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    2021学年5.3 导数在研究函数中的应用练习题

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    这是一份2021学年5.3 导数在研究函数中的应用练习题,共5页。

    1.(多选)下列运算中正确的是( )
    A.(ax2+bx+c)′=a(x2)′+b(x)′
    B.(sin x-2x2)′=(sin x)′-2′(x2)′
    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′=eq \f((sin x)′-(x2)′,x2)
    D.(cs x·sin x)′=(cs x)′sin x+cs x(sin x)′
    解析:选AD A项中,(ax2+bx+c)′=a(x2)′+b(x)′,故正确;
    B项中,(sin x-2x2)′=(sin x)′-2(x2)′,故错误;
    C项中,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′=eq \f((sin x)′x2-sin x(x2)′,(x2)2),故错误;
    D项中,(cs x·sin x)′=(cs x)′sin x+cs x(sin x)′,故正确.
    2.函数f(x)=excs x的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( )
    A.0 B.eq \f(π,4)
    C.1 D.eq \f(π,2)
    解析:选B 对函数求导得f′(x)=ex(cs x-sin x),∴f′(0)=1,∴函数f(x)=excs x的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为eq \f(π,4).
    3.设f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0等于( )
    A.e2 B.e
    C.eq \f(ln 2,2) D.ln 2
    解析:选B ∵f(x)=xln x,∴f′(x)=ln x+1(x>0),由f′(x0)=2,得ln x0+1=2,即ln x0=1,解得x0=e.
    4.函数f(x)=eq \f(x2,x+3)的导数是( )
    A.eq \f(x2+6x,(x+3)2) B.eq \f(x2+6x,x+3)
    C.eq \f(-2x,(x+3)2) D.eq \f(3x2+6x,(x+3)2)
    解析:选A f′(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x+3)))′=eq \f((x2)′(x+3)-x2(x+3)′,(x+3)2)=eq \f(2x(x+3)-x2,(x+3)2)=eq \f(x2+6x,(x+3)2).
    5.设曲线f(x)=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )
    A.0 B.1
    C.2 D.3
    解析:选D f′(x)=a-eq \f(1,x+1),由题意得f′(0)=2,
    即a-1=2,所以a=3.
    6.已知函数f(x)=f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))·cs x+sin x,则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=________,feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=________.
    解析:∵f′(x)=-f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))sin x+cs x,
    ∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=-f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))×eq \f(\r(2),2)+eq \f(\r(2),2),
    得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=eq \r(2)-1.
    ∴f(x)=(eq \r(2)-1)cs x+sin x.
    ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=1.
    答案:eq \r(2)-1 1
    7.已知f(x)=eq \f(ex,x),则f′(1)=________,若f′(x0)+f(x0)=0,则x0=________.
    解析:因为f′(x)=eq \f((ex)′x-ex(x)′,x2)=eq \f(ex(x-1),x2)(x≠0).
    所以f′(1)=0.
    由f′(x0)+f(x0)=0,得eq \f(e\a\vs4\al(x0)(x0-1),xeq \\al(2,0))+eq \f(e\a\vs4\al(x0),x0)=0.
    解得x0=eq \f(1,2).
    答案:0 eq \f(1,2)
    8.已知函数f(x)=ex·sin x,则f′(x)=________,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是________.
    解析:∵f(x)=ex·sin x,f′(x)=ex(sin x+cs x),
    f′(0)=1,f(0)=0,∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-0=1×(x-0),即y=x.
    答案:ex(sin x+cs x) y=x
    9.求下列函数的导数:
    (1)f(x)=eq \r(x)-ln x;(2)f(x)=(x2+1)(x-1);
    (3)f(x)=eq \f(x2,sin x);(4)f(x)=eq \f(x+3,x2+3).
    解:(1)f′(x)=(eq \r(x)-ln x)′
    =(eq \r(x))′-(ln x)′=eq \f(1,2\r(x))-eq \f(1,x).
    (2)f′(x)=[(x2+1)(x-1)]′
    =(x3-x2+x-1)′=(x3)′-(x2)′+(x)′-(1)′
    =3x2-2x+1.
