苏教版 (2019)选择性必修第一册第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用同步训练题

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1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
解析：选C y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0. 所以当x＝9时，y取得极大值同时为最大值．
2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为( )
A.eq \f(10\r(3),3) cm B.eq \f(20\r(3),3) cm
C.eq \f(16\r(3),3) cm D.eq \f(\r(3),3) cm
解析：选B 设圆锥的高为h cm，0＜h＜20，
∴V圆锥＝eq \f(1,3)π(202－h2)×h＝eq \f(1,3)π(400－h2)h，
∴V′＝eq \f(1,3)π(400－3h2)，令V′＝0得h＝eq \f(20\r(3),3)，
当h∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(20\r(3),3)))时，V′＞0，当h∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20\r(3),3)，20))时，V′＜0，
故当h＝eq \f(20\r(3),3)时，体积最大．
3．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )
A．4 B．6
C．4.5 D．8
解析：选A 设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝eq \f(256,x2)，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·eq \f(256,x2)＝x2＋eq \f(4×256,x)，
∴S′(x)＝2x－eq \f(4×256,x2).令S′(x)＝0，解得x＝8，
∴h＝eq \f(256,82)＝4.
4．某超市中秋前30天，月饼销售总量f(t)与时间t(0＜t≤30，t∈Z)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋12，则该超市前t天平均售出eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(如前10天平均售出为\f(f（10）,10)))的月饼最少为( )
A．14个 B．15个
C．16个 D．17个
解析：选D 记g(t)＝eq \f(f（t）,t)＝t＋eq \f(12,t)＋10(0＜t≤30，t∈Z)，
令h(t)＝t＋eq \f(12,t)＋10(0＜t≤30)，则g(t)的图象为h(t)图象上横坐标为整数的点．
令h′(t)＝1－eq \f(12,t2)＝0，得t＝2eq \r(3)(负值舍去)，
则h(t)在区间(0，2eq \r(3))上单调递减，在区间(2eq \r(3)，30]上单调递增，
而g(t)中t∈Z，且g(3)＝g(4)＝17，所以g(t)min＝17.故选D.
5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0，0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
解析：选B 依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0，0.048 6)．
所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0＜x＜0.048 6)，
则y′＝0.097 2kx－3kx2.
令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当0＜x＜0.032 4时，y′＞0；
当0.032 4＜x＜0.048 6时，y′＜0.
所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
6．某厂生产某种商品x件的总成本c(x)＝1 200＋eq \f(2,75)x3(单位：万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．
解析：设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝eq \f(k,x)，其中k为比例系数．
因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250 000.
所以p2＝eq \f(250 000,x)，p＝eq \f(500,\r(x))，x＞0.
设总利润为y万元，
y＝eq \f(500,\r(x))·x－1 200－eq \f(2,75)x3＝500eq \r(x)－eq \f(2,75)x3－1 200.
则y′＝eq \f(250,\r(x))－eq \f(2,25)x2.
令y′＝0，得x＝25，故当0＜x＜25时，y′＞0，
当x＞25时，y′＜0，当x＝25时，
函数y取得极大值也是最大值．
答案：25
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝eq \f(k1,x)，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．
于是，由2＝eq \f(k1,10)，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝eq \f(4,5).
因此两项费用之和为y＝eq \f(20,x)＋eq \f(4x,5).y′＝－eq \f(20,x2)＋eq \f(4,5).令y′＝－eq \f(20,x2)＋eq \f(4,5)＝0，得x＝5(x＝－5舍去)，且当x＞5时，y′＞0；当0＜x＜5时，y′＜0，
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
8.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析：设CD＝x，则点C坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，0))，点B坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，1－\f(x2,4)))，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x2,4)))
＝－eq \f(x3,4)＋x，x∈(0，2)．
由f′(x)＝－eq \f(3,4)x2＋1＝0，
得x＝－eq \f(2,\r(3))(舍)或x＝eq \f(2,\r(3))，
∴x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,\r(3))))时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，
x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(3))，2))时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
当x＝eq \f(2,\r(3))时，f(x)取极大值且为最大值eq \f(4\r(3),9).
答案：eq \f(4\r(3),9)
9．请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：∵V(x)＝(eq \r(2)x)2×(60－2x)×eq \f(\r(2),2)
＝eq \r(2)x2×(60－2x)＝－2eq \r(2)x3＋60eq \r(2)x2(0＜x＜30)．
∴V′(x)＝－6eq \r(2)x2＋120eq \r(2)x＝－6eq \r(2)x·(x－20)．
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
∵当0＜x＜20时，V′(x)＞0；
当20＜x＜30时，V′(x)＜0.
∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．
∴底面边长为eq \r(2)x＝20eq \r(2)(cm)，
高为eq \r(2)(30－x)＝10eq \r(2)(cm)，
即高与底面边长的比值为eq \f(1,2).
10．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,5)ln x))来表示．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
解：由题可知1≤x≤10，且x∈N*，球场总建筑面积的每平方米的购地费用为eq \f(128×104,1 000x)＝eq \f(1 280,x)元．因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,5)ln x))来表示，所以每平方米的综合费用(单位：元)为g(x)＝f(x)＋eq \f(1 280,x)＝800＋160ln x＋eq \f(1 280,x)(1≤x≤10，且x∈N*)．令h(x)＝800＋160ln x＋eq \f(1 280,x)(1≤x≤10)，则g(x)的图象为h(x)图象上横坐标为整数的点，所以h′(x)＝eq \f(160（x－8）,x2)(1≤x≤10)．令h′(x)＝0，则x＝8，当1≤x＜8时，h′(x)＜0，当8＜x≤10时，h′(x)＞0，所以当x＝8时，函数h(x)取得极小值，且为最小值，即g(x)取得最小值．
故当该网球中心建8个球场时，每平方米的综合费用最省．
[B级 综合运用]
11．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30 元 B．60 元
C．28 000 元 D．23 000 元
解析：选D 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元．
12．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝eq \f(400,x)，
∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝eq \f(1 600,x)＋4x，令f′(x)＝4－eq \f(1 600,x2)＝0，解得x＝20或x＝－20(舍去)，
x＝20是函数f(x)的极小值点也是最小值点，故当x＝20时，f(x)最小．
答案：20
13.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________ m时，帐篷的体积取得最大值为________m3.
解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为eq \r(32－（x－1）2)＝eq \r(8＋2x－x2)(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×eq \f(\r(3),4)(eq \r(8＋2x－x2))2＝eq \f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V＝eq \f(1,3)×eq \f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq \f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)
＝eq \f(\r(3),2)(8＋2x－x2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（x－1）＋3))
＝eq \f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，
V′＝eq \f(\r(3),2)(12－3x2)．
令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．
当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.
所以当x＝2时，V取得极大值且为最大值，此时V＝eq \f(\r(3),2)×(16＋12×2－23)＝16eq \r(3)(m3)．
答案：2 16eq \r(3)
14．工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,6－x)，0c))(c为常数，且0(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝eq \f(次品数,产品总数)×100%)
解：(1)当x>c时，p＝eq \f(2,3)，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))·x·3－eq \f(2,3)·x·eq \f(3,2)＝0；
当0∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,6－x)))·x·3－eq \f(1,6－x)·x·eq \f(3,2)＝eq \f(3（9x－2x2）,2（6－x）).
∴日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3（9x－2x2）,2（6－x）)，0c))(c为常数，且0(2)由(1)知，当x>c时，日盈利额为0.
当0∴y′＝eq \f(3,2)·eq \f(（9－4x）（6－x）＋9x－2x2,（6－x）2)＝eq \f(3（x－3）（x－9）,（6－x）2)，
令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去)，
∴①当00，∴y在区间(0，c]上单调递增，∴y最大值＝f(c)＝eq \f(3（9c－2c2）,2（6－c）).
②当3≤c<6时，在(0，3)上，y′>0，在(3，c)上，y′<0，∴y在(0，3)上单调递增，在(3，c)上单调递减．
∴y最大值＝f(3)＝eq \f(9,2).
综上，若0[C级 拓展探究]
15.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．
(1)将S表示为θ的函数；
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
解：(1)BM＝AOsin θ＝100sin θ，
AB＝MO＋AOcs θ＝100＋100cs θ，θ∈(0，π)．
则S＝eq \f(1,2)MB·AB＝eq \f(1,2)×100sin θ×(100＋100cs θ)
＝5 000(sin θ＋sin θcs θ)，θ∈(0，π)．
(2)S′＝5 000(2cs2θ＋cs θ－1)
＝5 000(2cs θ－1)(cs θ＋1)．
令S′＝0，
得cs θ＝eq \f(1,2)或cs θ＝－1(舍去)，
此时θ＝eq \f(π,3).
当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：
所以，当θ＝eq \f(π,3)时，S取得极大值且为最大值Smax＝3 750eq \r(3) m2，此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m．
θ
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
eq \f(π,3)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))
S′
＋
0
－
S
单调递增
极大值
单调递减