高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用导学案，共14页。学案主要包含了极值与最值的关系，求函数的最值，用导数解决实际问题等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值．
一、极值与最值的关系
问题1 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？
提示 最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在．
问题2 开区间上的连续函数有最值吗？
提示 如图．
容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到．
知识梳理
函数最值的定义
(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值；如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≥f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域内的最小值．
注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．
例1 如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值．
解 由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))，极大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))；比较极值和端点值可知函数的最小值是feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))，最大值在b处取得，最大值为f(b)．
反思感悟 最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
跟踪训练1 设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的极值点一定是最值点
B．f(x)的最值点一定是极值点
C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点
D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点
答案 C
解析 根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确．
二、求函数的最值
知识梳理
求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将(1)中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
例2 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝eq \f(1,2)x＋cs x，x∈[0,2π]．
解 (1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，
所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq \r(2))(x－eq \r(2))，
令f′(x)＝0，
解得x＝－eq \r(2) 或x＝eq \r(2).
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，
f(eq \r(2))＝－8eq \r(2)，f(－eq \r(2))＝8eq \r(2)，
所以当x＝eq \r(2)时，f(x)取得最小值－8eq \r(2)；
当x＝3时，
f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝eq \f(1,2)－sin x，x∈[0,2π]，
令f′(x)＝0，得x＝eq \f(π,6)或x＝eq \f(5π,6).
因为f(0)＝1，f(2π)＝π＋1，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(π,12)＋eq \f(\r(3),2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)))＝eq \f(5π,12)－eq \f(\r(3),2).
所以当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π＋1，
当x＝eq \f(5π,6)时，f(x)有最小值f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)))＝eq \f(5π,12)－eq \f(\r(3),2).
反思感悟 求函数最值需注意的点
(1)确定函数的定义域．
(2)求出定义域内的每一个极值与最值．
(3)比较所求的每一个极值与最值．
(4)得出结论．
跟踪训练2 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；
(2)f(x)＝eq \f(x－1,ex).
解 (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37，
∴当x＝4时，f(x)取最大值35.
当x＝－2时，f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
(2)函数f(x)＝eq \f(x－1,ex)的定义域为R.
f′(x)＝eq \f(1·ex－exx－1,ex2)＝eq \f(2－x,ex)，
当f′(x)＝0时，x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.
∴f(x)在(－∞，2)上是增函数，
在(2，＋∞)上是减函数，
∴f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝eq \f(1,e2).
三、用导数解决实际问题
例3 如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解 ∵AE＝x，∴HE＝eq \r(2)x，EF＝60－2x，
∴EG＝eq \f(\r(2),2)(60－2x)，
∴V(x)＝(eq \r(2)x)2×(60－2x)×eq \f(\r(2),2)
＝eq \r(2)x2×(60－2x)＝－2eq \r(2)x3＋60eq \r(2)x2(0∴V′(x)＝－6eq \r(2)x2＋120eq \r(2)x＝－6eq \r(2)x(x－20)．
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
∵当00；
当20∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．
∴包装盒的底面边长为eq \r(2)x＝20eq \r(2)(cm)，
高为eq \r(2)(30－x)＝10eq \r(2)(cm)，
∴当x＝20时，包装盒的容积最大，此时高与底面边长的比值为eq \f(1,2).
延伸探究
本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
解 ∵AE＝x，∴HE＝eq \r(2)x.
∵EF＝60－2x，
∴EG＝eq \f(\r(2),2)EF＝eq \f(\r(2),2)(60－2x)＝eq \r(2)(30－x)．
∴S＝4×HE×EG＝4×eq \r(2)x×eq \r(2)(30－x)
＝8x(30－x)＝－8x2＋240x
＝－8(x－15)2＋8×152(0∴当x＝15时，S取得最大值，最大为1 800 cm2.
反思感悟 解决最优问题应从以下几个方面入手
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域．
(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．
跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq \f(k,3x＋5) (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解 (1)由题设可知，隔热层厚度为x cm，
每年能源消耗费用为C(x)＝eq \f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，
得k＝40，因此C(x)＝eq \f(40,3x＋5).
又建造费用为C1(x)＝6x.
