初中数学北师大版九年级上册8 图形的位似课时训练

这是一份初中数学北师大版九年级上册8 图形的位似课时训练，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在下列图形中，不是位似图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据位似图形的性质判断即可；
【解析】
据位似图形的概念可知，A、B、C三组图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了位似图形的性质，准确分析判断是解题的关键．
2．如图，以点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A′B′C′．以下说法错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′B．点C，O，C′三点在同一条直线上
C．AB∥A′B′D．AO：AA′＝1：2
【答案】D
【分析】
根据位似的性质对各选项进行判断即可．
【解析】
解：∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C，OA：OA′＝1：2，AB∥A′B′，CC′经过点O．
故选：D．
【点睛】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
3．在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，以为位似中心，与位似，若点的对应点的坐标为（0，－6），则点的对应点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为1：2，则可求A'坐标．
【解析】
解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B （0，3）的对应点B′的坐标为（0，-6），
∴OB：OB'=1：2=OA：OA'，
∵A（1，2），
∴A'（-2，-4），
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键
4．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点PB．点OC．点MD．点N
【答案】A
【分析】
连接其中的两对对应点，它们所在直线的交点即为位似中心．
【解析】
解：如图所示，连接两对对应点之后，它们的连线都经过点P，因此位似中心是点P；
故选：A．
【点睛】
本题考查了位似图形、位似中心的概念，要求学生理解相关概念并能通过连线正确判断出位似中心，本题较基础，考查了学生对基础概念的理解与掌握．
5．如图，△ABO与△CDO是以点O为位似中心的位似图形，若AB＝4，AO＝8，CO＝2，则线段CD的长度为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】
证明△ABO∽△CDO，即可得到结果；
【解析】
∵△ABO与△CDO是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABO∽△CDO，
∴，即，解得CD＝1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了位似图形和相似三角形的性质与判定，准确计算是解题的关键．
6．下列关于对位似图形的表述中：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形；
④如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
⑤位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】
根据位似图形的定义和性质，逐一判断句子，即可得到答案．
【解析】
相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误；
位似图形一定有位似中心，②正确；
相似比不同时，利用位似变换既能放大图形也能缩小图形，③错误；
根据位似的定义，除上述条件还需有对应边平行，或位于同一条直线上，④错误，
反例如下图,△ABC∽△A1B1C1，并且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点B1，但是这两个三角形不是位似图形.
位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于相似比，⑤错误．
故选A．
【点睛】
本题主要考查位似图形的定义和性质，熟练掌握位似图形的定义和性质，是解题的关键．
7．如图所示，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，则下列说法：
(1)△ABC与△DEF是位似形.
(2)△ABC∽△DEF.
(3)△ABC与△DEF周长的比为2∶1
(4)△ABC与△DEF面积的比为4∶1.其中正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故选C．
8．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在原点，边在轴上，在轴上，如果与关于点位似，且的面积等于面积的，则点的坐标为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】
由与关于点O位似，且的面积等于面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得与的位似比为1：2，又由点B的坐标为（6，4），即可求得答案．
【解析】
解：∵与关于点O位似，
∴∽，
∵的面积等于面积的，
∴位似比为1：2，
∵点B的坐标为（6，4），
∴点B′的坐标是：（3，2）或（-3，-2）．
故选D．
【点睛】
此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用．
9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】D
【分析】
把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【解析】
解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
10．如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，．已知关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，在以m，n为坐标（记为（m，n））的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k•t的值等于（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，，顶点A的坐标为（1，t），∴点A′的坐标为（k，kt），∵关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，∴mn=3，且，即（m≠2），∵以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，∴反比例函数的图象只经过点A′或C′，由，可得：mnx﹣3x+4=3n+1，
（1）若反比例函数的图象经过点A′，∵mn=3，3x﹣3x+4=3kt+1，解答kt=1，
（2）若反比例函数的图象经过点C′，∵mn=3，3x﹣3x+4=﹣3kt+1，解答kt=-1，
∵k＞0，t＞0，∴kt=-1不符合题意，∴kt=1．故选B．
考点：1．位似变换；2．二元一次方程组的解；3．坐标与图形性质；4．综合题；5．压轴题；6．分类讨论．
二、填空题
11．如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与____是位似图形，相似比为_______；△OAB与________是位似图形，相似比为____．
【答案】△A′B′C′；7∶4；△OA′B′；7∶4.
