苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用课后练习题

5.3导数在研究函数中的应用 苏教版（  2019）高中数学选择性必修第一册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 函数，正确的命题是(    )

A. 值域为 B. 在是增函数
C. 有两个不同的零点 D. 过点的切线有两条

2. 函数，当时，有恒成立，则实数的取值范围是    (    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数在上可导且，其导函数满足，，若函数满足，下列结论错误的是(    )

A. 函数在上为增函数 B. 是函数的极小值点
C. 时，不等式恒成立 D. 函数至多有两个零点

4. 已知函数，，那么下列说法中正确的是(    )

A. 在点处有相同的切线 B. 函数有两个极值点
C. 对于任意恒成立 D. 的图象有且只有两个交点

5. 函数，当时，有恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 函数，正确的命题是(    )

A. 值域为 B. 在是增函数
C. 有两个不同的零点 D. 过点的切线有两条

7. 函数，当时，有恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 对于函数，下列说法正确的有(    )

A. 在处取得极大值
B. 有两个不同的零点
C.
D. 若在上恒成立，则

10. 已知函数，下列结论中正确的是 

A. 函数在时，取得极小值
B. 对于，恒成立
C. 若，则
D. 若对于恒成立，则的最大值为

11. 已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示．下列关于函数的结论正确的有(    )

A. 函数的极小值点有个
B. 函数在上是减函数
C. 若时，的最大值是，则的最大值为
D. 当时，函数有个零点

12. 设函数，则以下说法正确的是(    )

A. 若方程恰有三个不同实根，则
B. 若方程恰有一个实根，则
C. 有极大值，但无最大值
D. 有极小值，也有最小值

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知函数的定义域为，部分对应值如表所示，的导函数的图象如图所示下列关于的命题：

函数的极大值点为，

函数在上是减函数

如果当时，的最大值是，那么的最大值为

当时，函数有个零点

函数的零点个数可能为，，，，．
其中正确命题的序号是          ．

14. 函数在区间上有两个零点，则的取值范围是_________．
15. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为          ．
16. 已知函数，给出如下四个命题：
    是的极小值点；
    函数在上存在唯一的零点；
    存在正实数，使得恒成立；
    对任意两个正实数，，且，若，则．
    其中的真命题有______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知，其中常数．

若恒成立，求实数的取值范围；

若函数有两个零点，，求证：．

18. 本小题分

已知函数．

Ⅰ求函数的单调区间；

Ⅱ是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由．

19. 本小题分

已知函数，，其中是自然对数的底数．

Ⅰ求函数在区间上的最小值；

Ⅱ求证：对任意，，都有成立．

20. 本小题分

已知函数．

若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；

若，求函数在上的最大值和最小值；

若，求证：在区间上函数的图象在函数的图象的下方．

21. 本小题分

已知函数在和处取得极值．

求实数，的值；

若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．

22. 本小题分

已知函数．

求极值点；

若，证明：时，成立．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程的根的关系，导数的几何意义，是中档题．
求出导数，利用导数研究函数的性质，分析每个选项，即可得．

【解答】

解：因为，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，也是唯一的最小值点，即最小值为，
所以函数的值域为，函数的图像如下：


故A错误，B正确，C错误；
设切点为，则，
所以切线方程为：，
又因为切线过点，
所以，解得，
所以切点为，即过点的切线有一条，故D错误．
故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数最值，不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只要从端点值和极值中找最值，注意计算的准确，属于中档题．

要使原式恒成立，只需，然后再利用导数求函数的最小值即可．

【解答】

解：因为，

所以，令得，

因为该函数在闭区间上连续可导，且极值点处的导数为零，

所以最小值一定在端点处或极值点处取得，

而，，，，

所以该函数的最小值为，

因为恒成立，

只需，

即，即

解得．

故选D．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及恒成立和零点问题，属于中档题．
由，可得的单调性；由单调性可判断极值点，进而判断函数的零点，由的单调性可求的最值，进而判断．
【解答】
解：因为，所以当时，，在上单调递增，选项正确；
当时，，在上单调递减，，选项正确；
若，且，则有一个或两个零点；若，则有个零点；若，则有没有零点，所以选项正确；
在上单调递减，在上单调递减，，，选项错误，
故选C．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和极值，导数中的零点问题，属于中档题．
掌握求导的作用以及导数的适用范围是解题的关键．
【解答】
解：由题意可知，函数的定义域为，
，．
A.故   在点   处的切线有不同的斜率，故A错误；
B.由题意，令，则，
又的定义域为，令，可得或舍去．
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
则函数在上只有一个极值点，故B错误；
C.由可知，当时，取得最小值，故C错误；
D.由，可知，，且当时，在上单调递减，当时，在上单调递增．
又，故有且只有两个零点，故D正确．
综上，只有D正确．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数最值，不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，属于中档题．

