2018北京一零一中学高一（下）期中数学（教师版）

2018北京一零一中学高一（下）期中

数    学

一、选择题共10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在等差数列{an}中，如果a1+a2=25，a3+a4=45，则a1=（    ）

A. 5       B. 7       C. 9        D. 10

2. tan（－）=，则tan=（    ）

A. 2       B. －2      C.        D. －

3. 在△ABC中，若bcosA=a sinB，则∠A等于（    ）

A. 30°      B. 45°     C. 60°       D. 90°

4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 己知a=，c=，cosA=，则b=（    ）

A. 1       B. 2       C.        D.

5. 设a，b∈R，下列不等式中一定成立的是（    ）

A. a2+3>2a         B. a2+b2>0

C. a3+b3≥a2b+ab2        D. a+≥2

6. 数列{an}为公比为q（q≠1）的等比数列，设b1=a1+a2+a3+a4，b2=a5+a6+a7+a8，…，bn=a4n－3+a4n－2+a4n－1+a4n，则数列bn（    ）

A. 是等差数列        B. 是公比为q的等比数列

C. 是公比为q4的等比数列      D. 既非等差数列也非等比数列

7. 在超市中购买一个卷筒纸，其内圆直径为4cm，外圆直径为12cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，令=3.14，则这个卷筒纸的长度（精确到个位）为（    ）

A. 17m      B. 16m      C. 15m       D. 14m

8. 已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和. 若，则=（    ）

A.       B.      C.        D.

9. 下列函数中，最小值为4的函数是（    ）

A. y=x3+         B. y=sinx+

C. y=log3 x+logx81       D. y=ex+4e－x

10. 某商品的价格在近4年中价格不断波动，前两年每年递增20％，后两年每年递减20％，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（    ）

A. 不增不减     B. 约增1.4％    C. 约减9.2％      D. 约减7.8％

二、填空题共6小题。

11. △ABC中，cosAcosB－sinA sinB=－，则角C的大小为_______.

12. 已知sin·cos=，则tan=_________.

13. 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足对于任意的n∈N*，an=（2+Sn），则数列{an}的通项为an=_________.

14. 定义：称为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为an=_________.

15. 北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A处，图书馆在B处，为测量A，B两地之间的距离，某同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC；③测量∠C，AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B. 其中一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是_______.

16. 有纯酒精a（a>1）升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精_______升.

三、解答题共4小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17. 已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）－，x∈R.

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）设>0，若函数g（x）=f（x+）为奇函数，求的最小值.

18. 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn，且满足a3·a5=112，a1+a7=22.

（1）求等差数列{an}的第七项a7和通项公式an；

（2）若数列{bn}的通项bn=an+an+1，{bn}的前n项和Sn，写出使得Sn小于55时所有可能的bn的取值.

19. 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，已知a=c.

（1）若∠A=2∠B，求cosB；

（2）若AC=2，求△ABC面积的最大值.

20. 已知数列{an}满足：a1=1，|an+1－an|=pn，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和.

（1）若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；

（2）若p=，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式；

（3）在（2）的条件下，令cn=n（an+1－an），求数列{cn}的前n项和Tn.

参考答案

1. D  2. A   3. B   4. B   5. A   6. C   7. C   8. B   9. D  10. D

11. 60°

12. 2或.

13. （）n－1.

14. 4n－3.

15. ②③.

16. （1－）8（2－）.

17. （1）f（x）=cosx（sinx+cosx）－=sin（2x+），

T=，f（x）单调递增区间为[－+k，+k]（k∈Z）.

（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）－=sin（2x+），

g（x）=f（x+）=sin[2（x+）+]=sin[2x+（2+）].

由函数g（x）=f（x+）为奇函数，所以g（－x）=－g（x），

即sin[－2x+（2+）]=－sin[2x+（2+）]，

展开整理得cos 2x sin（2+）=0 对x∈R都成立，

所以sin（2+）=0，

即2+=k，k∈Z，且>0，

所以min=.

18. （1）因为{an}为等差数列，所以a3+a5=a1+a7=22，

又a3·a5=112且d>0，解得a3=8，a5=14. 则a7=20.

由解得a1=2，d=3，所以an=3n－1.

（2）bn=an+an+l=6n+1，Sn==3n2+4n<55，

解得－5<n<，又n∈N*，

所以n≤3，n∈N*.

则b1=7，b2=13，b3=19.

19. （1）在△ABC中，∠A=2∠B，∠C=－且∠A∈（0，）

由正弦定理==

=，

解方程4cos2－cos－1=0得cos=（舍负），

所以，∠A=，所以cos B=.

（2）方法一：cos B==，

S（ac sinB）2=a2c2sin2B

=a2c2（1－cos2B）=×2c4×=+8，

所以当c2=12即c=2时，S取得最大值为8，此时S2.

方法二：过点B作角B平分线BM，由角平分线定理，

，

则x=.

由阿波罗尼奥斯圆定义，点B在以内外角平分线的分点M，N为直径的圆上，

△ABC面积最大时，点B最高.

根据勾股定理：，

所以所以2R2=2（+1）xR，

所以R=（+1）x=2.

所以△ABC面积最大为2，此时c=2.

20. （1）因为{an}是递增数列，所以an+l－an=an+1－an=pn.

因为a1=1，a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2=a1+3a3，

则3a3－3a2=a2－a1，即3p2－P=0，解得p=或p=0.

当p=0时，an+1=an，这与{an}是递增数列矛盾， 

所以p=.

（2）由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n+1－a2n－1>0，

所以（a2n+1－a2n）+（a2n－a2n－1）>0.

因为<，所以a2n+1－a2n<a2n－a2n－1.

所以a2n－a2n－1>0，

因此a2n－a2n－1=（）2n－1=.

因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n+1－a2n<0，

所以a2n+1－a2n=－（）2n=.

所以an+1－an=.

于是an=a1+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1）

==1+－+…+

所以数列{an}的通项公式为an=+·.