【解析】
【分析】
根据位似图形的定义得到△ABC与△A′B′C′；△OAB与△OA′B′是位似图形．根据OA′：A′A=4：3，得到OA：OA′=7：4，因而两对位似图形的位似比都是7：4．
【解析】
解：△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为7：4；△OAB与△OA′B′是位似图形，位似比为7：4．
故答案为△A′B′C′；7∶4；△OA′B′；7∶4
【点睛】
本题主要考查了位似的定义，位似的图形的对应边的比相等．
12．如图，四边形四边形位似，其位似中心为点，且，则_____．
【答案】
【分析】
根据位似图形与相似图形的性质计算即可．
【解析】
解：∵四边形与四边形位似，位似中心为点，，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了位似图形的性质，解题的关键是推导出．
13．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且BC：EF＝3：2，则S△ABC：S△DEF＝_____．
【答案】9：4
【分析】
先根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质计算即可得到答案．
【解析】
解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，
∵BC：EF＝3：2，
∴ ，
故答案为：9：4．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积之比等于对应边比的平方是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点A作轴，垂足为点B，将以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的得到，则OC的长是________．
【答案】
【分析】
根据平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，求出点C的坐标，进而即可得到答案．
【解析】
∵点，且以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中，位似图形的性质，掌握以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标之比等于位似比，是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质结合相似比得出AB的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案.
【解析】
.∵正方形BEFG的边长是6，
∴.
∵两个正方形的相似比为，
∴.
∴，.
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴，即.
∴.
∴点C的坐标为.
【点睛】
本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键.
16．如图，在中，A，B两个顶点在x轴的上方，顶点C的坐标是.以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并且是把放大到原来的2倍后得到的.设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是_________.
【答案】
【分析】
过点B作轴于点D，过点作轴于点E.设点B的横坐标为x，则，，然后根据△BCD∽△B′CE列式求解即可.
【解析】
如图，过点B作轴于点D，过点作轴于点E.设点B的横坐标为x，则，，
∵轴，轴，
∴BD∥△B′E，
∴△BCD∽△B′CE，
∵放大到原来的2倍得到，
∴△BCD与△B′CE的相似比是1：2，
∴，
解得.
故答案为
【点睛】
本题考查了位似图形的性质，由放大到原来的2倍得到△BCD与△B′CE的相似比是2:1是解答本题的关键.
17．如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，且位似比为2．如果五边形ABCDE的面积为16 cm2，周长为20 cm，那么五边形A' B' C' D' E' 的面积为_______，周长为_______．
【答案】4 cm2 10 cm
【解析】
【分析】
利用位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．
【解析】
∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，
∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′.
∴五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
∵位似比为2:1.若五边形ABCDE的面积为16cm2，周长为20cm，
∴五边形A′B′C′D′E′的面积为4cm2，周长为10cm.
故答案为(1). 4 cm2 (2). 10 cm
【点睛】
考查相似多边形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
18．如图，点、、在同一平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．
点的坐标为________；
在第一象限，画出以点为位似中心，以为位似比的位似，其中，点、的对称点分别为、；则点的坐标为________，点的坐标为________．
【答案】.(2, 5),(8, 1),(4, 7)
【分析】
（1）根据C点的平移即可求出A点坐标.（2）根据位似图形性质即可求出、 的坐标.
【解析】
（1）根据题意A点为B点向下平移1再向左平移1，所以A点坐标为（2，5）.
（2）∵△ABC与△ 是位似图形，且位似比为1：2，
∴相似比为1：2，
∵在第一象限，
∴的坐标为（8，1），的坐标为（4，7）
故答案为（1）（2，5） ；（2）.（8，1），（4，7）
【点睛】
本题考查位似图形和平移，熟练掌握位似图形的性质和平移的性质是解题关键.
19．如图，是将放大后的图形，若图中线段，且，则的面积是________．
【答案】
【分析】
利用位似图形的性质首先得出，进而得出三角形面积比，即可得出答案．
【解析】
∵是将放大后的图形，图中线段，
∴，
∴，
∵，
∴=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了位似图形的性质，得出相似比是解题关键．
20．如图，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△B′O′C′与△BOC是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，则点B′的坐标为____________．
【答案】（3，2）或（﹣9，﹣2）
【解析】
∵在中，当时，；当时，，
∴点B的坐标为（0，1），点A的坐标为（-3，0），
∴OB=1，OA=3.
如下图，由题意可知，点B′在直线AB上，且AO′：AO=2:1，B′O′：BO=2：1
∴AO′=6，O′B′=2，
∴OO′=3或9，
∴点B′的坐标为（3，2）或（-9，-2）.
