2023-2024学年广西南宁市青秀区凤岭北路中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西南宁市青秀区凤岭北路中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若零下摄氏度记为，则零上摄氏度记为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列数学经典图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在数轴上表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  甲、乙、丙、丁四名同学参加竞定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6.  如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，，那么的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是的边的垂直平分线，分别交边，于点，，且，，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，直线分别与轴、轴交于点和点，直线分别与轴、轴交于点和点，点是内部包括边上的一点，则的最大值与最小值之差为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  据国家统计局发布的年国民经济和社会发展统计公报显示，年和年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

12.  定义一种运算：，则不等式的解集是(    )

A. 或 B.  C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  ______ ．

14.  分解因式： ______ ．

15.  函数的图象经过点，则 ______ ．

16.  已知一组数据，，，，，的众数是和，则这组数据的中位数是______．

17.  如图，每一幅图中有若干个菱形，第幅图中有个菱形，第幅图中有菱形．第幅图中有个菱形，依照此规律，第幅图中有______个菱形．

18.  如图，在边长为的正方形中，，分别是，上的动点，，分别是，的中点，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
解分式方程：．

21.  本小题分
如图，已知点为的边上的一点，且．
尺规作图：作的角平分线，交于点不写作法，保留作图痕迹；
连接，若，求证：四边形是菱形．

22.  本小题分
月日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩进行统计分析分及分以上为合格数据整理如图表：

学生成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
写出统计表中，，的值；
若该校八年级有名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．

23.  本小题分
如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接，，，交于点．
求证：≌；
连接，若，求证：四边形是矩形．

24.  本小题分
如图，城市建设部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为，宽为．
求通道的宽度；
某公司希望用万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．

25.  本小题分
【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤组与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米．
任务一：确定和的值．
当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程；
当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程；
根据和所列方程，求出和的值；
任务二：确定刻线的位置．
根据任务一，求关于的函数解析式；
从零刻线开始，每隔克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．

26.  本小题分
方法回顾
在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
第一步添加辅助线：如图，在中，延长、分别是、的中点到点，使得，连接；
第二步证明≌，再证四边形是平行四边形，从而得到中位线与的关系是______ ；直接填写结果
问题解决
如图，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．
拓展研究
如图，在四边形中，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由零下摄氏度记为可知，零下记为““，零上记为“”，
零上摄氏度记为：．
故选：．
根据数的正负意义即可得出结论．
本题考查了有理数的正负意义，是比较基础的题型．

2.【答案】 

【解析】解：、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念解答即可．
本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，
解得．
故选：．
根据分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：在数轴上表示为：

故选：．
先在数轴上找到点，再确定实心点还是空心点，根据大于往右画，小于往左画得结论．
本题考查了数轴上表示解集，掌握表示解集的方法是解决本题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，，，，
丁的方差最小，
成绩最稳定的是丁，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

6.【答案】 

【解析】解：公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，
，
．
故选：．
由平行线的性质，即可得到．
本题考查平行线的性质，关键是由题意得到．

7.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：是的边的垂直平分线，
，
的周长，
，，
的周长，
故选：．
由是的边的垂直平分线，可得，则所求的周长，再将已知代入即可．
本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是
．
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可．
本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟记“左加右减，上加下减”的法则是解决问题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：点是内部包括边上的一点，
点在直线上，如图所示，

当为直线与直线的交点时，取最大值，
当为直线与直线的交点时，取最小值，
中令，则，
中令，则，
的最大值为，的最小值为．
则的最大值与最小值之差为：．
故选：．
由于的纵坐标为，故点在直线上，要求符合题意的值，则点为直线与题目中两直线的交点，此时存在最大值与最小值，故可求得．
本题考查一次函数的性质，要求符合题意的值，关键要理解当在何处时存在最大值与最小值，由于的纵坐标为，故作出直线有助于判断的位置．

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
故选：．
根据年的人均可支配收入年平均增长率年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：由新定义得或，
解得或
故选：．
分和两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．
此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了．

