高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用教学ppt课件

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第5章 导数及其应用
5.3.2　极大值与极小值
课标要求
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.
素养要求
通过理解函数的极值及其应用导数求极值的过程，发展学生的直观想象与数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、函数极大(小)值的概念1.思考　(1)如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
提示　在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷.
(2)你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？
提示　以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.
2.填空　一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有_______________，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；类似地，若存在δ>0，当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有_________________，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值. 函数的极大值、极小值统称为函数的______.
f(x) ≤f(x1)
f(x)≥f(x2)
极值
温馨提醒　(1)极值是一个局部性概念.由极值的定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小，即反映的是函数在某一点附近的大小情况.(2)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.
3.做一做　已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有(　　)
C
A.两个极大值，一个极小值B.两个极大值，无极小值C.一个极大值，一个极小值D.一个极大值，两个极小值
解析　由图可知导函数f′(x)有三个零点，依次设为x1<0，x2＝0，x3>0，当x0，所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值；当x10，当x20，所以函数f(x)在x＝x2处无极值；又当x>x3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值，故选C.
二、函数的极值与导数的关系1.思考　导数为0的点一定是极值点吗？
提示　不一定.反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
2.填空　(1)极大值与导数之间的关系
>
＝
<
(2)极小值与导数之间的关系
<
＝
>
温馨提醒　函数的极值是函数的局部性质，可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.
－3
解析　f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，得x<－1或x>3，令f′(x)<0得－1HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
角度1　不含参数的函数求极值例1 求下列函数的极值：
题型一　求函数的极值
(1)f(x)＝(x3－1)2＋1；
解　∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，∴f(x)的定义域为R，f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
训练1 求函数f(x)＝x2e－x的极值.
解　函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；
角度2　含参数的函数求极值
解　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
要掌握函数极值的求法，需注意：导数值为0的点将整个定义域分为若干个区间，可将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中，通过表格可以判断在哪个点处取得极值，是极大值还是极小值.如下两表：
由表格可清晰地看出极值的分布情况，对于初学者是首选；后期对求导比较熟练时也可以省去列表格.
训练2 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R). (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值.
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a; ∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值.综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
例3 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1. (1)求常数a，b，c的值；
题型二　利用函数极值确定参数的值
解　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数f(x)的极值点，∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
又f(1)＝－1，
∴a＋b＋c＝－1. ③
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.
当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
训练3 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
题型三　极值的综合应用
例4 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围.
解　令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图.
迁移1 (改变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
解　由例题，知函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝2.
迁移2 本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围.
解　由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞2.故a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
(2)若函数y＝f(x)－m仅有一个零点，求实数m的取值范围.
解　由(1)，知当x>0时，f(x)＝(x2－2x)ex，f′(x)＝(x2－2)ex.
课堂小结
1.牢记2个知识点 (1)极值的概念. (2)极值与导数的关系.2.掌握2种方法 (1)求极值的方法. (2)已知极值求函数解析式的方法.3.注意1个易错点 对极值的充要条件把握不准致错.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.下列函数中存在极值的是(　　)
B
解析　对于y＝x－ex，y′＝1－ex，x∈R，令y′＝0，得x＝0.在区间(－∞，0)上，y′>0；在区间(0，＋∞)上，y′<0.故x＝0为函数y＝x－ex的极大值点.
2.函数f(x)＝(x－1)ex的极小值点为(　　) A.(0，－1) B.(0，0) C.－1 D.0
D
解析　由题意得f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，x∈R，故f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故当x＝0时，f(x)的极小值为f(0)＝－1，故极小值点为0.
3.(多选)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是(　　 )
ACD
A.－3是f(x)的一个极小值点B.－2和－1都是f(x)的极大值点C.f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)D.f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)
解析　当x<－3时，f′(x)<0，x∈(－3，＋∞)时f′(x)≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3).故选ACD.
4.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2＋a在x＝1处有极值为7，则a等于(　　) A.－3或3 B.3或－9 C.3 D.－3
C
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
当a＝3，b＝－9时，f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x－1)(x＋3)，当－31时，f′(x)>0，x＝1是极小值点；当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，x＝1不是极值点.∴a＝3.
5.若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是(　　)A.(－1，0) B.(0，1)C.(－∞，－1) D.(1，＋∞)
B
解析　由题意知f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意.当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a，∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.可知x＝ln a为f(x)的极值点，∴ln a<0，∴a∈(0，1).故选B.
6.函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为a＝________，b＝________.
1
－3
解析　∵f′(x)＝3ax2＋b，又当x＝1时有极值－2，∴f′(1)＝3a＋b＝0，①a＋b＝－2，②
7.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______________________.
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
8.函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________.
0
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点.
由上表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
10.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.
当x∈(0，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(1，2)时，f′(x)>0；所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点.
A
由题意可得f′(3)＝2×9－15a＋3a2＝0，整理得a2－5a＋6＝0，解得a＝2或a＝3.当a＝2时，f′(x)＝2x2－10x＋12＝2(x－2)(x－3)，
令f′(x)>0，得x<2或x>3；令f′(x)<0，得2此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极小值，不符合题意；当a＝3时，f′(x)＝2x2－15x＋27＝(x－3)(2x－9).
此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，符合题意.综上所述，a＝3.
12.若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________.
[1，5)
解析　∵f′(x)＝3x2＋2x－a，函数f(x)在区间(－1，1)上恰有一个极值点，即f′(x)＝0在(－1，1)内恰有一个根.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去).当x∈(0，1)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在(0，1)上是减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数.
所以在区间[1，＋∞)上，F(x)≤F(1)<0，即F(x)<0恒成立，即f(x)14.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定(　　)
B
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于0
解析　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根.
由题图知，f′(x)<0的解集为(x0，2)，∴3a>0，则b>0.∵f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)>0.