初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试习题

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步单元达标测试题（附答案）

一．选择题（共8小题，满分40分）

1．下列4组数据中，是勾股数的是（　　）

A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，7，8

2．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，a+b＝17，c＝13，则Rt△ABC的面积为（　　）

A．30 B．60 C．110.5 D．169

4．课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．11

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝13，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为（　　）

A．25 B．144 C．150 D．169

6．已知在△ABC中，∠B＝38°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的度数为（　　）

A．38° B．52° C．62° D．90°

7．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）

A．9、12、15 B．5、12、13 C．8、15、17 D．12、18、22

8．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（　　）

A．10米 B．12米 C．14米 D．16米

二．填空题（共8小题，满分40分）

9．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C沿垂直于x轴的方向向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 　   　cm．

10．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AB＝10，AC＝6，BD＝5，则点D到AB的距离是 　   　．

11．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞　   　米．

12．如图，一架10m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，底端离墙的距离BC为6m，当梯子下滑到DE时，AD＝2m，则BE＝　   　m．

13．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形（连同空白部分）的面积是36，则大正方形ABCD的边长是 　   　．

14．如图，一只螳螂在树干的点A处，发现它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10cm，A，B两点的距离为45cm，则螳螂爬行的最短距离为 　   　．（π取3）

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 　   　．

16．在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积是 　   　．

三．解答题（共6小题，满分40分）

17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝16，CD是高．求CD的长．

18．如图，明明在距离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．若明明收绳6m后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？

19．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．

（1）求证：∠ADC＝90°；

（2）求图中阴影部分土地的面积．

20．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．

（1）判断△BCH的形状，并说明理由；

（2）求原路线AC的长．

21．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．

（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；

（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．

22．2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC＝90°．

（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC＝90°的依据；

（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？

参考答案

一．选择题（共8小题，满分40分）

1．解：A．12+22≠32，因此不是勾股数，故此选项不合题意；

B．22+32≠42，因此不是勾股数，故此选项不合题意；

C．32+42＝52，因此是勾股数，故此选项符合题意；

D．62+72≠82，因此不是勾股数，故此选项不合题意；

故选：C．

2．解：由图可知：AB＝，

BC＝，

AC＝，

∴AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，

∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝45°．

故选：B．

3．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝17，c＝13，

∴由勾股定理得：a2+b2＝c2，即（a+b）2﹣2ab＝c2＝169，

∴289﹣2ab＝169，即ab＝60，

则Rt△ABC的面积为ab＝30．

故选：A．

4．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AC＝＝＝15（米），

∴AC+BC﹣AB＝15+8﹣17＝6（米），

故选：A．

5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，

∴AC2+BC2＝AB2＝13，

∵正方形ADEC的面积是AC2，正方形BCFG的面积是BC2，

∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为：AC2+BC2，

∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和是169，

故选：D．

6．解：∵BC2﹣AC2＝AB2，

∴BC2＝AC2+AB2，

∴∠A＝90°，

∵∠B＝38°，

∴∠C＝90°﹣∠B＝52°，

故选：B．

7．解：A．∵92+122＝152，∴是勾股数，不符合题意；

B．∵52+122＝132，∴是勾股数，不符合题意；

C．∵82+152＝172，∴是勾股数，不符合题意；

D．∵122+182≠222，∴不是勾股数，符合题意；

故选：D．

8．解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，

∴BC＝＝＝10（m），

∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．

故选：D．

二．填空题（共8小题，满分40分）

9．解：由题意知，DC垂直平分AB，

∴AC＝AB＝4cm，AD＝BD，

在Rt△ACD中，由勾股定理得，

AD＝（cm），

∴橡皮筋被拉长了AD+BD﹣AB＝5+5﹣8＝2（cm），

故答案为：2．

10．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，

BC＝＝＝8，

∵BD＝5，

∴CD＝3，

过点D作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，

∴CD＝DE＝3，

∴点D到AB的距离是3，

故答案为：3．

11．解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，

过C作CE⊥AB于E，

则CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，

在直角三角形AEC中，

AC＝＝＝13．

答：小鸟至少要飞13米．

故答案为：13．

12．解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝＝＝8（米），

∴DC＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（米），

在Rt△DCE中，CE＝＝＝8（米），

∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（米），

故答案为：2．

13．解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，

根据题意得，

解得：c2＝25，

解得：c＝5或﹣5（舍去），

故大正方形的边长为5，

故答案为：5．

14．解：如图1所示：AC＝2π×10＝20π≈60（cm），BC＝45cm，

故AB＝＝＝75（cm）．

答：螳螂绕行的最短距离为75cm，

故答案为：75cm．

15．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，

则AB＝＝＝5，

∴S阴影部分＝AB2﹣AC•BC＝52﹣×3×4＝19，

故答案为：19．

16．解：分两种情况：

①如图1所示：

∵AD是BC边上的高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴BD＝＝＝15，CD＝＝＝6，

∴BC＝BD+CD＝15+6＝21，

∴S△ABC＝BC•AD＝×21×8＝84；

②如图2所示：

同①得：BD＝15，CD＝6，

∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9，

∴S△ABC＝BC•AD＝×9×8＝36；

综上所述，△ABC的面积为84或36．

故答案为：84或36．

三．解答题（共6小题，满分40分）

17．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝16，

∴AB＝．

∵，

∴20CD＝12×16．

∴CD＝9.6．

18．解：∵开始时绳子BC的长为13m．明明收绳6m后，船到达D处，

∴CD＝13﹣6＝7（m），

由题意得：CA⊥AB，∴∠CAB＝90°，

∴AD＝＝＝2（m），

AB＝＝＝12（m），

∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣2）（m），

∴船向岸A移动了（12﹣2）米，

答：船向岸A移动了（12﹣2）米．

19．（1）证明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，

∴AC＝＝＝5（米），

∵CD＝3米，AD＝4米，

∴AD2+CD2＝AC2＝25，

∴∠ADC＝90°；

（2）解：图中阴影部分土地的面积＝AC×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24（平方米）．

20．解：（1）△BCH是直角三角形，

理由是：在△CHB中，

∵CH2+BH2＝42+32＝25，

BC2＝25，

∴CH2+BH2＝BC2，

∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；

（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，

在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，

由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，

∴x2＝（x﹣3）2+42

解这个方程，得x＝，

答：原来的路线AC的长为千米．

21．（1）证明：∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，

∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，

∵AB＝20，

∴AB2＝AC2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠C＝90°；

（2）解：∵E是边AC的中点，AE＝6，

∴AC＝2AE＝12．

在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，

∴CD＝＝＝5，

∴BC＝2CD＝10，

∴△ABC的面积＝AC•BC＝×12×10＝60．

22．解：（1）连接AC，

技术人员测量的是A，C两点之间的距离，

确定∠ABC＝90°的依据是勾股定理逆定理；

（2）∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，

∴AC＝＝15（m），

∵CD＝17m，AD＝8m，

∴AD2+AC2＝DC2，

∴∠DAC＝90°，

∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），

S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54，

∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），

∴150×114＝17100（元），

答：绿化这片空地共需花费17100元．