广西南宁市银海三雅学校2022-2023学年上学期九年级开学数学试卷（Word版含答案）

这是一份广西南宁市银海三雅学校2022-2023学年上学期九年级开学数学试卷（Word版含答案），共28页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广西南宁市青秀区银海三雅学校九年级（上）
开学数学试卷（附答案与详细解析）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）2022的倒数是（　　）
A．﹣2022 B．2022 C． D．﹣
2．（3分）剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一种寄托．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣9m B．0.7×10﹣9m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣8m
4．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后可得（　　）
A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝4 C．（x﹣6）2＝5 D．（x﹣6）2＝31
5．（3分）为考察甲、乙、丙、丁四个学生的学习情况，对这四名同学的四次测试成绩进行统计的平均数与方差为：
＝＝85，＝＝88，S＝S＝0.5，S乙2＝S丙2＝4.5，则成绩又高又稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）△ABC的两边是方程组的解，第三边长为整数，符合条件的三角形有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝110°，则∠BOC的度数是（　　）

A．115° B．125° C．135° D．145°
8．（3分）已知点A（3，m+4）在x轴上，点B（2n﹣5，4）在y轴上，则点C（m，n）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（　　）

A．25° B．30° C．32.5° D．35°
11．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（　　）

A． B．3 C． D．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（本题共计6小题，每题2分，共计12分）
13．（2分）3的平方根等于 　 　．
14．（2分）分式的值为0，则x＝　 　．
15．（2分）因式分解：2ax2﹣2a＝　 　．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，点D到AB的距离DE＝3cm，则AC等于 　 　cm．

17．（2分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）绕点（0，2）顺时针旋转90°后的点的坐标是 　 　．
18．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE，点N、M分别为AF、DE的中点，连接MN，则MN的长度为 　 　．

三.解答题（本大题共8个小题，共72分）
19．（6分）计算：+|1﹣|+﹣（﹣1）2022．
20．（6分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
21．（10分）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：
①连接OA；
②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；
③在射线OB上截取BC＝OA；
④连接AC．
若AC＝3，求⊙O的半径．

22．（10分）在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．某社区随机抽取了部分家庭，调查他们每月用于“信息消费”的金额x（单位：元），将数据分组如下：A.10≤x＜100；B.100≤x＜200；C.200≤x＜300；D.300≤x＜400；E．x≥400，并将数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A，B两组户数在频数分布直方图中的高度比为1：5．

请根据以上信息，解答下列问题．
（1）A组的频数是 　 　，本次调查的样本容量是 　 　．
（2）补全频数分布直方图（需标明各组频数）．
（3）所抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于200元的有多少户？占所抽取家庭的百分之几？
23．（10分）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）两图象交于点A，求点A坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．

25．（10分）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点B，交y轴于点A，抛物线y＝ax2+4x+c经过点A，B，顶点为点C．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标．
（2）将抛物线y＝ax2+4x+c向下平移m个单位长度，点C的对应点为D，连结AD，BD，若S△ABD＝2，求m的值．

26．（10分）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段NM、NP的数量关系是 　 　，∠MNP的大小为 　 　；
（2）探究证明
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
将图1中的△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝2，AB＝6，请直接写出△MNP面积的最大值．


2022-2023学年广西南宁市青秀区银海三雅学校九年级（上）
开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）2022的倒数是（　　）
A．﹣2022 B．2022 C． D．﹣
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：2022的倒数是，
故选：C．
【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2．（3分）剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一种寄托．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（3分）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣9m B．0.7×10﹣9m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣8m
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：7nm＝0.000000007m，
则7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后可得（　　）
A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝4 C．（x﹣6）2＝5 D．（x﹣6）2＝31
【分析】根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣6x+5＝0，
x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝﹣5+9，
（x﹣3）2＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
5．（3分）为考察甲、乙、丙、丁四个学生的学习情况，对这四名同学的四次测试成绩进行统计的平均数与方差为：
＝＝85，＝＝88，S＝S＝0.5，S乙2＝S丙2＝4.5，则成绩又高又稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数，再比较方差即可．
【解答】解：因为＝＝85，＝＝88，
所以乙和丁的成绩相等且较高，
又因为S＝S＝0.5，S乙2＝S丙2＝4.5，
所以丁的方差比乙小，
所以成绩又高又稳定的是丁．
故选：D．
【点评】本题考查了方差的意义及算术平均数，解题的关键是方差的意义．
6．（3分）△ABC的两边是方程组的解，第三边长为整数，符合条件的三角形有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】首先求出x，y的值，再根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：方程组的解为：，
∵△ABC的两边是方程组的解，第三边长为整数，
∴2＜第三边长＜6，
∴第三边长可以为：3，4，5．
∴这样的三角形有3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．
7．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝110°，则∠BOC的度数是（　　）

