苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算课堂检测
展开5.2导数的运算 苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第一册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 设函数，其中，则导数的取值范围是( )
A. B. C. D.
- 已知，则( )
A. B. C. D.
- 已知是上的可导函数，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则的值等于( )
A. B. C. D.
- 已知圆：与函数的图象有唯一交点，且交点的横坐标为，则( )
A. B. C. D.
- 已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
- 当时，函数取得最大值，则( )
A. B. C. D.
- 若，则等于( )
A. B. C. D.
- 十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，其中，，现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
- 已知函数及其导函数的定义域均为，记若，均为偶函数，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
- 对下列的函数求导，其中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
- 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知函数的定义域为，为的导函数，若具有下列性质：的值域为为奇函数对任意的，，且，都有则的一个解析式为 ．
- 已知函数的图象在点处的切线的倾斜角为，若，则 ．
- 若函数，则的值为 ．
- 设，，，，，，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
已知，求及
在曲线上求一点，使在该点的切线平行于轴，并求切线方程．
- 本小题分
求下列函数的导数．
；
；
． - 本小题分
求下列函数的导数：
．
- 本小题分
设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，求的值．
- 本小题分
求下列函数的导数：
．
- 本小题分
已知函数，，；
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ求在处的切线方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查导数的运算，考查三角函数的定义域与值域，涉及辅助角公式，属于基础题．
利用求导公式先求出，然后令，求出的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可．
【解答】
解：由已知得，
，
又．
，
，
．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的解析式和导数的运算，先令，由换元法得出的解析式，再求导，再代值求解．
【解答】
解：令，则，
则，
所以，
．
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率，属于基础题．
由题意可得，，然后再进行后面的求解可得．
【解答】
解：直线是曲线在处的切线，
，，
，
则．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，圆：与函数的图象有唯一交点，
则圆在交点的切线与函数在交点处的切线重合；
又由交点的横坐标为，则交点的坐标为，
对于，其导数，则有，
则有，
变形可得，
则；
故选：．
根据题意，求出交点的坐标，对于，求出其导数，分析可得切线的斜率，进而可得，变形有，将其代入，计算可得答案．
本题考查利用导数分析切线的方程，涉及三角函数的恒等变形，注意求出与、的关系，属于基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，导数的运算．
由题意可得及，结合题意及导数的运算可知及，即可求解．
【解答】
解：根据题意得，，，
，
由于，
，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．
由已知求得，再由题意可得求得，得到函数解析式，求其导函数，即可求得．
【解答】
解：因为当时，函数取得最大值，
所以，解得，
所以，，
当时函数取得最值，可得也是函数的一个极值点，
，即，
，
易得函数在上单调递增，在上单调递减，
故处函数取得极大值，也是最大值，
则．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的运算，属基础题．
依题意，，，所以，从而求得．
【解答】
解：因为，
所以，
，所以，
所以，
，
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了导数的运算，三角函数的诱导公式，弧度制与角度制的互化，属于中档题．
由题意两边求导，把代入，则所求的值为，利用诱导公式以及弧度制与角度制的互化得出选项．
【解答】
解：因为，
两边求导得：，
当时，有，
，
将弧度化为角度为．
故最接近的是．
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导数的运算，属于基础题．
由导数的运算法则分析各选项即可．
【解答】
解：对于若，则，
对于若，，
对于若，则，
对于若，则，
故ACD正确，错，
故选ACD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
设，为常数，则的导函数也为，从而可判断；由为偶函数，可得关于对称，可判断；为偶函数，可得，关于对称，可判断；由，关于对称，可得，从而判断．
【解答】
解：设，为常数．
则的导函数也为，满足为偶函数，又为偶函数，
所以，
所以．
所以为偶函数，所以也满足题目条件．
由于是任意的，所以的数值不确定，故A错误；
为偶函数，可得，关于对称，
令，可得，即，故C正确；
为偶函数，，关于对称，故D不正确；
关于对称，是函数的一个极值点，，
则，故B正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的运算，考查运算能力，属基础题．
直接根据导数的运算法则即可解答．
【解答】
解：根据导数的运算性质有：
若，，A正确；
若，则，B正确；
若，则，C错误；
若，则，D正确，
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的运算，根据题意依次对四个函数，分别求出函数的导数，根据条件，确定是否有解即可．
【解答】
解：若，则，由得或，显然方程有解，故A正确；
若，则，即，此方程无解，故B错误；
若 ，则，即，由和 的图像可知，故C正确；
若，则，即，变形可得，无解，故错误．
故选AC．
13.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查抽象函数，导数的运算，属于基础题．
根据题意，结合函数的性质分析可得答案．
【解答】
解：由知可为不含常数项的一次函数，所以为二次函数，
由可知，由知，，
所以，等都满足题意．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了导数的几何意义，导数的运算，属于基础题．
根据已知及利用导数的几何意义，导数的运算，求出的值，再求出的值．
【解答】
解：函数的图象在点处的切线的倾斜角为，
，，
，
，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查知识点简单复合函数的导数，属于基础题．
求出，即可得到答案．
【解答】
解：因为，
所以 ，
所以．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
解析由已知得，，
，
，，
，，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为，
则
17.【答案】解，
．
．
设切点坐标为，由题意可知．
又，
．
解得，此时．
即切点坐标为，
切线方程为．
【解析】略
18.【答案】解：．
．
因为，
所以．
．
【解析】本题考查导数的运算，属于基础题．
根据导数的运算法则进行求解即可．
19.【答案】解令，
则
．
令，
则，．
设，，
则
．
，
．
【解析】略
20.【答案】解导函数，在点处的切线斜率，所以切线方程为，可求得切线与轴的交点为，则，所以．
【解析】略
21.【答案】解 令，
则，
所以，．
所以．
令，则，所以
设，，
则 ．
设，，则．
【解析】略
22.【答案】解：Ⅰ，
根据题意有：
，
，
由解有，
所以的解析式是；
Ⅱ由Ⅰ得，
在处的切线的斜率，
所以有即，
故所求切线的方程为．
【解析】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力，属于简单题．
Ⅰ求出导函数，利用，列出方程，求解即可．
Ⅱ求出导函数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程．
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