点睛：没有特别说明的时候，作某个图形关于定点的位似图形，通常有2个，在位似中心两侧各有1个，解题时，不要忽略了任何一个.
三、解答题
21．如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
【答案】①是位似图形，位似中心是点A；②是位似图形，位似中心是点P；③不是位似图形；④是位似图形，位似中心是点O；⑤不是位似图形
【分析】
根据位似图形的概念逐一判断即可．
【解析】
解：①是位似图形，位似中心是点A；
②是位似图形，位似中心是点P；
③不是位似图形；
④是位似图形，位似中心是点O；
⑤不是位似图形．
【点睛】
本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念．
22．如图，在的网格图中，三个顶点坐标分别为、、．
（1）以O为位似中心，将放大为，使得与的位似比为2：1，请在网格图中画出；
（2）直接写出（1）中点、、的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）点的坐标为的坐标为的坐标为
【分析】
（1）根据位似变换的定义和性质作出点的对应点，再首尾顺次连接即可得；
（2）由（1）可得、、的坐标．
【解析】
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）点的坐标为的坐标为的坐标为．
【点睛】
本题主要考查了作图－位似变换，根据位似变换的定义和性质得出对应点位置是解题的关键．
23．画图题．
在下面的网格中，每个小正方形的边长都是1．请画出符合下列要求的图形：
（1）图1中将三角形A的各条边按1：3放大，得到三角形B；
（2）图2中将长方形C的各条边按2：1缩小，得到长方形D．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
根据位似知识点作图即可；
【解析】
解：（1）如图1，三角形B为所作；
（2）如图2，长方形D为所作；
【点睛】
本题主要考查了位似作图，准确画图是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，.
(1)请画出的一个以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为3；(要求与在点P同一侧）
(2)求线段的对应线段所在直线的表达式.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先画出点P，再结合题意与的相似比为3，根据画位似图形的性质即可得到答案；
（2）根据相似比和相似三角形的性质求出点B′及点C′的坐标，再运用待定系数法求出一次函数解析式．
【解析】
（1)如图所示，即为所求.
(2)由（1)作图，得，.
设线段所在直线的表达式为，代入点，坐标，
得解得
∴线段所在直线的表达式为.
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式和作图-位似变换，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式和作图-位似变换.
25．(1)以下列正方形网络的交点为顶点，分别画出两个相似比不为1的相似三角形，使它们：①都是直角三角形；②都是锐角三角形；③都是钝角三角形．
(2)如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，﹣1)、(2，1)．
①以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；
②分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
③如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出M的对应点M′的坐标．
【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②B′(﹣6，2)，C′(﹣4，﹣2)；③M′(﹣2x，﹣2y)．
【分析】
（1）按题中要求画出图形即可；
（2）由题意画出图形，由于是将△OBC放大到两倍，所以前后两个三角形是位似图形，可过点C，B反向延长BO，CO，使得OB′=2OB，OC′=2OC，即使得到的三角形是原来的2倍即可，因为其关于原点对称，且B，C点的坐标已知，进而可得出其对应点的坐标，由于点M在三角形中，所以其对应点也关于原点对称，由M的坐标，进而可得其对应点的坐标．
【解析】
解：(1)
①都是直角三角形
②都是锐角三角形
③都是钝角三角形；
(2) ①如图
②B′的坐标为(﹣6，2)，C′的坐标为(﹣4，﹣2)，
③∵M的坐标为(x，y)，
∴M′的坐标为(﹣2x，﹣2y)．
故答案为(1)见解析；(2)①见解析；②B′(﹣6，2)，C′(﹣4，﹣2)；③M′(﹣2x，﹣2y)．
【点睛】
本题考查作图-位似变换，点的坐标，作图—相似变换.
26．如图，正三角形的边长为．
（1）如图①，正方形的顶点在边上，顶点在边上．在正三角形及其内部，以为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形的边长；
（3）如图②，在正三角形中放入正方形和正方形，使得在边上，点分别在边上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．
（无原图）
【答案】（1）见解析（2）（3），，理由见解析
【解析】
解：（1）如图①，正方形即为所求．
（2）设正方形的边长为．
∵△为正三角形，
∴．
∴．
∴，即．（没有分母有理化也对，也正确）
（3）如图②，连接，则．
设正方形、正方形的边长分别为，
它们的面积和为，则，．
∴．
∴．
延长交于点，则．
在中，．
∵，即．
∴ⅰ）当时，即时，最小．
∴．
ⅱ）当最大时，最大．
即当最大且最小时，最大．
∵，由（2）知，．
∴．
∴