北京海淀十一学校2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题Word版（解析版）

2017-2018学年北京海淀十一学校

高一上学期期中考试数学试题

数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题

1．设集合，集合，则 ________.

2．命题：的否定是               ．

3．满足条件的集合有__________个．

4．函数的定义域为_________.

5．已知函数，，并且函数的最小值为，则的取值范围是__________．

6．设，，能表示从集合到集合的函数关系的是__________．

A．                    B．

C．                    D．

7．函数的零点有__________个．

8．__________．

9．已知条件，条件，则是的__________．

10．函数的最大值为_________.

11．写出函数的单调递增区间__________．

12．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为        ．

13．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为__________．

（），；（），；

（），；（），．

14．若函数（常数，）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式__________．

15．已知奇函数，当时，有，则时，函数__________．

16．已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．

17．已知函数，则实数的取值范围是_____________。

18．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________．

19．下列几个命题

①方程有一个正实根，一个负实根，则；

②函数是偶函数，但不是奇函数；

③命题“若，则”的否命题为“若，则”；

④命题“，使得”的否定是“，都有”；

⑤“”是“”的充分不必要条件．

正确的是__________．

20．设是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称是的一个“孤立元”．给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有__________个．

二、解答题

21．已知集合，，．

（）求集合，及．

（）若，求实数的取值范围．

22．已知，命题对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立．

（）若为真命题，求的取值范围．

（）当，若且为假，或为真，求的取值范围．

23．已知二次函数的最小值为，且．

（）求的解析式．

（）若在区间上不单调，求实数的取值范围．

（）在区间上， 的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．

24．对，记，函数．

（1）求．

（2）写出函数的解析式，并作出图像．

（3）若关于x的方程有且仅有3个不等的解，求实数m的取值范围．（只需写出结论）

25．已知函数是定义在上的奇函数，且．

（）求函数的解析式．

（）用函数单调性的定义证明在上是增函数．

（）判断函数在区间上的单调性；（只需写出结论）

（）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域上的示意图．

26．已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：

①对任意的，总有；

②；

③若，且，则有成立，则称为“友谊函数”．

（）若已知为“友谊函数”，求的值．

（）分别判断函数与在区间上是否为“友谊函数”，并给出理由．

（）已知为“友谊函数”，且，求证：．

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高一上学期期中考试数学试题

数学  答 案

参考答案

1．

【解析】

【分析】

由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁RB）即可得出正确选项

【详解】

由题意知B＝{x|－1≤x≤3}，

所以∁RB＝{x|x<－1或x>3}，

所以A∩(∁RB)＝{x|3<x<4}，

故答案为:.

【点睛】

本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键

2．，

【解析】

试题分析：是全称命题，其否定为特称命题，故为.

考点：全称命题的否定.

3．3

【解析】

【分析】

直接利用子集和真子集的定义写出集合A和其个数.

【详解】

满足条件的集合有：，，，故共有个．

故答案为：3

【点睛】

本题主要考查集合子集和真子集的定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

4．

【解析】试题分析：根据题意有，从而求得函数的定义域为．

考点：函数的定义域．

5．

【解析】

是对称轴为x＝3，开口向上的抛物线，所以在(－∞，3]上递减，[3，＋∞)上递增.又因为x∈[1，a]，min＝f(a)，所以在[1，a]上递减，故a≤3.

综上，1<a≤3,故填(1，3].

6．D

【解析】

【分析】

利用函数的定义对每一个选项逐一分析得解.

【详解】

项．当时，，故项错误；

项．当时，，故项错误；

项．当时，任取一个值，有两个值与之对应，故项错误；

项．在时，任取一个值，在时总有唯一确定的值与之对应，故项正确．

综上所述．故选．

故答案为：D

【点睛】

本题主要考查函数的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.

7．1

【解析】

【分析】

分别作出和的图象，观察两函数图像交点的个数即得解.

【详解】

函数的零点个数等价于方程解的个数，

分别作出和的图象，

由图可知，两函数图象有且只有个交点，

故函数的零点有且只有一个．

故答案为：1

【点睛】

（1）本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为方程解的个数，处理零点问题常用的方法有方程法、图像法和方程+图像法.

