苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用第3课时学案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用第3课时学案，共12页。学案主要包含了由单调性求参数的取值范围，比较大小，函数图象的增长快慢的比较等内容，欢迎下载使用。

一、由单调性求参数的取值范围
问题1 对于函数f(x)＝x3，我们发现，它的导函数f′(x)＝3x2并没有恒大于0，当x＝0时，有f′(0)＝0，这是否会影响该函数的单调性？
提示 在x＝0的左右两侧，都有f′(x)>0，且该函数在x＝0处连续，故不会影响该函数在R上是增函数．也就是说对于导函数有限个等于0的点，不影响函数的单调性．
问题2 对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？
提示 不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果f′(x)≥0成立的条件是f′(x)＝0，即该函数无增区间．
知识梳理
对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的减函数．
若函数f(x)在某区间上是增函数，则f′(x)≥0；若函数f(x)在某区间上是减函数，则f′(x)≤0.
注意点：(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；(2)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min(需要对等号进行单独验证)．
例1 已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－ax，若函数f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围．
解 f′(x)＝x2－a，因为f(x)是R上的增函数，故f′(x)＝x2－a≥0在R上恒成立，即a≤x2，所以a≤0.
经验证，a＝0时成立，故a≤0.
延伸探究
1．本例函数不变，若函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))上是增函数，求实数a的最大值．
解 由题意知f′(x)＝x2－a在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤1，故实数a的最大值是1.经验证a＝1时成立，故amax＝1.
2．本例函数不变，若函数f(x)在(2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解 由题意知f′(x)＝x2－a在(2，＋∞)上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤4.经验证a＝4时成立，故a≤4.
反思感悟 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)．
跟踪训练1 (1)函数y＝eq \f(1,3)x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 D
解析 函数y＝eq \f(1,3)x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，即y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立，
∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1.
(2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)
B．(－3，－1)∪(1,3)
C．(－2,2)
D．不存在这样的实数k
答案 B
解析 由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根．
又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，
故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，
∴k－1<2∴1二、比较大小
例2 (1)已知实数x，y满足2x＋2x<2y＋2y，则( )
A．x>y B．x＝y
C．x答案 C
解析 设f(t)＝2t＋2t，
所以f′(t)＝2＋2tln 2>0，
所以函数f(t)在R上是增函数，
由题意得f(x)所以x(2)已知函数f(x)＝ln x－eq \f(1,x)，则( )
A．f(e)>f(π) B．f(e)C．f(e)＝f(π) D．无法确定
答案 B
解析 f′(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,x2)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
又e<π，故f(e)反思感悟 比较大小的解题类型：
(1)通过已知函数的特点，联想到构造函数，利用导数研究函数的单调性比较大小．
(2)通过判断导函数的图象，根据导函数的符号，确定原函数的单调性比较大小．
跟踪训练2 已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)
答案 C
解析 由导函数f′(x)的大致图象知，当x≤c时，f′(x)≥0恒成立，f(x)为增函数，
又af(b)>f(a)．
三、函数图象的增长快慢的比较
问题3 观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系？
提示 由图象可知若f′(x)>0，则f(x)是增函数，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f′(x)越大，函数f(x)增长的就越快；同样，若f′(x)<0，则f(x)是减函数，显然eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f′x))越大，函数f(x)减少的就越快．
知识梳理
函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
注意点：分析图象的变化与导数值的绝对值的大小关系．
例3 如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 由导函数的图象，可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除A，B，C.
反思感悟 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．
跟踪训练3 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
答案 A
解析 ∵函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有f′(a)对于B，存在x1f′(x2)；对于C，对任意的a＜x1＜x2＜b，都有f′(x1)＝f′(x2)；对于D，对任意的x∈[a，b]，f′(x)不满足逐渐递增的条件，故选A.
1．知识清单：
(1)根据函数的单调性求参数的取值范围．
(2)根据单调性比较大小．
(3)函数图象增长快慢的比较．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合．
3．常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论．
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是( )
答案 D
解析 由已知图象可知，f(x)先减后增再单调性不变，则f′(x)先小于零后大于零最后等于0.
