2022-2023学年广西南宁市银海区三雅学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广西南宁市银海区三雅学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，四象限，则m的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广西南宁市银海区三雅学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是(    )
A. 9 B. 7 C. 20 D. 13
2. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是(    )
A. 打喷嚏   捂口鼻 B. 喷嚏后   慎揉眼
C. 勤洗手   勤通风 D. 戴口罩   讲卫生
3. 下列各组数中是勾股数的一组是(    )
A. 7，24，25 B. 4，6，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 4，712，812
4. 下列图象中，y不是x的函数的是(    )
A. B. C. D.
5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，其对角线AC，BD相交于点O，下列理论一定成立的是(    )
A. AC=BD
B. AC⊥BD
C. AB=CD
D. AB=AD
6. 下列运算，结果正确的是(    )
A. 7− 5= 2 B. 3+ 2=3 2
C. 6+ 2=3 D. 6× 3=3 2
7. 下列函数中，表示y是x的正比例函数的是(    )
A. y=−0.1x B. y=2x2 C. y2=4x D. y=2x+1
8. 已知正比例函数y=(1−m)x的图象过二、四象限，则m的取值范围是(    )
A. m<1 B. m>1 C. m≤1 D. m≥1
9. 下列四个命题中，错误的命题是(    )
A. 四条边都相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相平分且相等四边形是矩形
10. 如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于(    )
A. 2
B. 2 2
C. 2 105
D. 105
11. 如图，点E是长方形的一边CD上一点，沿AE折叠△ADE使点D落在BC边上的点F处，若AB=4，CE=32，则AD的长为(    )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
12. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为(    )
A. 2−1
B. 2− 2
C. 2 2−2
D. 4−2 2
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 若 x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为______．
14. 分解因式：x2+2x=           ．
15. 若y=(k−1)x+k2−1是正比例函数，侧k=______．
16. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BAD=60°，AD=2，则OH= ______ ．

17. 如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为(2,0)，P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是______．


18. 在矩形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，∠EAF=45°，若AB=3，BC=4，BE=1，AE⊥EF，则EF= ______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：−2−1×(−8)+(2022)0− 9−|−4|．
20. (本小题6.0分)
一个三角形三边的比为1： 3：2.这个三角形是直角三角形吗？
21. (本小题10.0分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(3,2)．
(1)请作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)计算△A1B1C1的面积；
(3)借助已知点的坐标，直接作出直线y=x的函数图象(不需要说明理由)．

22. (本小题10.0分)
已知正比例函数y=kx的图象经过点(3,6)．
(1)求这个函数表达式；
(2)判断点A(4,−2)，点B(−1.5,3)是否在这个函数的图象上．
23. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD//BC．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BD，AC=8，BD=6，求平行四边形ABCD的面积．

24. (本小题10.0分)
为进一步落实每天锻炼不少于1小时的体育精神，某中学计划从商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球、篮球的价格相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，要求购买足球数量不多于篮球数量的12，而且购买足球和篮球的总费用少于8100元，学校有哪几种购买方案？
25. (本小题10.0分)
观察下列各式及其验证过程：2 23= 2+23，验证：2 23= 233= 23−2+222−1= 2+23；3 38= 3+38，验证：3 38= 338= 33−3+332−1= 3+38．
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 415的变形结果，并进行验证．
(2)写出用n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明．
26. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
(1)用t的代数式表示：AE=______；DF=______；
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A、 9=3，不是最简二次根式，故A错误；
B、 7是最简二次根式，故B正确；
C、 20=2 5，不是最简二次根式，故C错误；
D、 13= 33，不是最简二次根式，故D错误；
故选：B．
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

2.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的概念是解题关键．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．  
3.【答案】A 
【解析】解：A、72+242=252，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；
B、42+62≠92，故不是勾股数，故选项不符合题意；
C、0.3，0.4，0.5，都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；
D、42+(12)2≠(812)2，故不是勾股数，故选项不符合题意．
故选：A．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解决问题的关键．

4.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查函数的定义，要熟练掌握函数的定义．函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则x叫自变量，y是x的函数．根据定义再结合图象观察就可以得出结论．
【解答】
解：根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应．而B中的y的值不具有唯一性，所以B图象y不是x的函数．
故选B．  
5.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，AD=BC，AD//BC，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，
故只有选项C符合题意．
故选：C．
根据平行四边形的性质判断即可．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：A． 7与 5不能合并，所以A选项不符合题意；
B.3与 2不能合并，所以B选项不符合题意；
C. 6与 2不能合并，所以C选项不符合题意；
D. 6× 3= 2× 3× 3=3 2，所以D选项符合题意．
故选：D．
利用二次根式的减法运算对A选项进行判断；利用二次根式的加法运算对B、C选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：A、y=−0.1x，符合正比例函数的含义，故本选项正确．
B、y=2x2，自变量次数不为1，故本选项错误；
C、y2=4x是x表示y的二次函数，故本选项错误；
D、y=2x+1是一次函数，故本选项错误；
故选：A．
根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案．
本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．

