小题分
    在“”活动中，某电商上架个商品和个商品进行销售，已知购买个商品和个商品共需元，购买个商品和个商品共需元．
    求商品和商品的售价分别是多少元？
    在商品售出，商品售出后，为了尽快回笼资金，店主决定对剩余的商品每个打折销售，对剩余的商品每个降价元销售，很快全部售完，若要保证本月销售总额不低于元，求的最小值．
24. 本小题分
    若一个三位正整数满足，则称这个三位正整数为“和谐数”对于一个“和谐数”，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数，记如：满足，则为“和谐数”，那么，所以．
    求的值；
    对于任意一个“和谐数”，若能被整除，求所有满足条件的“和谐数”．
25. 本小题分
    直线，点、分别在直线、上．
    如图，、、的数量关系为：______；
    如图，直线与、分别交于点、，连接，的平分线交于点．
    当，时，请判断与的数量关系，并说明理由；
    如图，当保持并向左平移，在平移的过程中猜想、与的数量关系，请直接写出结论．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
在实数、、、中，
，
最小的数是：，
故选：．
根据正数大于，大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小判断即可．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：平移后的坐标为，即坐标为，
故选：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握平移规律．
 

3.【答案】 

【解析】解：对入校同学进行体温检测需全面调查，那么不符合题意．
B.了解七年级班全体学生的身高，因为总体容量较小，可采取全面调查，那么不符合题意．
C.了解某班同学额核酸情况，班级同学数量较少，核酸情况涉及健康，需采取全面调查，那么不符合题意．
D.调查大足区居民对新冠防疫知识的了解情况，总体调查对象是大足区居民对新冠防疫的了解情况，容量较大，此时可采取抽样调查，那么符合题意．
故选：．
根据抽样调查的原理以及优缺点解决此题．
本题主要考查抽样调查，熟练掌握数据收集与整理的方式是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，即，
又因为，且，
所以，
所以，
则，
所以与最接近的整数是，
故选：．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
先根据判定，然后根据平行线的性质得出，求出即可．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
 

6.【答案】 

【解析】解：两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故A是假命题，不符合题意；
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故B是假命题，不符合题意；
相等的两个角不一定是对顶角，故C是假命题，不符合题意；
等角的余角相等，故D是真命题，符合题意；
故选：．
根据平行线性质，对顶角性质，垂直的定义和余角的定义逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图的解集为．
故选：．
根据不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集．
本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
 

8.【答案】 

【解析】解：的面积为：，
矩形的面积：，
阴影部分的面积为，
故选：．
首先根据三角形的面积公式和矩形的面积公式计算出：的面积，矩形的面积，再用矩形的面积的面积可得阴影部分的面积．
本题考查平移的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：由“甲车比乙车每小时快”得到方程：．
根据“甲车行驶了分钟到达了地，而乙车比甲车晚分钟到达地”得到方程：
则列出方程组为：．
故选：．
根据关键描述语“甲车比乙车每小时快，结果甲车行驶了分钟到达了地，而乙车比甲车晚分钟到达地”列出方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意，，，，，
的纵坐标与的横坐标相同，
，
故答案为：．
根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题．
本题考查坐标与图形变化平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：解不等式组得，
，
解得，
由程得，
方程的解为非负整数，为整数，
，符合题意，
时，，符合题意．
故选：．
由不等式组有解可得的取值范围，由方程的解为非负整数且为整数可求解．
本题考查解一元一次不等式组，解题关键是掌握求含参数的不等式组的方法．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，故正确；
由题意得，
，故正确；
过点作，如图，
，
，，
，
，
，故错误；
，，
，故错误．
综上所述，正确的有个．
故选：．
由题意可得，利用内错角相等，两直线平行即可判定；
由题意可得，利用邻补角即可求；
过点作，可得，从而得，可求得，再利用平行线的性质即可求得；
利用角的计算可求得，从而可判断．
本题主要考查平行线判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
 

13.【答案】被抽取的名学生的体重 

【解析】解：为了了解某地区初一年级名学生的体重情况，从中抽取了名学生的体重，这个问题中的样本是被抽取的名学生的体重，
故答案为：被抽取的名学生的体重．
根据样本的定义，结合具体的问题情况进行解答即可．
本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解样本的定义是正确判断的前提．
 

14.【答案】 

【解析】解：正数有两个平方根，他们互为相反数，
，解得：，
，
故答案为：．
根据平方根的定义即可求解．
本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，设交于，交于，

则由题意可得：
是直角三角形，
，
，
，
．
故答案为：．
设交于，交于，由题意可得是直角三角形，从而可求，由平行线的性质可求得，由对顶角相等可得的度数．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
 