A．115° B．125° C．135° D．145°
【分析】根据平角的定义，角平分线以及对顶角的定义进行计算即可．
【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠EOC＝110°，
∴∠DOE＝180°﹣∠EOC＝70°，
又∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE＝∠EOC＝55°，
∴∠BOC＝∠AOD＝∠AOE+∠DOE＝55°+70°＝125°．
故选：B．
【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线的定义，理解角平分线的定义以及对顶角相等是解决问题的前提．
8．（3分）已知点A（3，m+4）在x轴上，点B（2n﹣5，4）在y轴上，则点C（m，n）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用x轴以及y轴上点的坐标得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（3，m+4）在x轴上，点B（2n﹣5，4）在y轴上，
∴m+4＝0，2n﹣5＝0，
解得m＝﹣4，n＝，
则点C（m，n）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD的长，再求出EC的长，即可确定AE的长．
【解答】解：∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥BA，
∴∠BAD＝90°，
设AD＝x，则BD＝2x，
根据勾股定理，可得62+x2＝（2x）2，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴AD＝，
∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠C＝∠DAC，
∴DC＝AD＝，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC＝90°，
设ED＝m，则EC＝2m，
根据勾股定理，得，
∴m＝2或m＝﹣2（舍去），
∴EC＝2m＝4，
∴AE＝6﹣4＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（　　）

A．25° B．30° C．32.5° D．35°
【分析】连接BE，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠BAD＝180°，根据题意求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BED＝∠BAD＝60°，∠EBD＝90°，根据直角三角形的性质求出∠BDE．
【解答】解：连接BE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BAD＝60°，
由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
故选：B．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
11．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（　　）

A． B．3 C． D．
【分析】连接CM，先证四边形PCQM是矩形，得PQ＝CM，再由勾股定理得BD＝5，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，然后由面积法求出CM的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接CM，

∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
由勾股定理得：BD＝＝＝5，
当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，
∴CM＝＝＝，
∴PQ的最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向可判断a的符号，由抛物线对称轴可得a与b的数量关系，由抛物线与y轴交点可判断c的符号，从而判断①②③，由直线经过点A可得k与b的数量关系，从而判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0，
∴b+3a＝b+4a﹣a＜0，②正确．
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①正确．
由图象可得当x＞2时，y随x增大而增大，
∴③错误．
将A（5，0）代入y＝kx+b得0＝5k+b，
解得k＝﹣，
∵b＜0，
∴k＞0，
∴点E（k，b）在第四象限，④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二.填空题（本题共计6小题，每题2分，共计12分）
13．（2分）3的平方根等于 　　．
【分析】根据平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵（±）2＝3，
∴3的平方根是±．
故答案为：±．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，掌握平方根的定义是解题的关键．
14．（2分）分式的值为0，则x＝　2　．
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零解答即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴则2x﹣4＝0且x+5≠0，
∴x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
15．（2分）因式分解：2ax2﹣2a＝　2a（x+1）（x﹣1）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（x2﹣1）
＝2a（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2a（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，点D到AB的距离DE＝3cm，则AC等于 　9　cm．

