高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数教案设计

变化率问题

教学目标

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

教学过程：

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．新课讲授

（一）问题提出

问题1 气球膨胀率

    我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

       气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是

       如果将半径r表示为体积V的函数,那么

分析: ，

⑴     当V从0增加到1时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

⑵     当V从1增加到2时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2  高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

思考计算：和的平均速度

在这段时间里，；

在这段时间里，

探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，

所以，

虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

（二）平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子  表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)

3．  则平均变化率为

思考：观察函数f(x)的图象

平均变化率表示什么?

直线AB的斜率

三．典例分析

例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则         ．

解：，

∴

例2．       求在附近的平均变化率。

解：，所以

   所以在附近的平均变化率为

四．课堂练习

1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为          ．

2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

五．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

六．布置作业