则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq \f(40,3x＋5)＋6x
＝eq \f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－eq \f(2 400,3x＋52)，令f′(x)＝0，
即eq \f(2 400,3x＋52)＝6，解得x1＝5，x2＝－eq \f(25,3)(舍去)．
当00，
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为
f(5)＝6×5＋eq \f(800,15＋5)＝70.
即当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，且最小值为70万元．
1．知识清单：
(1)函数最值的定义．
(2)求函数最值．
(3)函数最值的应用．
2．方法归纳：转化化归、分类讨论．
3．常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系．
1．下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
答案 D
解析 函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．
2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为( )
A.eq \f(10\r(3),3) cm B.eq \f(20\r(3),3) cm
C.eq \f(16\r(3),3) cm D.eq \f(\r(3),3) cm
答案 B
解析 设圆锥的高为h cm,0∴V＝eq \f(1,3)π(202－h2)×h＝eq \f(1,3)π(400－h2)h
∴V′＝eq \f(1,3)π(400－3h2)，令V′＝0，得h＝eq \f(20\r(3),3)，
当h∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(20\r(3),3)))时，V′>0，当h∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20\r(3),3)，20))时，V′<0，
故当h＝eq \f(20\r(3),3)时，体积最大．
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最值，但无极值
B．有最值，也有极值
C．既无最值，也无极值
D．无最值，但有极值
答案 C
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－1,1)上是减函数，
无最大值和最小值，也无极值．
4．函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________．
答案 －eq \f(1,e2)
解析 f(x)＝(x＋1)ex⇒f′(x)＝(x＋2)ex，
当x>－2时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当x<－2时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
因此当x＝－2时，函数有最小值，最小值为f(－2)＝(－2＋1)e－2＝－eq \f(1,e2).
课时对点练
1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0 B．小于0
C．等于1 D．不确定
答案 A
解析 因为M＝m，
所以f(x)为常函数，
故f′(x)＝0，故选A.
2．函数y＝x－sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))的最大值是( )
A．π－1 B.eq \f(π,2)－1
C．π D．π＋1
答案 C
解析 y′＝1－cs x，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，y′>0，
则函数在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是增函数，
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.
3．函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( )
A．1，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19
答案 C
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝±1.
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，
f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1∉[－3,0]．
所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－17.
4．如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则( )
A．函数f(x)没有最大值也没有最小值
B．函数f(x)有最大值，没有最小值
C．函数f(x)没有最大值，有最小值
D．函数f(x)有最大值，也有最小值
答案 C
解析 由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1，
即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值．
5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元
答案 D
解析 设毛利润为L(P)．
则L(P)＝PQ－20Q
＝(8 300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11 700P－166 000，
所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700.
令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
6．(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A．f(x)>0的解集是{x|0B．f(－eq \r(2))是极小值，f(eq \r(2))是极大值
C．f(x)没有最小值，也没有最大值
D．f(x)有最大值无最小值
答案 ABD
解析 由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝±eq \r(2)，
当x<－eq \r(2)或x>eq \r(2)时，f′(x)<0，
当－eq \r(2)0，
∴当x＝－eq \r(2)时，f(x)取得极小值，
当x＝eq \r(2)时，f(x)取得极大值，故B正确．
当x→－∞时，f(x)→0，
当x→＋∞时，f(x)→－∞，
且f(eq \r(2))>0，
结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，
故C不正确，D正确．
7．函数f(x)＝exsin x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为______．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，))
解析 f′(x)＝ex(sin x＋cs x)．
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以f′(x)>0.
所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上为增函数，
所以f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝.
8．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
答案 [－4，－2]
解析 f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝eq \f(m,2).
由题设得eq \f(m,2)∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
9．求下列函数的最值：
(1)f(x)＝sin x＋cs x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；
(2)f(x)＝ln(1＋x)－eq \f(1,4)x2，x∈[0,2]．
解 (1)f′(x)＝cs x－sin x.
令f′(x)＝0，即tan x＝1，
且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
所以x＝eq \f(π,4).
又因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝－1，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝1，
所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，函数的最大值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，
最小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝－1.