2．已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是( )
A．f(a)＞f(b)＞f(0) B．f(0)＜f(c)＜f(d)
C．f(b)＜f(0)＜f(c) D．f(c)＜f(d)＜f(e)
答案 D
解析 由f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上是增函数，在(b，c)上是减函数，所以f(a)f(0)>f(c)，B，C错误；f(c)3．若函数f(x)＝eq \f(4,3)x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为( )
A．－1≤a≤2 B．－2≤a≤1
C．a＞2或a＜－1 D．a＞1或a＜－2
答案 D
解析 若函数f(x)有3个单调区间，
则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，
解得a＞1或a＜－2.
4．若f(x)＝－eq \f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
答案 (－∞，－1]
解析 ∵f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立．
∵f′(x)＝－x＋eq \f(b,x＋2)，
∴－x＋eq \f(b,x＋2)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.
课时对点练
1．设函数f(x)＝2x＋sin x，则( )
A．f(1)>f(2) B．f(1)C．f(1)＝f(2) D．以上都不正确
答案 B
解析 f′(x)＝2＋cs x>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)2．已知函数f(x)＝x－eq \f(k,x)－2ln x在(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是( )
A．k>0 B．k>1 C．k≥0 D．k≥1
答案 D
解析 因为函数f(x)＝x－eq \f(k,x)－2ln x在(0，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝1＋eq \f(k,x2)－eq \f(2,x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以k≥－x2＋2x，因为－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，所以k≥1.
3．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a等于( )
A．1 B．2 C．0 D.eq \r(2)
答案 B
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，∴eq \f(a,2)≥1，得a≥2.g′(x)＝2x－eq \f(a,x)，依题意知g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，即2x2≥a在x∈(1,2)时恒成立，有a≤2，∴a＝2.
4．已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
答案 B
解析 由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，
∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上都是增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，g(x)在(－∞，0)上是减函数，
∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，下列选项不正确的是( )
答案 D
解析 检验易知A，B，C均适合，D选项y＝f(x)和y＝f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D.
6．(多选)函数f(x)＝eq \f(1,2)ax2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2))x＋2ln x为增函数的必要不充分条件有( )
A．a≥2 B．a＝2
C．a≥1 D．a>2
答案 AC
解析 由函数f(x)＝eq \f(1,2)ax2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2))x＋2ln x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上是增函数，
得f′(x)＝ax－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2))＋eq \f(2,x)＝eq \f(ax2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2))x＋2,x)≥0在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上恒成立，
即ax2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2))x＋2≥0在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上恒成立，
①当a＝0时，－2x＋2≥0⇒0②当a<0时，ax2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2))x＋2＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))≥0，
又eq \f(2,a)<0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))≤0⇒0③当a>0时，ax2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2))x＋2＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))≥0，
又eq \f(2,a)>0, ax2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2))x＋2≥0在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上恒成立，
则Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2))2－8a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2))2≤0⇒a＝2，
综上，函数f(x)＝eq \f(1,2)ax2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2))x＋2ln x是增函数的充要条件为a＝2，
故选AC.
7．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，1))，则实数m的值为______________．
答案 －eq \f(3,2)
解析 f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，
因为f(x)的减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，1))，
所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－eq \f(3,2)，x2＝1，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝0，,f′1＝0，))解得m＝－eq \f(3,2).
8．函数f(x)在定义域R内可导，f(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－x))且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))f′(x)<0，若a＝f(0)，b＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3))，则a，b，c的大小关系是________．(用“>”连接)
答案 b>a>c
解析 因为f(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－x))，所以函数关于直线x＝1对称，
当x>1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))f′(x)<0，即f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x<1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))f′(x)<0，即f′(x)>0，f(x)是增函数．
a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))，b＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3))，故b>a>c.
9．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，求实数a的取值范围．
解 由f(x)，得f′(x)＝3x2－a.
(1)因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)≥0对∀x∈R恒成立，
即a≤3x2对∀x∈R恒成立，只需a≤(3x2)min，
而(3x2)min＝0，所以a≤0，经检验，当a＝0时，符合题意，
故a的取值范围是(－∞，0]．
(2)因为函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，
所以f′(x)<0对∀x∈(－1,1)恒成立，
即a≥3x2对∀x∈(－1,1)恒成立，
易得函数y＝3x2的值域为[0,3)，所以a≥3，即实数a的取值范围是[3，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x，a∈R.