【分析】由角平分线的性质可得CD＝DE，由含30度角的直角三角形边长的关系可得BD的长度，再由等腰三角形的性质可得AD的长度，进而求解．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠DBC＝∠ABC＝30°，DC＝DE＝3cm，
∴DB＝2DE＝6cm，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝30°，
∴AD＝DB＝6cm，
∴AC＝AD+CD＝9cm，
故答案为：9．
【点评】本题考查角平分线的性质，解题关键是掌握等腰三角形的判定与性质，掌握解直角三角形的方法．
17．（2分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）绕点（0，2）顺时针旋转90°后的点的坐标是 　（1，4）　．
【分析】根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：如图所示：AB即为线段BC绕点B顺时针旋转90°后得到线段，

则AB＝BC，
过点C作CE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥y轴于D，则∠CEB＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
而∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CBD＝∠BAD，
在△CBE与△BAD中，
，
∴△CBE≌△BAD（AAS），
∴BD＝CE，AD＝BE，
∵C（﹣2，3），B（0，2），
∴CE＝2，OB＝2，OE＝3，
∴AD＝3﹣2＝1，OD＝OB+BD＝2+2＝4．
则点A的坐标为：（1，4）．
故答案为：（1，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：利用旋转的性质得到旋转变化后的线段长度，然后根据点的坐标的表示方法确定图形中特殊点的坐标．
18．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE，点N、M分别为AF、DE的中点，连接MN，则MN的长度为 　　．

【分析】连接AM，并延长AM交CD于点G，先通过证明△AEM≌△GDM得到DM＝EM，DG＝AE后，证明MN是△AGF的中位线，可得MN＝GF，在Rt△FCG中利用勾股定理求出GF的长，从而求出MN的长．
【解答】解：连接AM并延长AM交CD于点G，连接GF，如图所示，

∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝AB＝4，∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠AEM＝∠GDM，
∵E、F分别为边AB、BC的中点，
∴AE＝AB＝2，CF＝BC＝2．
∵M为DE的中点，
∴EM＝DM，
在△EAM和△DGM中，
．
∴△EAM≌△DGM（SAS）．
∴AM＝MG，DG＝AE＝2．
∴M为AG的中点，
∵N为AF的中点，
∴MN是△AGF的中位线．
∴MN＝GF．
在Rt△FCG中，
CG＝DC﹣DG＝4﹣2＝2，
∴GF＝＝2．
∴MN＝GF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质与勾股定理的应用，难度较大，解答本题的关键是添加辅助线把MN归纳到三角形中，然后证明MN是三角形的中位线．
三.解答题（本大题共8个小题，共72分）
19．（6分）计算：+|1﹣|+﹣（﹣1）2022．
【分析】首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：+|1﹣|+﹣（﹣1）2022
＝5+（﹣1）+（﹣2）﹣1
＝5+﹣1﹣2﹣1
＝1+．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
20．（6分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）
＝4﹣a2+a2+a
＝4+a，
当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4
＝．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（10分）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：
①连接OA；
②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；
③在射线OB上截取BC＝OA；
④连接AC．
若AC＝3，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据“AAS“证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的性质得到结论；
（2）连接AB，如图②，由作法得OA＝OB＝AB＝BC，先判断△OAB为等边三角形得到∠OAB＝∠OBA＝60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C＝∠BAC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA的长．
【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
（2）解：连接AB，如图②，
由作法得OA＝OB＝AB＝BC，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC，
∵∠OBA＝∠C+∠BAC，
∴∠C＝∠BAC＝30°
∴∠OAC＝90°，
在Rt△OAC中，OA＝AC＝×3＝．
即⊙O的半径为．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定与性质．
22．（10分）在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．某社区随机抽取了部分家庭，调查他们每月用于“信息消费”的金额x（单位：元），将数据分组如下：A.10≤x＜100；B.100≤x＜200；C.200≤x＜300；D.300≤x＜400；E．x≥400，并将数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A，B两组户数在频数分布直方图中的高度比为1：5．