8.【答案】B 
【解析】解：∵正比例函数y=(1−m)x的图象过二、四象限，
∴1−m<0，
解得：m>1，
故选：B．
根据正比例函数的性质得出1−m<0，再求出即可．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系和正比例函数的性质，能熟记正比例函数的性质的内容是解此题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：A、四条边都相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项说法不正确，符合题意；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，说法正确，不符合题意；
D、对角线互相平分且相等四边形是矩形，说法正确，不符合题意；
故选：B．
根据菱形、正方形、矩形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

10.【答案】C 
【解析】解：过点A作AD⊥BC于D，
由网格特征和勾股定理可得，
AB2=12+12=2，AC2=22+22=8，BC2=12+32=10，
∴AB2+AC2=2+8=10=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AD，
即 2×2 2= 10AD，
∴AD=2 105，
故选：C．
根据网格特征和勾股定理求出△ABC的边长和面积，利用三角形的面积公式进行解答即可．
本题考查勾股定理，分母有理化，掌握网格特征和勾股定理是正确解答的关键．

11.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB，AD=BC，
由折叠的性质得，AF=AD，EF=DE，
∵AB=4，CE=32，
∴EF=DE=CD−CE=AB−CE=52，
在Rt△ECF中，CF= EF2−CE2=2，
设AF=AD=a，则BF=BC−CF=a−2，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+(a−2)2=a2，
∴a=5，
即AD=AF=5，
故选：B．
根据折叠的性质得出AF=AD，EF=DE，在Rt△ECF中，根据勾股定理得出CF=2，设AF=AD=a，则BF=BC−CF=a−2，根据勾股定理求解即可．
此题考查了折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．

12.【答案】B 
【解析】解：设EF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，
∴BD= 2AB=2 2，EF=BF=x，
∴BE= 2x，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°−22.5°=67.5°，
∴∠AED=180°−45°−67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD=ED，
∴BD=BE+ED= 2x+2=2 2，
解得：x=2− 2，
即EF=2− 2；
故选：B．
先由勾股定理求出BD，再求出AE=ED，设EF=x，可得出方程，解方程即可．
本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定；证明三角形是等腰三角形，列出方程是解决问题的关键．

13.【答案】x≥3 
【解析】解：∵x−3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

14.【答案】x(x+2) 
【解析】
【分析】
首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【解答】
解：x2+2x=x(x+2)．
故答案为：x(x+2)．  
15.【答案】−1 
【解析】解：∵y=(k−1)x+k2−1是正比例函数，
∴k2−1=0，且k−1≠0，
解得：k=−1．
故答案为：−1．
直接利用正比例函数的定义分析得出答案．
此题主要考查了正比例函数的定义，注意一次项系数不为零是解题关键．

16.【答案】1 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，OD=OB，
∵∠BAD=60°，
∴△BAD是等边三角形，
∵AD=2，
∴OD=OB=12BD=12AD=1，
∵DH⊥AB，
∴OH=12BD=1．
故答案为：1．
由菱形的性质得AD=AB，OD=OB，由∠BAD=60°，可得△BAD是等边三角形，再由AD=2，得到OD=OB=12BD=1，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OH的长．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．

17.【答案】2 10 
【解析】解：作出D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是(0,2).则PD+PA的最小值就是AD′的长．
则OD′=2，
因而AD′= OD′2+OA2= 4+36=2 10．
则PD+PA和的最小值是2 10．
故答案是：2 10．
作出D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是(0,2).则PD+PA的最小值就是AD′的长，利用勾股定理即可求解．
本题考查了正方形的性质，以及最短路线问题，正确作出P的位置是关键．

18.【答案】 10 
【解析】解：∵AE⊥EF，∠EAF=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵BE=1，AB=3，
∴AE= AB2+BE2= 10，
∴EF= 10．
故答案为： 10．
由垂直及∠EAF=45°可判定△AEF是等腰直角三角形，则有AE=EF，再由矩形的性质可得∠B=90°，利用勾股定理可求得AE的长度，即可求EF．
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．

