2022-2023学年广西南宁市青秀区银海三雅学校九年级（上）开学数学试卷（Word解析版）

2022-2023学年广西南宁市青秀区银海三雅学校九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一种寄托．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 用配方法解方程，配方后可得(    )

A.  B.  C.  D.

5. 为考察甲、乙、丙、丁四个学生的学习情况，对这四名同学的四次测试成绩进行统计的平均数与方差为：
   ，，，，则成绩又高又稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6. 的两边是方程组的解，第三边长为整数，符合条件的三角形有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 如图，直线，相交于点，平分，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知点在轴上，点在轴上，则点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

9. 如图，在中，，，过点作交于点，过点作交于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，四边形内接于，是的直径，连接若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析如下结论：；；当时，随的增大而增大；若一次函数的图象经过点，则点在第四象限．其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共12分）

13. 的平方根等于______．
14. 分式的值为，则______．
15. 因式分解：______．
16. 如图，在中，，，平分，点到的距离，则等于______．

17. 在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是______．
18. 如图，在正方形中，、分别为边、的中点，连接、，点、分别为、的中点，连接，则的长度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：．
20. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
    如图，点在上，点在上，，求证：．
    如图，为上一点，按以下步骤作图：
    连接；
    以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
    在射线上截取；
    连接．
    若，求的半径．
     

22. 本小题分
    在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．某社区随机抽取了部分家庭，调查他们每月用于“信息消费”的金额单位：元，将数据分组如下：；；；；，并将数据整理成如图所示的不完整统计图．已知，两组户数在频数分布直方图中的高度比为：．
    
    请根据以上信息，解答下列问题．
    组的频数是______，本次调查的样本容量是______．
    补全频数分布直方图需标明各组频数．
    所抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于元的有多少户？占所抽取家庭的百分之几？
23. 本小题分
    为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
    甲：所有商品按原价折出售；
    乙：一次购买商品总额不超过元的按原价付费，超过元的部分打折．
    设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示．
    分别求，关于的函数关系式；
    两图象交于点，求点坐标；
    请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

24. 本小题分
    如图，在中，，，点为边的中点，点在边上，以点为圆心的圆过顶点，与边交于点．
    求证：直线是的切线；
    若，求图中阴影部分的面积．

25. 本小题分
    如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，，顶点为点．
    求抛物线的解析式及点的坐标．
    将抛物线向下平移个单位长度，点的对应点为，连结，，若，求的值．

26. 本小题分
    如图，在等腰三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
    观察猜想
    图中，线段、的数量关系是______，的大小为______；
    探究证明
    把绕点顺时针方向旋转到如图所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由；
    拓展延伸
    将图中的绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
倒数：乘积是的两数互为倒数．
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
则用科学记数法表示为
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以乙和丁的成绩相等且较高，
又因为，，
所以丁的方差比乙小，
所以成绩又高又稳定的是丁．
故选：．
先比较平均数，再比较方差即可．
本题考查了方差的意义及算术平均数，解题的关键是方差的意义．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程组的解为：，
的两边是方程组的解，第三边长为整数，
第三边长，
第三边长可以为：，，．
这样的三角形有个．
故选：．
首先求出，的值，再根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，即可得出答案．
此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线，相交于点，，
，
又平分，
，
．
故选：．
根据平角的定义，角平分线以及对顶角的定义进行计算即可．
本题考查对顶角、邻补角以及角平分线的定义，理解角平分线的定义以及对顶角相等是解决问题的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：点在轴上，点在轴上，
，，
解得，，
则点在第二象限．
故选：．
直接利用轴以及轴上点的坐标得出，的值，进而得出答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理，可得，
解得或舍去，
，
，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理，得，
或舍去，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，即可确定的长．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形内接于，
，
，
，
由圆周角定理得：，
是的直径，
，
，
故选：．
连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据题意求出，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质求出．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，
，
由勾股定理得：，
当时，最小，则最小，
此时，，
，
的最小值为，
故选：．
连接，先证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，正确．
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，正确．
由图象可得当时，随增大而增大，
错误．
将代入得，
解得，
，
，
点在第四象限，正确．
故选：．
由抛物线开口方向可判断的符号，由抛物线对称轴可得与的数量关系，由抛物线与轴交点可判断的符号，从而判断，由直线经过点可得与的数量关系，从而判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故答案为：．
根据平方根的定义计算即可．
本题主要考查的是平方根的定义和性质，掌握平方根的定义是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
则且，
．
故答案为：．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零解答即可．
本题考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

