初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试习题
展开这是一份初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试习题,共13页。试卷主要包含了下列4组数据中,是勾股数的是,下列各组数中,不是勾股数的是,如图,一棵大树等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步单元达标测试题(附答案)
一.选择题(共8小题,满分40分)
1.下列4组数据中,是勾股数的是( )
A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.6,7,8
2.如图,小正方形的边长均为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ACB的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,c为斜边,a、b为直角边,a+b=17,c=13,则Rt△ABC的面积为( )
A.30 B.60 C.110.5 D.169
4.课间休息时,嘉嘉从教室窗户向外看,看到行人为从A处快速到达图书馆B处,直接从长方形草地中穿过.为保护草地,嘉嘉想在A处立一个标牌:“少走■米,踏之何忍?”如图,若AB=17米,BC=8米,则标牌上“■”处的数字是( )
A.6 B.8 C.10 D.11
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=13,则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为( )
A.25 B.144 C.150 D.169
6.已知在△ABC中,∠B=38°,BC2﹣AC2=AB2,则∠C的度数为( )
A.38° B.52° C.62° D.90°
7.下列各组数中,不是勾股数的是( )
A.9、12、15 B.5、12、13 C.8、15、17 D.12、18、22
8.如图,一棵大树(树干与地面垂直)在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下,倒下后的树顶C与树根A的距离为8米,则这棵大树在折断前的高度为( )
A.10米 B.12米 C.14米 D.16米
二.填空题(共8小题,满分40分)
9.如图,长为8cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C沿垂直于x轴的方向向上拉升3cm到D,则橡皮筋被拉长了 cm.
10.在Rt△ACB中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D.若AB=10,AC=6,BD=5,则点D到AB的距离是 .
11.如图,在校园内有两棵树相距12米,一棵树高14米,另一棵树高9米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞 米.
12.如图,一架10m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上,底端离墙的距离BC为6m,当梯子下滑到DE时,AD=2m,则BE= m.
13.如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法,该方法运用了祖冲之的出入相补原理.若图中空白部分的面积是14,整个图形(连同空白部分)的面积是36,则大正方形ABCD的边长是 .
14.如图,一只螳螂在树干的点A处,发现它的正上方点B处有一只小虫子,螳螂想捕到这只虫子,但又怕被发现,于是就绕到虫子后面吃掉它,已知树干的半径为10cm,A,B两点的距离为45cm,则螳螂爬行的最短距离为 .(π取3)
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4.以AB为边在点C同侧作正方形ABDE,则图中阴影部分的面积为 .
16.在△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则△ABC的面积是 .
三.解答题(共6小题,满分40分)
17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=16,CD是高.求CD的长.
18.如图,明明在距离水面高度为5m的岸边C处,用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13m.若明明收绳6m后,船到达D处,则船向岸A移动了多少米?
19.如图,把一块直角三角形(△ABC,∠ACB=90°)土地划出一个三角形(△ADC)后,测得CD=3米,AD=4米,BC=12米,AB=13米.
(1)求证:∠ADC=90°;
(2)求图中阴影部分土地的面积.
20.笔直的河流一侧有一旅游地C,河边有两个漂流点A,B.其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,为方便游客决定在河边新建一个漂流点H(A,H,B在同一直线上),并新修一条路CH,测得BC=5千米,CH=4千米,BH=3千米.
(1)判断△BCH的形状,并说明理由;
(2)求原路线AC的长.
21.如图,在△ABC中,D是边BC的中点,E是边AC的中点,连接AD,BE.
(1)若CD=8,CE=6,AB=20,求证:∠C=90°;
(2)若∠C=90°,AD=13,AE=6,求△ABC的面积.
22.2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年,是“强基固本、全力冲刺”的关键之年.“创城”,既能深入改变一座城市的现代化进程,也能深刻影响生活在此间的人们.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下,在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图,已知AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,技术人员在只有卷尺的情况下,通过测量某两点之间距离,便快速确定了∠ABC=90°.
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC=90°的依据;
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元,试计算绿化这片空地共需花费多少元?
参考答案
一.选择题(共8小题,满分40分)
1.解:A.12+22≠32,因此不是勾股数,故此选项不合题意;
B.22+32≠42,因此不是勾股数,故此选项不合题意;
C.32+42=52,因此是勾股数,故此选项符合题意;
D.62+72≠82,因此不是勾股数,故此选项不合题意;
故选:C.
2.解:由图可知:AB=,
BC=,
AC=,
∴AB2+BC2=AC2,AB=BC,
∴△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,
∴∠ACB=45°.
故选:B.
3.解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=17,c=13,
∴由勾股定理得:a2+b2=c2,即(a+b)2﹣2ab=c2=169,
∴289﹣2ab=169,即ab=60,
则Rt△ABC的面积为ab=30.
故选:A.
4.解:在Rt△ABC中,由勾股定理得,
AC===15(米),
∴AC+BC﹣AB=15+8﹣17=6(米),
故选:A.
5.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,
∴AC2+BC2=AB2=13,
∵正方形ADEC的面积是AC2,正方形BCFG的面积是BC2,
∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为:AC2+BC2,
∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和是169,
故选:D.