请根据以上信息，解答下列问题．
（1）A组的频数是 　2　，本次调查的样本容量是 　50　．
（2）补全频数分布直方图（需标明各组频数）．
（3）所抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于200元的有多少户？占所抽取家庭的百分之几？
【分析】（1）由B组的频数为10，且A，B两组户数在频数分布直方图中的高度比为1：5可得A组频数；用A、B组频数和除以其所占百分比即可；
（2）用总人数分别乘以C、D、E对应的百分比得出其人数，从而补全图形；
（3）将C、D、E组人数相加得出不少于200元的户数，再将C、D、E组百分比相加得出其所占百分比即可．
【解答】解：（1）由图知，B组的频数为10，且A，B两组户数在频数分布直方图中的高度比为1：5，
∴A组的频数为2，
本次调查的样本容量为（2+10）÷（1﹣8%﹣28%﹣40%）＝50，
故答案为：2、50；
（2）C组频数为50×40%＝20，D组频数为50×0.28＝14，E组频数为50×8%＝4，
补全图形如下：

（3）20+14+4＝38（户），40%+28%+8%＝76%，
答：所抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于200元的有38户，占所抽取家庭的76%．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（10分）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）两图象交于点A，求点A坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以分别写出y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）根据（1）中的结果和题意，令0.85x＝0.7x+90，求出x的值，再求出相应的y的值，即可得到点A的坐标．
（3）根据函数图象和（2）中点A的坐标，可以写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.85x，
当0≤x≤300时，y乙＝x，
当x＞300时，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，
则y乙＝；
（2）令0.85x＝0.7x+90，
解得x＝600，
将x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，
即点A的坐标为（600，510）；
（3）由图象可得，
当x＜600时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当x＝600时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当x＞600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC＝AB，求出∠A＝90°﹣∠B＝60°，根据直角三角形的性质得出BD＝AD＝AB，求出AD＝AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC＝∠ACD＝60°，求出∠ODC＝∠DCO＝30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；
（2）求出BD＝AC＝，BO＝2DO，根据勾股定理得出BO2＝OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可．
【解答】（1）证明：连接OD，CD，

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，
又∵AC＝，
∴BD＝AC＝，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（）2，
解得：OD＝1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
25．（10分）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点B，交y轴于点A，抛物线y＝ax2+4x+c经过点A，B，顶点为点C．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标．
（2）将抛物线y＝ax2+4x+c向下平移m个单位长度，点C的对应点为D，连结AD，BD，若S△ABD＝2，求m的值．

【分析】（1）先求出点B，点C的坐标，代入解析式可求解；
（2）求得平移后的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1﹣m，进一步求得对称轴与直线AB的交点，然后根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程组即可．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣3交x轴于点B，交y轴于点A，
∴点B（3，0），点A（0，﹣3），
∵抛物线y＝ax2+4x+c经过点A，B，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴C（2，1）；
（2）将抛物线y＝ax2+4x+c向下平移m个单位长度得到y＝﹣（x﹣2）2+1﹣m，
把x＝2代入y＝x﹣3得y＝﹣1，
∴AB与对称轴的交点为（2，﹣1），
∵平移后的抛物线的顶点为（2，1﹣m），
∴S△ABD＝2，
∴|1﹣m+1|×3＝2，
∴m＝或m＝．
∴m的值为或．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，求得抛物线的解析式是解题的关键．
26．（10分）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段NM、NP的数量关系是 　MN＝NP　，∠MNP的大小为 　60°　；
（2）探究证明
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
将图1中的△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝2，AB＝6，请直接写出△MNP面积的最大值．

【分析】（1）根据AB＝AC，AD＝AE，得BD＝CE，再根据三角形中位线定理可知MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，利用平行线的性质可证得∠MNP＝60°；
（2）先通过SAS证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再由（1）同理可证；
（3）由三角形三边关系可知：BD≤8，由（2）知：△MNP是等边三角形，MN＝BD，则MN最大值为4，即可求得△MNP的最大面积．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，
∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，
∴∠MNP＝60°，
故答案为：MN＝NP，60°．

（2）△MNP是等边三角形，理由如下：
由旋转得：∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，
∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，
∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，
∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△MNP是等边三角形；

（3）由三角形三边关系可知：BD≤AB+AD，
即BD≤8，
∴BD的最大值为8，
由（2）知：△MNP是等边三角形，MN＝BD，
∴MN＝4时，S△MNP最大，
S△MNP最大为：＝4．
【点评】此题是几何变换综合题，主要了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明∠MNP＝60°是解题的关键．