8．-15

【解析】

【分析】

利用对数函数的运算法则和对数恒等式化简即可.

【详解】

．

故答案为：-15

【点睛】

本题主要考查对数的运算法则和对数恒等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.

9．充分不必要条件

【解析】

【分析】

先求出和，再利用充要条件的定义判断.

【详解】

由题意，，或，故是的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要条件

【点睛】

(1)本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.

10．2

【解析】

试题分析：，即最大值为2.

【考点】函数最值,数形结合

【名师点睛】本题是求解函数的最大值，用到了求函数值域中的分离常数法和图象法.

11．和

【解析】

【分析】

先化简函数函数得，再画出函数的图像得到函数的单调递增区间.

【详解】

由题意，函数，

作出函数的图象如图所示：

由图象知，函数的单调递增区间是和．

故答案为：和

【点睛】

(1)本题主要考查函数图像的作法和函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是准确画出函数的图像.

12．

【解析】

试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.

考点：含一个量词的命题的否定及二次函数的图像与性质的运用．

13．（）

【解析】

【分析】

利用同一函数的定义对每一个选项逐一判断得解.

【详解】

对于（），函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；

对于（），函数的定义域是，函数的定义域是或，两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；

对于（），函数，，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一个函数；

对于（），函数，定义域为，函数定义域为，两个函数的定义域和对应关系都相同，故这两个函数是同一个函数．

综上所述，各组中的两个函数表示同一个函数的是（）．

故答案为：（）

【点睛】

(1)本题主要考查同一函数的判断方法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)两个函数的定义域和对应关系相同，则两个函数是同一函数.

14．

【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性得到或，再利用它的值域为，求出a的值，即得函数的解析式.

【详解】

∵函数是偶函数，

∴，即，

∴或，

又∵函数的值域为，

∴，．

故该函数的解析式．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查函数的解析式的求法和函数的性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

15．

【解析】

【分析】

利用代入法求函数的解析式.

【详解】

∵当时，有，

∴当时，，有，

又∵是奇函数，

∴当时，．

故答案为：

【点睛】

(1)本题主要考查函数解析式的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求奇偶函数在对称区间的解析式一般利用代入法求解.

16．

【解析】

【分析】

先化简不等式为，再利用函数的单调性得到，解不等式即得x的取值范围.

【详解】

∵是偶函数，

∴，

∴不等式等价于，

又∵在区间上单调递增，

∴，解得，

故满足的的取值范围是．

故答案为：

【点睛】

（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)对于函数的单调性和奇偶性的问题，常用数形结合分析解答，提高解题效率.

17．

【解析】

试题分析：由已知，函数在整个定义域上单调递增的，故等价于，

解得。故实数的取值范围是。

考点：分段函数的概念，函数的单调性，一元二次不等式的解法。

点评：小综合题，抽象不等式问题，往往要利用函数的单调性，将抽象不等式转化成具体不等式。本题较为典型。

18．

【解析】试题分析： 因为函数为奇函数，所以，函数图象关于原点对称， 即；又在（0，+∞）上为增函数，且，

所以，0<x<1时，f（x）<0,-1<x<0时，即的解集是。

考点：本题主要考查函数的奇偶性、单调性。

点评：典型题，此类题目较为多见，基本思路是数形结合，根据函数的大致图象分析求解。

19．①④⑤

【解析】

【分析】

利用相关知识逐一对每一个选项判断得解.

【详解】

对于①，若方程有一个正实根，一个负实根，则，解得，故①正确；

对于②，要使函数有意义，则，，解得，因此，所以，函数既是偶函数，又是奇函数，故②错误；

对于③，命题“若，则”的否命题为“若，则”．故③错误；

对于④，特称命题的否定是全称命题，所以命题“，使得”的否定是“，都有”，故④正确．

对于⑤，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故⑤正确．

综上所述，正确的命题是①④⑤．

故答案为：①④⑤

【点睛】

（1）本题主要考查二次方程根的分布和函数奇偶性的判断，考查否命题和命题的否定，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 命题的否定和命题的否命题的区别：命题的否定 ，即，指对命题的结论的否定，命题的否命题，指的是对命题的条件和结论的同时否定.

