北京海淀八一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com北京市八一学校2017~2018学年度第一学期期中试卷

高一数学

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）

1．设集合，，若，则的取值范围是（）．

 A．    B．    C．   D．

【答案】B

【解析】∵集合，集合，，

∴．

故选．

2．下列函数中，在区间上为增函数的是（）．

 A．   B．   C．   D．

【答案】B

【解析】项．的定义域为，故错误；

项．在上递减，在上递增，所以函数在上是增函数，故正确；

项，在上单调递减，故错误；

项，在上单调递减，故错误．

综上所述．

故选．

3．设，，，则（）．

 A．    B．    C．   D．

【答案】B

【解析】由对数函数和指数函数的性质可知：，，，

∴．

故选．

4．满足条件的集合的个数是（）．

 A．     B．     C．    D．

【答案】C

【解析】满足条件的集合有，共个．

故选．

5．已知是函数的一个零点，若，，则（）．

 A．，       B．， 

C．，       D．，

【答案】A

【解析】∵是函数的一个零点，

∴，

又在上单调递增，且，，

∴，

∴，．

故选．

6．已知函数，则的值为（）．

 A．     B．     C．    D．

【答案】C

【解析】∵，

∴．

故选．

7．已知函数，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（）．

 A．    B．    C．   D．

【答案】D

【解析】∵，，

∴，

∵，单调递增，，

∴，

若对任意，总存在，

使得，

则，

解得．

故选．

8．设方程的两根为，，则（）．

 A．   B．    C．  D．

【答案】A

【解析】不妨设，则，，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴．

故选．

二、填空题（共6道小题，每小题4分，共24分）

9．函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】要使函数有意义，则，解得，

故函数的定义域是．

10．已知函数（且）的图象必经过点，则点坐标是__________．

【答案】

【解析】令得，

故函数的图象必过定点．

11．已知函数，若，则__________．

【答案】

【解析】∵函数，，

∴，

∴．

12．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】设，，在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示：

若时，不等式恒成立，

则，解得，

即实数的取值范围是．

13．已知，若，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】∵，

∴方程没有正实数解，故集合有两种情况：

①若，则，则；

②若，则方程有两个非正数解，且不是其解，则有：，解得．

综上所述，，即实数的取值范围是．

14．给定集合，，若是的映射，且满足：

①任取，，若，则；

②任取，若，则有．则称映射为的一个“优映射”．

例如：用表表示的映射是一个“优映射”．

表

（）若是一个“优映射”，请把表补充完整（只需填出一个满足条件的映射）．

（）若是“优映射”，且，则的最大值为__________．

【答案】（）

或

或

或

（）．

【解析】（）由优映射定义可知：，，

∴，；或，．

∴表有以下几种可能：

或

或

或

（）根据优映射的定义：是一个“优映射”，

且，

则对，只有当，时，

取得最大值为．

三、解答题（4道小题，共44分．要求写出必要的解答过程）

15．（本题满分分）求下列各式的值．

（）．

（）．

（）设，求的值．

【答案】见解析．

【解析】解：（），

，

，

，

，

．

（），

，

，

，

．

（）设，则，，，

∴，

，

．

16．（本题满分分）已知为定义在上的偶函数，且当时，．

（）求当时，的解析式．

（）解不等式．

【答案】见解析．

【解析】解：（）∵当时，，

∴当时，，，

又为定义在上的偶函数，

∴，

综上，故时，．

（）当时，等价于，

∴，即，

∴，

解得，

∴；

当时，等价于，

∴，即，

∴，

解得，

∴，

综上所述，不等式的解集为．

17．（本题满分分）已知二次函数的最小值为，且．

（）求的解析式．

（）若在区间上不单调，求实数的取值范围．

（）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．

【答案】见解析．

【解析】解：（）由已知是二次函数，且，得的对称轴为，

又的最小值为，

故设，

又，

∴，解得，

∴．

（）要使在区间上不单调，则，

解得：．

故实数的取值范围是．

（）由于在区间上，的图象恒在的图象上方，

所以在上恒成立，

即在上恒成立．

令，则在区间上单调递减，

∴在区间上的最小值为，

∴，即实数的取值范围是．

18．（本小题满分分）

已知数集具有性质：对任意的，都存在，，使得成立．

（）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由．

（）求证：．

（）若，求的最小值．

【答案】见解析．

【解析】解：（）∵，，，

∴数集具有性质；

∵不存在，，使得，

∴数集不具有性质．

（）∵集合具有性质，

∴对而言，存在，，使得，

又∵，，

∴，，

∴，

同理可得，，

将上述不等式相加得，

∴．

（）由（）可知，，

又，

∴，，，，，，

∴，

构造数集，

经检验具有性质，

故的最小值为．