19.【答案】解：−2−1×(−8)÷(2022)0− 9−|−4|
=12×8÷1−3−4
=4−3−4
=−3． 
【解析】先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．

20.【答案】解：这个三角形是直角三角形，理由如下：
因为边长之比满足1： 3：2，
设三边分别为x、 3x、2x，
∵(x)2+( 3x)2=(2x)2，
即满足两边的平方和等于第三边的平方，
∴这个三角形是直角三角形． 
【解析】本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断
即可．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

21.【答案】解：(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如下：

(2)∵2×3−12×1×2−12×1×3−12×1×2=52，
∴△A1B1C1的面积为52；
(3)作直线OB，则直线OB即为函数y=x的图象，如图：
 
【解析】(1)分别作A，B，C的对称点A1，B1，C1，再连接A1B1，A1C1，B1C1即可；
(2)用矩形面积减去三个直角三角形面积即可；
(3)作直线OB即可．
本题考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握作已知点的对称点的方法．

22.【答案】解：(1)∵正比例函数y=kx的图象经过点(3,6)，
∴6=3k，解得k=2，
∴这个正比例函数的解析式为y=2x；

(2)∵当x=4时，y=8，
∴点A(4,−2)不在该函数的图象上；
∵当x=−1.5时，y=−3，
∴点B(−1.5,3)不在该函数的图象上． 
【解析】(1)直接把点(3,6)代入正比例函数y=kx，求出k的值即可；
(2)把点A(4,−2)和点B(−1.5,3)代入(1)中函数解析式进行检验即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠ADO=∠CBO，
∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOD和△COB中，∠ADO=∠CBO∠AOD=∠COBOA=OC，
∴△AOD≌△COB(AAS)，
∴OD=OB，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：由(1)得：四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴平行四边形ABCD的面积=12AC×BD=12×8×6=24． 
【解析】(1)证△AOD≌△COB(AAS)，由全等三角形的性质得OD=OB，即可解决问题；
(2)证明四边形ABCD是菱形，即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

24.【答案】解：(1)设足球的单价为x元，则篮球的单价为(2x−30)元，
根据题意得：1200x=2×9002x−30，解得：x=60．
经检验：x=60是原方程的解，且符合题意，所以2x−30=90(元)，
答：足球的单价为60元，篮球的单价为90元．
(2)设购买足球a个，则购买篮球(100−a)个，
根据题意，得：a≤12(100−a)60a+90(100−a)<8100，
解得：30 a取整数：31，32，33．
由此可知，可有三种购买方案：第一种方案：购买足球31个，篮球69个；第二种方案：购买足球32个，篮球68个；第三种方案：购买足球33个，篮球67个． 
【解析】(1)设足球的单价为x元，则篮球的单价为(2x−30)元，根据用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍列方程求解即可；
(2)设购买足球a个，则购买篮球(100−a)个，根据购买足球数量不多于篮球数量的12，而且购买足球和篮球的总费用少于8100元列不等式组即可得解．
本题主要考查了分式方程和不等式组的应用，理解题意，找出等量关系和不等关系是解题的关键．

25.【答案】解：(1)猜想：4 415= 4+415，
验证：4 415= 4315= 43−4+442−1= 4×(42−1)+442−1= 4+415；
(2)n nn2−1= n+nn2−1(n为任意自然数，且n≥2)，
证明如下：n nn2−1= n3n2−1= n3−n+nn2−1= n(n2−1)+nn2−1= n+nn2−1(n为任意自然数，且n≥2)． 
【解析】(1)根据题中所给的式子进行验证即可；
(2)根据题中式子的验证过程找出规律即可．
本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式．

26.【答案】(1)2t；2t
(2)∵DF⊥BC
∴∠CFD=90°
∵∠B=90°
∴∠B=∠CFD
∴DF//AB，
由(1)得：DF=AE=2t，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60−4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时，▱AEFD是菱形；
(3)分两种情况：
①当∠EDF=90°时，如图1，DE//BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t=60−4t，
∴t=152
②当∠DEF=90°时，如图2，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD//EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=12AE，
∴60−4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t=152s或12s时，△DEF是直角三角形． 
【解析】解：(1)∵直角△ABC中，∠C=90°−∠A=30°．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=12CD=2t，
故答案为：2t，2t；
(2)见答案
(3)见答案
(1)根据两动点的速度与时间表示出AE，CD，在直角三角形CDF中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半表示出DF即可；
(2)易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；
(3)分两种情况讨论即可求解．
本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形的判定是解题的关键．