16.【答案】： 

【解析】解：设前三天售出的乙款手机的数量是，则前三天售出的甲款手机的数量为，则后两天售出的甲款手机的数量是，后两天售出的乙款手机的数量是，设甲款手机的单价为，乙款手机的单价为，依题意有：
，
化简得，
则：：．
故甲款手机的单价与乙款手机的单价的比值为：．
故答案为：：．
设前三天售出的乙款手机的数量是，则前三天售出的甲款手机的数量为，则后两天售出的甲款手机的数量是，后两天售出的乙款手机的数量是，再设甲款手机的单价为，乙款手机的单价为，根据后两天甲、乙两款手机的销售总额比前三天甲、乙两款手机的销售总额多，列出方程即可求解．
本题考查了应用类问题，解题的关键是设出未知数，找准等量关系，正确列出方程．
 

17.【答案】解：原式
；

，
，
则，
解得：或． 

【解析】直接利用二次根式的性质、立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案；
直接利用平方根的定义得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
由得，
解得，
将代入得，
解得，
方程组的解为．
，
解得，
解得，
不等式组的解集为． 

【解析】通过加减消元法求解．
根据不等式的性质分别求出两不等式的解．
本题考查解一元一次不等式组及解二元一次方程组，解题关键是掌握解二元一次方程组的方法，掌握等式及不等式的性质．
 

19.【答案】      两直线平行，同位角相等   

【解析】证明：已知，
两直线平行，内错角相等，
已知，
等量代换，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
对顶角相等，
等量代换．
故答案为：，，，两直线平行，同位角相等，．
先根据平行线的性质证明，等量代换证得，从而证得，根据平行线的性质即可证得结论．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
 

20.【答案】解：  ；  ；；


如图所示：
三角形的面积． 

【解析】解：
点的坐标是；点的坐标是；
所以平移规律为：向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
点的坐标是；
故答案为：；；；
根据三角形的面积公式解答即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是根据平面直角坐标系得出平移的规律解答．
 

21.【答案】解：调查学生总人数：人，
组的人数为人，
组的人数为人，
答：本次调查中随机抽取的学生总人数是人，补全频数分布直方图如下：

，
答：扇形统计图中组所在扇形圆心角的度数为；
人，
答：参加这次知识竞赛活动的学生中属于“优秀”等级的约有人． 

【解析】从两个统计图中可知，样本中“组”的人数是人，占调查人数的，根据“频率”可求出调查总人数，求出“组”、“组”的人数可补全频数分布直方图；
求出“组”所占的百分比，进而求出相应的圆心角度数；
求出样本中属于“优秀”等级学生所占的百分比，即可估计总体中属于“优秀”等级所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，掌握“频率”是正确解答的关键．
 

22.【答案】解：平分，
，
，
，，
，
，
；
当在上方时，
，
，
．

当在下方时，
，
，
．
 

【解析】由角平分线定义，对顶角，邻补角的概念，可求．
分两种情况，由垂直的定义可求解，
本题考查角平分线定义，对顶角，邻补角的概念，关键是熟练掌握有关的概念．
 

23.【答案】解：设商品的售价为元个，商品的售价为元个，
根据题意得，
解得．
商品的售价为元个，商品的售价为元个．
根据题意可得，，
解得．
的最小值为． 

【解析】设商品的售价为元个，商品的售价为元个，根据题意得出二元一次方程组，求解即可得出结论；
根据题意得出关于的不等式，求解即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：；
设，则，
，
，
，
又正整数，
，，，，．
当时，，能被整除；
此时，
，，
或；
当时，，不能被整除，舍去；
当时，，不能被整除，舍去；
当时，，不能被整除，舍去；
当时，，不能被整除，舍去
当时，，不能被整除，舍去；
当时，，不能被整除，舍去；
综上所述，所有满足条件的“长久数”有或． 

【解析】根据定义进行计算即可．
根据定义，计算出，由“”将转化成只关于的代数式，又由的可取整数值得出所有可能结果，进行判断即可．
本题考查了新定义运算、因式分解、二元一次方程的特殊解，理解新定义是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图中，过点作．

，，
，
，，
．
故答案为：；

结论：．
理由：如图中，

，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
故答案为：；

如图中，当点在的右侧时，．


如图中，当点值的左侧时，．

结论：如图中，过点作利用平行线的性质证明即可；
结论：利用平行线的性质角平分线的定义证明即可；
分两种情形：如图中，当点在的右侧时，如图中，当点值的左侧时，．
本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．