要使原式恒成立，只需，然后再利用导数求函数的最小值即可．

【解答】

解：因为，，

所以，令得，

因为该函数在闭区间上连续可导，且极值点处的导数为零，

所以最小值一定在端点处或极值点处取得，

而，，，，

所以该函数的最小值为，

因为恒成立，

只需，

即，即，

解得．

故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程的根的关系，导数的几何意义，是中档题．
求出导数，利用导数研究函数的性质，分析每个选项，即可得．

【解答】

解：因为，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，也是唯一的最小值点，即最小值为，
所以函数的值域为，函数的图象如下：

故A错误，B正确，C错误；
设切点为，则，
所以切线方程为：，
又因为切线过点，
所以，得到，
令，，
可得在上大于，单调递增；
在上小于，单调递减，
所以，即只有一个解，
所以切点为，即过点的切线只有一条，故D错误．
故选B．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数最值，不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只要从端点值和极值中找最值，注意计算的准确，属于中档题．

要使原式恒成立，只需，然后再利用导数求函数的最小值即可．

【解答】

解：因为，

所以，令得，

因为该函数在闭区间上连续可导，且极值点处的导数为零，

所以最小值一定在端点处或极值点处取得，

而，，，，

所以该函数的最小值为，

因为恒成立，

只需，

即，即

解得．

故选D．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查恒成立问题以及利用导数求函数的单调区间，极值，最值问题，属于中档题．
分离变量可得，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可得的范围．
【解答】
解：当时，，恒成立
令，
则
则当，即时，当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
，，
即实数的取值范围为
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

 
本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究函数的性质是解决本题的关键．
求函数的导数，结合函数单调性，极值，函数零点的性质分别进行判断即可．

【解答】

解：、函数的导数，令得，
则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，故A正确；
B、由得得，
易知，当时，，
又当，，，，则的图象如图：

由图象可知函数只有一个零点，故B错误；
C、
又当时，为减函数，所以，
故成立，故C正确；
D、若在上恒成立，则，
设，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
即当时，函数取得极大值同时也是最大值，
，故D正确．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值、最值、属于中档题．
A.对函数求导，即可判断对函数求导，即可求得在上的最大值，即可判断；记，对求导，结合选项判断单调性即可；由知，在上递减，进一步即可判断．

【解答】

解：．，，
所以不是的极值点，故A错误；
B.，，，即在上递减，
，故B成立；
C.记，，
由知，时，，
所以，在上递减，
若，则，即，故C正确；
D.由知，在上递减，，
若对于恒成立，所以，故D正确．
故选BCD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的导数图象与函数的关系，属于中档题．
导函数的图象以及函数经过的点，逐项进行分析．

【解答】

解：由图象知函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递减，所以极小值点仅有一个，故A错误，B正确；
根据题意时符合题意，故的最大值为，故C错误；
当时，由函数的单调性以及极值点可以判断函数有个零点，所以D正确．
故选BD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，函数的零点与方程的根的关系．
求出导数，则在上为增函数，在上为减函数，画出函数的大致图象即可判断；方程的根的个数转化为与图像的交点问题即可判断．

【解答】

解：因为，
当时，，当时，，
所以函数在上为增函数，在上为减函数，
所以是极大值点，极大值为，
当是极小值点，极小值为，
当时，，且，
则有极大值，但无最大值，
有极小值，也有最小值，则CD正确；
函数的大致图象如下图：

观察函数的图象，可知：若方程恰有三个不同实根，则，A错误；
若方程恰有一个实根，则或，B错误；
故选CD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

由的导函数的图象知，函数的极大值点为，，故正确

因为在上，故函数在上是减函数，故正确

由表和图象知，所以不上确由知，因为极小值未知，所以函数的零点个数可能为，，，，，所以不正确， 正确．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数零点的应用及利用导数判断函数的单调性和极值，属于中档题．
由得，构造函数，利用导数求出函数的取值情况，即可求出的取值范围．

【解答】

解：由得，
设，则，
由，解得，此时函数单调递增，
由，解得，此时函数单调递减，
当时，函数取得极小值，同时也是最小值，
当时，，当时，，
要使函数在区间上有两个零点，则．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用导数判断函数的单调性求最值，解决不等式恒成立问题，属于中档题．
由条件可得恒成立，然后证得在上单调递增，则恒成立，即可求得范围．