6.解:∵BC2﹣AC2=AB2,
∴BC2=AC2+AB2,
∴∠A=90°,
∵∠B=38°,
∴∠C=90°﹣∠B=52°,
故选:B.
7.解:A.∵92+122=152,∴是勾股数,不符合题意;
B.∵52+122=132,∴是勾股数,不符合题意;
C.∵82+152=172,∴是勾股数,不符合题意;
D.∵122+182≠222,∴不是勾股数,符合题意;
故选:D.
8.解:∵△ABC是直角三角形,AB=6m,AC=8m,
∴BC===10(m),
∴大树的高度=AB+BC=6+10=16(m).
故选:D.
二.填空题(共8小题,满分40分)
9.解:由题意知,DC垂直平分AB,
∴AC=AB=4cm,AD=BD,
在Rt△ACD中,由勾股定理得,
AD=(cm),
∴橡皮筋被拉长了AD+BD﹣AB=5+5﹣8=2(cm),
故答案为:2.
10.解:在Rt△ABC中,由勾股定理得,
BC===8,
∵BD=5,
∴CD=3,
过点D作DE⊥AB于E,
∵AD平分∠BAC,
∴CD=DE=3,
∴点D到AB的距离是3,
故答案为:3.
11.解:如图所示,AB,CD为树,且AB=14米,CD=9米,BD为两树距离12米,
过C作CE⊥AB于E,
则CE=BD=12,AE=AB﹣CD=5,
在直角三角形AEC中,
AC===13.
答:小鸟至少要飞13米.
故答案为:13.
12.解:在Rt△ABC中,根据勾股定理,可得:AC===8(米),
∴DC=AC﹣AD=8﹣2=6(米),
在Rt△DCE中,CE===8(米),
∴BE=CE﹣BC=8﹣6=2(米),
故答案为:2.
13.解:设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,
根据题意得,
解得:c2=25,
解得:c=5或﹣5(舍去),
故大正方形的边长为5,
故答案为:5.
14.解:如图1所示:AC=2π×10=20π≈60(cm),BC=45cm,
故AB===75(cm).
答:螳螂绕行的最短距离为75cm,
故答案为:75cm.
15.解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,
则AB===5,
∴S阴影部分=AB2﹣AC•BC=52﹣×3×4=19,
故答案为:19.
16.解:分两种情况:
①如图1所示:
∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴BD===15,CD===6,
∴BC=BD+CD=15+6=21,
∴S△ABC=BC•AD=×21×8=84;
②如图2所示:
同①得:BD=15,CD=6,
∴BC=BD﹣CD=15﹣6=9,
∴S△ABC=BC•AD=×9×8=36;
综上所述,△ABC的面积为84或36.
故答案为:84或36.
三.解答题(共6小题,满分40分)
17.解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=16,
∴AB=.
∵,
∴20CD=12×16.
∴CD=9.6.
18.解:∵开始时绳子BC的长为13m.明明收绳6m后,船到达D处,
∴CD=13﹣6=7(m),
由题意得:CA⊥AB,∴∠CAB=90°,
∴AD===2(m),
AB===12(m),
∴BD=AB﹣AD=(12﹣2)(m),
∴船向岸A移动了(12﹣2)米,
答:船向岸A移动了(12﹣2)米.
19.(1)证明:∵∠ACB=90°,BC=12米,AB=13米,
∴AC===5(米),
∵CD=3米,AD=4米,
∴AD2+CD2=AC2=25,
∴∠ADC=90°;
(2)解:图中阴影部分土地的面积=AC×BC﹣AD×CD=×5×12﹣×4×3=24(平方米).
20.解:(1)△BCH是直角三角形,
理由是:在△CHB中,
∵CH2+BH2=42+32=25,
BC2=25,
∴CH2+BH2=BC2,
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°;
(2)设AC=AB=x千米,则AH=AB﹣BH=(x﹣3)千米,
在Rt△ACH中,由已知得AC=x,AH=x﹣3,CH=4,
由勾股定理得:AC2=AH2+CH2,
∴x2=(x﹣3)2+42
解这个方程,得x=,
答:原来的路线AC的长为千米.
21.(1)证明:∵D是边BC的中点,E是边AC的中点,CD=8,CE=6,
∴AC=2CE=12,BC=2CD=16,
∵AB=20,
∴AB2=AC2+BC2,
∴△ABC是直角三角形,
∴∠C=90°;
(2)解:∵E是边AC的中点,AE=6,
∴AC=2AE=12.
在Rt△ACD中,∵∠C=90°,AC=12,AD=13,
∴CD===5,
∴BC=2CD=10,
∴△ABC的面积=AC•BC=×12×10=60.
22.解:(1)连接AC,
技术人员测量的是A,C两点之间的距离,
确定∠ABC=90°的依据是勾股定理逆定理;
(2)∵∠ABC=90°,AB=9m,BC=12m,
∴AC==15(m),
∵CD=17m,AD=8m,
∴AD2+AC2=DC2,
∴∠DAC=90°,
∴S△DAC=×AD•AC=×8×15=60(m2),
S△ACB=AB•AC=×9×12=54,
∴S四边形ABCD=60+54=114(m2),
∴150×114=17100(元),
答:绿化这片空地共需花费17100元.
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