    (3)f′(x)=eq \f((x2)′·sin x-x2·(sin x)′,sin2x)
    =eq \f(2xsin x-x2cs x,sin2x).
    (4)f′(x)=eq \f(1·(x2+3)-(x+3)·2x,(x2+3)2)
    =eq \f(-x2-6x+3,(x2+3)2).
    10.已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f′(x)=2x-8.
    (1)求a,b的值;
    (2)设函数g(x)=exsin x+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.
    解:(1)因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0),
    所以f′(x)=2ax+b,
    又f′(x)=2x-8,所以a=1,b=-8.
    (2)由(1)可知g(x)=exsin x+x2-8x+3,
    所以g′(x)=exsin x+excs x+2x-8,
    所以g′(0)=e0sin 0+e0cs 0+2×0-8=-7,
    又g(0)=3,
    所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0),
    即7x+y-3=0.
    [B级 综合运用]
    11.若函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),且f′(x)是f(x)的导函数,则f′(1)=( )
    A.24 B.-24
    C.10 D.-10
    解析:选A ∵f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)·(x-4)(x-5),
    ∴f′(x)=(x-1)′[(x-2)(x-3)(x-4)·(x-5)]+(x-1)·[(x-2)(x-3)·(x-4)(x-5)]′
    =(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+(x-1)[(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′,
    ∴f′(1)=(1-2)×(1-3)×(1-4)×(1-5)=24.故选A.
    12.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f′(x)>0的解集为( )
    A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞)
    C.(2,+∞) D.(-1,0)
    解析:选C ∵f(x)=x2-2x-4ln x,
    ∴f′(x)=2x-2-eq \f(4,x)>0,
    整理得eq \f((x+1)(x-2),x)>0,解得-1<x<0或x>2,
    又∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴x>2.
    13.曲线y=eq \f(x,2x-1)在点(1,1)处的切线为l,则l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最近距离是________.
    解析:y′=-eq \f(1,(2x-1)2),则k=-1,∴切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0,圆心(-2,0)到直线的距离d=2eq \r(2),圆的半径r=1,∴所求最近距离为2eq \r(2)-1.
    答案:2eq \r(2)-1
    14.设函数f(x)=ax-eq \f(b,x),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
    (1)求f(x)的解析式;
    (2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
    解:(1)由7x-4y-12=0得y=eq \f(7,4)x-3.
    当x=2时,y=eq \f(1,2),∴f(2)=eq \f(1,2),①
    又f′(x)=a+eq \f(b,x2),
    ∴f′(2)=eq \f(7,4),②
    由①②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a-\f(b,2)=\f(1,2),,a+\f(b,4)=\f(7,4).))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=1,,b=3.))
    故f(x)=x-eq \f(3,x).
    (2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+eq \f(3,x2)知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为
    y-y0=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(3,xeq \\al(2,0))))(x-x0),
    即y-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0-\f(3,x0)))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(3,xeq \\al(2,0))))(x-x0).
    令x=0得y=-eq \f(6,x0),从而得切线与直线x=0的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,-\f(6,x0))).
    令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
    所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(-\f(6,x0)))|2x0|=6.
    故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
    [C级 拓展探究]
    15.已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,则a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.
    解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P(x1,xeq \\al(2,1)+2x1)处的切线方程是y-(xeq \\al(2,1)+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-xeq \\al(2,1).①
    函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2在点Q(x2,-xeq \\al(2,2)+a)处的切线方程是y-(-xeq \\al(2,2)+a)=-2x2(x-x2),
    即y=-2x2x+xeq \\al(2,2)+a.②
    如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程,所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1+1=-x2,,-xeq \\al(2,1)=xeq \\al(2,2)+a,))
    消去x2得方程:2xeq \\al(2,1)+2x1+1+a=0.
    当判别式Δ=4-4×2(1+a)=0,即a=-eq \f(1,2)时,解得x1=x2=-eq \f(1,2),此时点P与点Q重合.
    即当a=-eq \f(1,2)时,C1与C2有且只有一条公切线,且公切线方程为y=x-eq \f(1,4).
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