15.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，平分，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由角平分线的性质可得，由含度角的直角三角形边长的关系可得的长度，再由等腰三角形的性质可得的长度，进而求解．
本题考查角平分线的性质，解题关键是掌握等腰三角形的判定与性质，掌握解直角三角形的方法．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图所示：即为线段绕点顺时针旋转后得到线段，

则，
过点作轴于点，过点作轴于，则，
，
，
而，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，，，
，．
则点的坐标为：．
故答案为：．
根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了坐标与图形变化旋转：利用旋转的性质得到旋转变化后的线段长度，然后根据点的坐标的表示方法确定图形中特殊点的坐标．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图所示，

四边形是正方形，
，．
、分别为边、的中点，
．
．
在和中，
．
≌．
．
．
．
．
．
设的长为，则，
在中，
．
在中，
．
．
解得即．
．
点、分别为、的中点，
，．
，．
在中，
．
故答案为：．
先通过证明≌得到角相等后，证明，利用已知条件在与中求出，的长，进而求出，的长，利用勾股定理求出的长．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质与勾股定理的应用，难度较大，解答本题的关键是在与中借助公共边利用勾股定理形成关于的方程．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】解：

，
当时，原式
． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】证明：在和中，
，
≌，
；
解：连接，如图，
由作法得，
为等边三角形，
，
，
，
，

，
在中，，，由勾股定理可得．
即的半径为． 

【解析】根据““证明≌，然后根据全等三角形的性质得到结论；
连接，如图，由作法得，先判断为等边三角形得到，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到，然后根据含度的直角三角形三边的关系求的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了全等三角形的判定与性质．
 

22.【答案】   

【解析】解：由图知，组的频数为，且，两组户数在频数分布直方图中的高度比为：，
组的频数为，
本次调查的样本容量为，
故答案为：、；
组频数为，组频数为，组频数为，
补全图形如下：

户，，
答：所抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于元的有户，占所抽取家庭的．
由组的频数为，且，两组户数在频数分布直方图中的高度比为：可得组频数；用、组频数和除以其所占百分比即可；
用总人数分别乘以、、对应的百分比得出其人数，从而补全图形；
将、、组人数相加得出不少于元的户数，再将、、组百分比相加得出其所占百分比即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：由题意可得，
，
当时，，
当时，，
则；
令，
解得，
将代入得，，
即点的坐标为；
由图象可得，
当时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以分别写出，关于的函数关系式；
根据中的结果和题意，令，求出的值，再求出相应的的值，即可得到点的坐标．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】证明：连接，，

，，
，，
为的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
即，
过圆心，
直线是的切线；

解：由可知：，
又，
，
，，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：负数舍去，
所以阴影部分的面积． 

【解析】连接，，根据含度角的直角三角形的性质得出，求出，根据直角三角形的性质得出，求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，求出，再根据切线的判定得出即可；
求出，，根据勾股定理得出，求出，再分别求出和扇形的面积即可．
本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
 

25.【答案】解：直线交轴于点，交轴于点，
点，点，
抛物线经过点，，
，
解得，
抛物线的解析式为：，
，
；
将抛物线向下平移个单位长度得到，
把代入得，
与对称轴的交点为，
平移后的抛物线的顶点为，
，
，
或．
的值为或． 

【解析】先求出点，点的坐标，代入解析式可求解；
求得平移后的解析式为，进一步求得对称轴与直线的交点，然后根据三角形面积公式得到关于的方程，解方程组即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，求得抛物线的解析式是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：，，
，
点、、分别为、、的中点，
，，，，
，，，
，
，
，
故答案为：，．

是等边三角形，理由如下：
由旋转得：，
又，，
≌，
，，
点、、分别为、、的中点，
，，，，
，，，
，
，
，
是等边三角形；

由三角形三边关系可知：，
即，
的最大值为，
由知：是等边三角形，，
时，最大，
最大为：．
根据，，得，再根据三角形中位线定理可知，，，，利用平行线的性质可证得；
先通过证明≌，得，，再由同理可证；
由三角形三边关系可知：，由知：是等边三角形，，则最大值为，即可求得的最大面积．
此题是几何变换综合题，主要了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明是解题的关键．