(1)当a＝8时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围；
(3)若f(x)存在减区间，求a的取值范围．
解 (1)当a＝8时，f(x)＝x2－4x－6ln x且定义域为(0，＋∞)，即f′(x)＝2x－4－eq \f(6,x)＝eq \f(2x＋1x－3,x)，
∴若f′(x)>0，得x>3；若f′(x)<0，得0∴f(x)的增区间是(3，＋∞)，减区间是(0,3)．
(2)由题意知，f′(x)＝2x－4＋eq \f(2－a,x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，则a≤2x2－4x＋2恒成立，
令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，则a≤g(x)min即可，而g(x)在[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝2.
∴a≤2.
(3)依题意知，f′(x)＝2x－4＋eq \f(2－a,x)<0在区间(0，＋∞)上有解，即g(x)＝2x2－4x＋2－a<0在区间(0，＋∞)上有解，而g(x)的对称轴为x＝1且开口向上，
∴必有Δ＝16－8(2－a)>0，即a>0.
11．若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))上是增函数，则实数c的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，4]
C．(－∞，8] D．[－2,4]
答案 B
解析 易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.
∵函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))上是增函数，等价于x2＋(2－c)x－c＋5≥0对任意x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))恒成立，
∴c≤eq \f(x2＋2x＋5,x＋1)对任意x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))恒成立．
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))，∴eq \f(x2＋2x＋5,x＋1)＝x＋1＋eq \f(4,x＋1)≥4，当且仅当x＝1时等号成立，∴c≤4.
12．已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则不等式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>f′x,0A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，4))
答案 A
解析 若图中实线部分曲线为函数y＝f(x)的图象，则虚线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，由导函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，4))上的减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2))，
但函数y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2))上不单调，不符合题意；
若图中实线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，
则函数y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，4))上的减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))，增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，4))，符合题意．
由图象可知，不等式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>f′x,013．已知函数f(x)＝eq \f(ln x＋x－b2,2)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上存在增区间，则实数b的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9,4))) B．(－∞，3)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) D．(－∞，eq \r(2))
答案 A
解析 易得f′(x)＝eq \f(1,2x)＋x－b＝eq \f(2x2－2bx＋1,2x).
根据题意，得f′(x)>0在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上有解．
令h(x)＝2x2－2bx＋1，
因为h(0)＝1>0，所以只需h(2)>0或heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))>0，
解得b14．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上是减函数，则实数m的取值范围是________．
答案 [－1,1)
解析 令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，
解得－2≤x≤2.
∴f(x)的减区间为[－2,2]，
由题意得(2m，m＋1)⊆[－2,2]，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m≥－2，,m＋1≤2，,2m15．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－lg25.1))，b＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20.8))，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b答案 C
解析 奇函数f(x)在R上是增函数，
当x>0时，f(x)>f(0)＝0，且f′(x)>0，
又g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，且g(x)＝xf(x)为偶函数，
∴a＝g(－lg25.1)＝g(lg25.1)，
又2∴由g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
得geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20.8))∴b16．已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1)．
(1)当a＝－eq \f(1,4)时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝－eq \f(1,4)时，
f(x)＝－eq \f(1,4)x2＋ln(x＋1)(x>－1)，
f′(x)＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,x＋1)＝－eq \f(x＋2x－1,2x＋1)(x>－1)．
当f′(x)>0时，解得－1当f′(x)<0时，解得x>1.
故函数f(x)的增区间是(－1,1)，减区间是(1，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，
所以f′(x)＝2ax＋eq \f(1,x＋1)≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，
即a≤－eq \f(1,2xx＋1)对任意x∈[1，＋∞)恒成立．
令g(x)＝－eq \f(1,2xx＋1)，x∈[1，＋∞)，
易求得在区间[1，＋∞)上，g′(x)>0，
故g(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，
故g(x)min＝g(1)＝－eq \f(1,4)，故a≤－eq \f(1,4).
即实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4))).导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)