(2)f′(x)＝eq \f(1,1＋x)－eq \f(1,2)x，
令eq \f(1,1＋x)－eq \f(1,2)x＝0，化简为x2＋x－2＝0，
解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当1所以f(1)＝ln 2－eq \f(1,4)为函数f(x)的极大值．
又f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1>0，f(1)>f(2)．
所以f(0)＝0为函数f(x)＝ln(1＋x)－eq \f(1,4)x2在[0,2]上的最小值，
f(1)＝ln 2－eq \f(1,4)为函数在[0,2]上的最大值．
10.如图，某段铁路AB长为80公里，BC⊥AB，且BC＝10公里，为将货物从A地运往C地，现在AB上距点B为x公里的点M处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元，公路运费为每公里4元．
(1)将总运费y表示为x的函数；
(2)如何选点M才能使总运费最少？
解 (1)依题意，铁路AM上的运费为2(80－x)元，
公路MC上的运费为4eq \r(100＋x2)元，
则由A地到C地的总运费
y＝2(80－x)＋4eq \r(100＋x2)(0≤x≤80)．
(2)y′＝－2＋eq \f(4x,\r(100＋x2))(0≤x≤80)，
令y′＝0，解得x＝eq \f(10\r(3),3)或x＝－eq \f(10\r(3),3)(舍去)．
当0≤x≤eq \f(10\r(3),3)时，y′≤0；当eq \f(10\r(3),3)≤x≤80时，y′≥0.
故当x＝eq \f(10\r(3),3)时，y取得最小值，即当在距离点B为eq \f(10\r(3),3)公里的点M处修筑公路至C时总运费最少．
11．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
答案 A
解析 令F(x)＝f(x)－g(x)，
∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上是减函数，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．
12．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )
A．20 B．18 C．3 D．0
答案 A
解析 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，所以f(x)在[－1,1]上是减函数，在[1,2]和[－3，－1]上是增函数．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A.
13．函数f(x)＝x－ln x与g(x)＝xex－ln x－x的最小值分别为a，b，则( )
A．a＝b B．a>b
C．a答案 A
解析 f(x)的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))，
f′(x)＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)，
令f′(x)<0，解得00，解得x>1，
则f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
f(x)的最小值是feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝1，故a＝1，
g(x)＝xex－ln x－x，定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))ex－eq \f(1,x)－1＝eq \f(x＋1,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xex－1))，
令h(x)＝xex－1，则h′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))ex>0，x∈(0，＋∞)．
则可得h(x)在(0，＋∞)上是增函数，且heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0))＝－1<0，heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝e－1>0，
故存在x0∈(0,1)使得h(x)＝0，即x0＝1，
即x0＋ln x0＝0，
当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)是减函数，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，＋∞))时，g′(x)>0，函数g(x)是增函数，
故当x＝x0时，函数取得最小值g(x0)＝x0－ln x0－x0＝1－ln x0－x0＝1，即b＝1，
所以a＝b.
14.如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．
答案 eq \f(2,3)
解析 设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示，则正六棱柱的底面边长为1－2x，高为eq \r(3)x，所以正六棱柱的体积V＝6×eq \f(\r(3),4)(1－2x)2·eq \r(3)x＝eq \f(9,2)(4x3－4x2＋x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(00，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(1,2)))时，V′<0.故当x＝eq \f(1,6)时，V有极大值，也是最大值，此时正六棱柱的底面边长为eq \f(2,3).
15．已知函数f(x)＝－eq \f(2,3)x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________．
答案 15x－3y－2＝0
解析 ∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，
f′(1)＝－2＋4＋3＝5.
又f(1)＝－eq \f(2,3)＋2＋3＝eq \f(13,3)，
∴所求切线方程为y－eq \f(13,3)＝5(x－1)．
即15x－3y－2＝0.
16．已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－eq \f(1,2)相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))上的最大值．
解 (1)f′(x)＝eq \f(a,x)－2bx(x>0)．
由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－eq \f(1,2)相切，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′1＝0，,f1＝－\f(1,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2b＝0，,－b＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\f(1,2).))
(2)由(1)，得f(x)＝ln x－eq \f(1,2)x2，定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝eq \f(1,x)－x＝eq \f(1－x2,x).
令f′(x)>0，得01，
所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))上是增函数，在(1，e]上是减函数，
所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))上的最大值为f(1)＝－eq \f(1,2).x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
eq \f(1,e2)
↘