【解答】

解：令．
．
显然当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
即时取得最小值，
故恒成立，
若对恒成立，
则在上单调递增，则恒成立，
，，
又，故，
故答案为．

16.【答案】 

【解析】解：，则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，故正确；
，函数在上无零点，故错误；
若使得恒成立，即恒成立，也就是恒成立，
令，则，
再令，
则，由，得，
，则，
在上单调递减，无最小值，
不存在正实数，使得恒成立，故错误；
对任意两个正实数，，且，
在上单调递减，在上单调递增，
若，则，正确．
事实上，不妨设，
则，而

，
令，则，，
故原式，
故F，
故F在上是减函数，
故F，
故，
又在上单调递增，
，故，故为真命题．
真命题有．
故答案为：．
求出原函数的导函数，求得极小值点判断；由极小值点处的函数值大于判断；构造函数，利用导数研究函数的单调性判断；构造函数，利用导数研究函数的单调性判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，是难题．
 

17.【答案】解：若，则显然成立；
若，由得，
令，则，
令，
由得在上单调递增，
又，
所以在上为负，在为正，
所以在上递减，在递增，
所以，
从而；
由知，函数若有两个零点，则，即有，
由得，
则，
则在上单调递增，
即有，
则有在上单调递增，
则，则，则有；
由得，则，
所以，综上得 

【解析】本题考查导数的综合运用，考查推理能力和计算能力，属于难题．
对进行分类讨论，若，则显然成立若，令，通过求的最小值即可得实数的取值范围；
若，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证．
 

18.【答案】解：Ⅰ，

令，其中

当即时，在上恒成立，

故在上单调递增；

当即，的两根分别为，，；

当时，在上恒成立，故在上单调递增；

当时，由得或；由得；

故在上单调递增，在上单调递减；

综上，当时，在上单调递增；

当时在上单调递增，在上单调递减．

Ⅱ设，则，

依题意，函数恒成立，又由，

进而条件转化为不等式对恒成立，所以是函数的最大值，也是函数的极大值，故，解得．

下面证明当时，满足题意．

，

令可得，令可得

故在上递增，在上递减．

因此，即不等式恒成立．

综上，存在且的取值集合为．

【解析】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
Ⅰ确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负确定取得函数的单调区间；
Ⅱ设，则，依题意，函数恒成立，又由，进而条件转化为不等式对恒成立，所以是函数的最大值，也是函数的极大值，故，解得下面证明当时，满足题意即可．
 

19.【答案】解：由题意得，函数的定义域为，．
令，解得令，解得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递增，又，
函数在区间上的最小值为．
由知函数在处取得最小值，
即，．
，则．
易得函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得最大值，即，，
对任意，，都有成立． 

【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力．
Ⅰ由，得由此能求出函数在区间上的最小值．
Ⅱ由在时取得最小值，知由，得所以函数在时取得最大值，由此能够证明对任意，，都有成立．
 

20.【答案】解：函数的定义域为，

当时，，

令，得或舍去，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以在处取得极小值，极小值为，无极大值．

当时，易知函数在上为增函数，

所以，．

证明：设，

则，

当时，，故F在区间上是减函数；
当时，，在上是增函数．

所以，可见在区间上恒成立，即恒成立．

因此，当时，在区间上函数的图象在函数图象的下方．

【解析】本题主要考查的是利用导数研究函数的极值、最值以及证明函数不等式，属于中档题．
利用导数求函数的极值即可；
利用导数求函数的最值即可；
证明，恒成立即可．
 

21.【答案】解：由函数，可得，

因为函数在和处取得极值，

可得，解得，；

由知，函数，

可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又因为，，

所以在的最大值为，

所以，解得或，

即实数的取值范围是 

【解析】本题考查了导数的应用：函数在某点存在极值的性质，函数恒成立问题，属于中档题．
依题意有，，求解即可；
若对任意的，都有成立在区间上恒成立，根据导数求出函数在上的最大值，进一步求的取值范围．
 

22.【答案】解：由题意，得，
令，得，得
列表如下：

所以有极大值，无极小值；
证明：，
令，
．
当时，，，从而，
，在上是增函数，
．
当时，成立． 

【解析】本题考查利用导数求极值，利用导数证明不等式，属于中档题．
由，可得在上单调递增，上单调递减，从而可得有极大值，无极小值；
令，由导数判断函数的单调性，不等式得证．