13.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据算术平方根的意义即可得出结论．
本题考查了算术平方根的知识，能正确区分算术平方根和平方根是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：公有因式为，
原式，
故答案为：．
由提公因式，可直接得出结论．
本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：将点代入中，得，
解得，
故答案为：．
将点代入函数关系式，计算可求解．
本题主要考查一次函数图象上点的特征，将点的坐标代入关系式进行计算是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
先根据众数的定义求出，再根据中位数的定义求解可得．
【解答】
解：数据，，，，，的众数是和，
，
则数据为、、、、、，
这组数据为，
故答案为：．

17.【答案】 

【解析】解：根据题意分析可得：第幅图中有个．
第幅图中有个．
第幅图中有个．
第幅图中有个．

可以发现，每个图形都比前一个图形多个．
故第幅图中共有个．
当时，，
故答案为：．
根据题意分析可得：第幅图中有个，第幅图中有个，第幅图中有个，，可以发现，每个图形都比前一个图形多个，继而即可得出答案．
本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．

18.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，

，分别是，的中点，
是的中位线，
，
四边形是正方形，，
，
当最大时，最大，此时最大，
点是上的动点，
当点和点重合时，最大，即的长度，
此时，
，
的最大值为．
故答案为：．
首先证明出是的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可．
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

19.【答案】解：原式

． 

【解析】先算括号里面的，再算乘方，乘除，最后算加减即可．
本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的顺序是解题的关键．

20.【答案】解：，
方程两边同乘得：，
移项解得：．
将代入，
是原分式方程的解． 

【解析】将分式方程两边同乘转化为一元一次方程即可得出结论．
本题考查了分式方程的解法，其中确定最简公分母是解题关键．

21.【答案】解：如图所示；
证明：，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】根据基本作图作的平分线即可；
根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，于是得到四边形是菱形．
本题考查了作图基本作图，矩形的判定，平行四边形 的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．

22.【答案】解：由扇形统计图可得，
，，
由频数分布直方图可得，
八年级成绩中分有人，分有人，分有人，分有人，分有人，分有人，
故中位数是，
由上可得，，，；
人，
答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为人；
根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势一样答案不唯一． 

【解析】根据统计图中的数据，可以写出的值，计算出、的值；
根据八年级抽取的人数的合格率进行求解即可；
根据中位数、众数的的意义解答即可．
本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提．

23.【答案】证明：在平行四边形中，，，，则．
又，
，
四边形为平行四边形，
．
在与中，
，
≌；

由知，四边形为平行四边形，则，．
四边形为平行四边形，
，即．
又，，
，
，
，即，
平行四边形为矩形． 

【解析】由平行四边形，易得四边形为平行四边形，然后由推出两三角形全等即可；
由，易证得，即可证得四边形是矩形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定以及三角形的外角性质等知识．注意证得四边形为平行四边形是关键．

24.【答案】解：设通道宽度为，
依题意得，即
解得，舍去
答：通道的宽度为．

设每次降价的百分率为，
依题意得
解得，舍去
答：每次降价的百分率为． 

【解析】设通道的宽度为米．由题意，解方程即可；
可先列出第一次降价后承包金额的代数式，再根据第一次的承包金额列出第二次降价的承包金额的代数式，然后令它等于即可列出方程．
本题考查一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型．

25.【答案】解：由题意得：，，
，，
，
；
由题意得：，，
，
；
由可得：，
解得：；
由可知：，，
，
；
由可知：，
当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；
相邻刻线间的距离为厘米． 

【解析】根据题意可直接进行求解；
根据题意可直接代值求解；
由可建立二元一次方程组进行求解；
根据可进行求解；
分别把，，，，，，，，，，代入求解，以此即可求解．
本题主要考查一次函数的应用、解二元一次方程组，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键．

26.【答案】；

解：延长交的延长线于点，则：
，，
点是的中点，
，
≌，
，，
又，
．










解：延长至点，使得，连接，，过点作，交的延长线于点，
同理可证，≌，
，，
，
，
，得为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
．

【解析】解：点和点分别是和的中点，
，，
，，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
．
故答案为：．
见答案．

利用证明≌，得到，再得▱，最后得到与的关系；
过延长交的延长线于点，得到三角形全等，求出的长度；
药厂至点，使得，得三角形全等，和特殊的直角三角形，再求．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质和判定．本题主要要求同学们掌握常见辅助线作法“倍长中线法”的解题技巧．