20．6

【解析】

【分析】

直接利用“孤立元”的定义写出不含“孤立元”的集合.

【详解】

要不含“孤立元”，说明这三个数必须连在一起，

故不含“孤立元”的集合有，，，，，共有个．

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查新定义，意在考查学生对新定义的理解掌握和灵活运用水平.

21．（1）见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（）解不等式得到集合，及．（2）先求，再根据得到，即得实数的取值范围．

【详解】

（）∵，

∴且，

解得：，

故集合，

∵，

∴，

解得，

故集合，

∴．

（）由（）可得集合，集合，，

∵，

∴，

解得，

∴集合，

∵，

∴，解得，

故实数的取值范围是．

【点睛】

（1）本题主要考查集合的化简和运算，考查集合的关系和二次方程的根的分布，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答的关键是根据得.

22．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

(1)先转化为当时，恒成立，再求得解.(2) 若且为假命题，或为真命题，则，一真一假，再分类讨论得到的取值范围是．

【详解】

（）若命题为真，则对任意，不等式恒成立，

即当时，恒成立，

∵当时，，

∴，即，

解得，

即的取值范围是．

（）当时，若命题为真，则存在，

使得成立，即成立，

故．

若且为假命题，或为真命题，则，一真一假，

若真假，则，得．

若假真，则，得，

综上所述，的取值范围是．

【点睛】

（1）本题主要考查二次不等式恒成立问题，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.

23．（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：对于（1），首先根据题目信息可设，接下来将已知的点代入进行计算即可求出的值，进而确定函数的解析式；对于（2），由（1）可知的对称轴为直线，进而可得，据此即可求出的取值范围；对于（3），首先求出的表达式，进而不难得到对任意属于恒成立，令，求出的最小值，即可求出的取值范围.

试题解析：（1）由已知，设，

由，得，

故.

（2）要使函数不单调，则，即.

（3）由已知，即，

化简，得.

设，则只要，

而解得：，即实数的取值范围是.

考点：二次函数的图象和性质.

24．(1)4,4(2)见解析(3)或.

【解析】

【分析】

（1）利用新定义，直接转化求解函数值即可．

（2）利用函数的定义，写出分段函数的形式，然后画出函数的图象即可．

（3）利用函数的图象，求解m的值即可．

【详解】

（1）∵，函数，∴，．

（2）函数的解析式：f（x）=max{|x|，﹣x2﹣2x+4}=．函数的图象如图：

（3）由函数的图象可知：关于x的方程f（x）=m有且仅有3个不等的解，

可得：m=5或．

【点睛】

本题考查函数与方程的关系，函数与方程的应用，考查数形结合以及分析问题解决问题的能力，考查计算能力．

25．（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据得到，再根据求出a的值,即得函数的解析式.(2)利用函数的单调性定义证明在上是增函数．（3）在上取值判断函数在区间上的单调性.(4)根据函数的性质画出函数的图像.

【详解】

（）∵是定义在上的奇函数，

∴，

∴，

又∵，解得，

∴．

（）证明：设，

则，

∵，

∴，，，

∴，即，

∴在上是增函数．

（）函数在区间上单调递减．

（）

【点睛】

(1)本题主要考查函数解析式的求法和函数单调性的定义证明函数的单调性，考查函数图像的作法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.

26．（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

【分析】

（）成立，令，，即，再根据对任意的，总有，得到，即得．（2）利用“友谊函数”的定义证明满足条件①②③，在区间上不满足②，即得为友谊函数，不是友谊函数．（3）利用证明．

【详解】

（）已知为友谊函数，则当，且，

有成立，

令，，

则，即，

又∵对任意的，总有，

∴，

∴．

（）显然，在上满足①，②，

若，，且，

则有，

故，

∴满足条件①②③，

∴为友谊函数，

在区间上满足①，

∵，

∴在区间上不满足②，

故不是友谊函数．

（）证明：∵，则，

∴，

即．

【点睛】

（1）本题主要考查新定义的理解和运用新定义处理数学问题的能力.(2)解答新定义的问题的关键是读懂新定义，理解新定义的内涵和外延.