2022-2023学年北京市海淀区八一学校高一下学期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年北京市海淀区八一学校高一下学期中考试数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市海淀区八一学校高一下学期中考试数学试题 一、单选题1．在平面直角坐标系中，点位于第（    ）象限.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得，即可得到答案.【详解】，∴点位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．2．在中，“”是“”的(    )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据正弦函数的性质和充分和必要条件的概念即可判断．【详解】在中，，则或，∴在中，“”是“”的必要不充分条件，故选：B．3．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】化简并判断的奇偶性，判断A；利用图像可判断B；根据函数奇偶性判断C；根据函数的最小正周期可判断D.【详解】对于A，为奇函数，不符合题意；对于B，作出的图象如图：可知函数最小正周期为，且为偶函数，符合题意；对于C，为奇函数，不符合题意；对于D，的最小正周期为，不符合题意，故选：B4．一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（    ）A．4 B．1 C． D．2【答案】D【分析】利用扇形的面积公式：，即可求解.【详解】圆心角为，设扇形的半径为，，解得.故选：D【点睛】本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.5．已知，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】由，得.故选：A.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系.属于容易题.6．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.7．已知向量，，，则向量与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将平方，求得，再根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由题意向量，，，则，即，所以，故，而，故，故选：C8．如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再将点代入函数解析式求出的值，由此可得出与之间的函数关系式.【详解】由题意可得，，，，，，，当时，，得，，可取，所以，故选D.【点睛】本题考查函数的解析式，基本步骤如下：（1）求、：，；（2）求：根据题中信息得出最小正周期，可得出；（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.9．在中， ，，为线段的三等分点，则＝(      )A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意得出⊥，建立平面直角坐标系，表示出、，求出数量积的值．【详解】中，||＝||，∴22，∴0，∴⊥，建立如图所示的平面直角坐标系，由E，F为BC边的三等分点，则A（0，0），B（0，4），C（2，0），E（，），F（，），∴（，），（，），∴+．故选：C10．已知动点，，O为坐标原点，则当时，下列说法正确的是（    ）A．有最小值1 B．有最小值，且最小值小于1C．恒成立 D．存在，使得【答案】A【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合三角函数的性质，代入计算即可得到结果.【详解】由题意知，当时，，因为函数为偶函数，所以只考虑的情形即可，又因为，所以，即有最小值1，所以A正确，B错误；又因为，当时，，所以C错误；又因为，，但与不可能同时为，而，所以，所以D错误；故选:A 二、填空题11．______．【答案】/0.5【分析】用诱导公式变形后由两角和的正弦公式计算．【详解】，故答案为：．12．已知角的终边与单位圆交于点，则________．【答案】【分析】根据题意，由条件可得，再由三角函数的定义即可得到结果.【详解】由题意可得，，则，由三角函数的定义可得.故答案为：13．若实数，满足方程组，则的一个值是________．【答案】（答案不唯一）【分析】结合题意利用同角三角函数的平方关系可求得，即可求得答案.【详解】由可得，故，即得，故的一个值可以取，故答案为：（答案不唯一）14．已知，，，则________【答案】【分析】由诱导公式将化为，再由，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，，又，，所以，，所以，，所以.故答案为【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换，熟记两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求解，属于常考题型. 三、双空题15．已知函数，任取，定义集合：，点，满足设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， 则（1）函数的最大值是______；（2）函数的单调递增区间为______．【答案】     2     【解析】作出函数的图象，分当点P在A点时，当点P在曲线上从A接近B时，当点P在B点时，当点P在曲线上从B接近C时，当点P在C点时，当点P在曲线上从C接近D时，当点P在D点时，当点P在曲线上从D接近E时，分析的值和变化，从而得出的值和变化，可得答案.【详解】函数，函数的最小正周期为T=4，点P(),Q()，如图所示：当点P在A点时，点Q在曲线OAB上，,；当点P在曲线上从A接近B时，减小，所以逐渐增大；当点P在B点时，,，当点P在曲线上从B接近C时，减小，所以逐渐减小；当点P在C点时，，；当点P在曲线上从C接近D时，增大，所以逐渐增大；当点P在D点时，，；当点P在曲线上从D接近E时，增大,逐渐减小，依次类推，得函数的最大值是， 的单调递增区间为，故答案为：2；.【点睛】本题考查正弦函数的周期性，最值，单调性，关键在于理解题目所给的条件，属于较难题. 四、解答题16．已知函数．(1)当时，求函数的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系式化简可得，代入求值可得答案；（2）利用（1）中结论，由不等式可得，结合正弦函数性质即可求得答案.【详解】（1）由题意可得，故当时，；（2）由可得，即，故,故不等式的解集为.17．在平面直角坐标系中,已知三点为坐标原点，(1)若是为直角的直角三角形，求的值；(2)若四边形是平行四边形，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量垂直解得即可；（2）由题意得，求得的坐标，利用模长公式即可得出结论.【详解】（1）由题意得，若，则，即，解得或，当，则，不合题意；当，则，符合题意；综上所述：.（2）设点的坐标为，可得，若四边形是平行四边形，则，所以，则，即，可得，则，所以当时，取得最小值.18．已知函数，．(1)请化简为正弦型函数，并求函数的单调递增区间；(2)求函数在区间上的最值，及取得最值时x的值．(3)若，都有恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)最大值为1，此时；最小值为，此时；(3) 【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式结合辅助角公式化简可得，结合正弦函数的单调性即可求得答案；（2）根据时，确定的范围，结合正弦函数的性质即可求得答案；（3）由，都有恒成立，可得，结合（2）的结论，即可求得答案.【详解】（1）因为,令，则，故函数的单调递增区间为.（2）当时，，由于在单调递减，在单调递增，当，即时，,取得最小值；当时，；当，即时，取得最大值；（3）若，都有恒成立，即，由（2）可知，故，即实数m的取值范围为.19．对于定义域R上的函数，如果存在非零常数T，对任意，都有成立，则称为“T函数”．(1)设函数，判断是否为“T函数”，说明理由；(2)若函数（且）的图象与函数的图象有公共点，证明：为“T函数”；(3)若函数为“T函数”，求实数m的取值范围．【答案】(1)不是“T函数”，理由见解析；(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据“T函数”的定义判断是否满足该定义，即可得结论；（2）只需证明满足“T函数”定义，即可得结论；（3）根据函数为“T函数”，可得恒成立，即可推得，即可求得答案.【详解】（1）若函数是“T函数”，则对于，恒有,即恒成立，故恒成立，由于，上式不可能恒成立，故不是“T函数”；（2）证明：函数（且）的图象与函数的图象有公共点，显然，即存在非零常数T，使得，所以恒成立，故为“T函数”.（3）若函数是“T函数”，则,即恒成立，故恒成立，即恒成立，即有，故，即实数m的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题是给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键就是要理解函数的新定义，明确其含义，依此去判断解决问题.