初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件当堂检测题

这是一份初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件当堂检测题，共25页。试卷主要包含了展示你的证明能力，如图①等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年苏科版八年级数学上册《1.3探索三角形全等的条件》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，AB＝DC，AC＝BD，AC、BD交于点E，过E点作EF∥BC交CD于F．
求证：
（1）△ABC≌△DCB；
（2）∠1＝∠2．
2．如图，已知∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠MAE＝∠NAF；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．
（1）上述结论中正确的是（①②③）（注：将你认为正确的结论序号都填在括号里）
（2）从你认为正确的结论中，选择一个进行证明．

3．如图，已知AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，连接DC、BE
（1）请说明DC＝BE的理由；
（2）请说出线段DC与BE的位置关系，并说明理由．

4．某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山（如图），设计时要测量隧道AB的长度，恰好在山的前面有一片空地，测量人员想借助于这个有利的地形，利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道长度，请你帮助测量人员设计测量方法，画出图形，并说明理由．（要求：至少两种方法）


5．展示你的证明能力
如图，已知AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE＝BF．
求证：（1）AB∥CD；（2）AE＝CF．

6．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．
（1）求证：△ABF≌△DEC；
（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形．（只要直接写出结果，不要证明）

7．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1＝∠B．
求证：AB＝AC+CD．

8．已知如图，Rt△ABD中，∠ADB＝90°，且AD＝BD，C是BD延长线上的一点，连接AC，过B作BE⊥AC于E．
（1）说明△BFD≌△ACD的理由；
（2）已知BC＝7，AD＝4，求BF的长．



9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．

10．如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．
（1）求证：△AEF≌△BGH；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．

11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．

12．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．

13．如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．
（1）探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．

14．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．

（1）求证：BD＝CD．
（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC．
（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．


15．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：AF+EF＝DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

16．△ABC中，AB＝2，BC＝4，CD⊥AB于D．
（1）如图①，AE⊥BC于E，求证：CD＝2AE；
（2）如图②，P是AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，求证：2PE+PF＝CD；

（3）在（2）中，若P为AC的延长线上任意一点，其它条件不变，请你在备用图中画出图形，并探究线段PE、PF、CD之间的数量关系．
17．已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
（i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系为　 　
（ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，BC⊥CE（点D不与点C，B重合）？试画出相应图形，写出你的探究结果（不用证明）．
18．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

（1）如图①，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，求证：AB+AD＝AC．
（2）如图②，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
19．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　 　CF；EF　 　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　 　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
20．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：

（1）若AB＝AC，请探究下列数量关系：
①在图②中，BD与CE的数量关系是　 　；
②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若AB＝k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．

参考答案
1．证明：（1）在△ABC和△DCB中，
∵AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB．
（2）由（1）知△ABC≌△DCB，
∴∠3＝∠4．
又∵EF∥BC，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3．
∴∠1＝∠2．

2．解：（1）∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴△AEB≌△AFC，
∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠MAE＝∠NAF，BE＝CF，
∴①②③正确；
其中正确的结论是①②③；
（2）证明③∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴△AEB≌△AFC（AAS），
∴BE＝CF，∠EAB＝∠FAC，AC＝AB，
∵∠EAB﹣∠CAB＝∠FAC﹣∠BAC，
∴∠MAE＝∠NAF，
∵∠B＝∠C，AB＝AC，∠BAC＝∠CAB，
∴△ACN≌△ABM（ASA）．
3．解：（1）∵∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE；
在△ADC和△ABE中，，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC＝BE（全等三角形的对应边相等）；
（2）DC⊥BE．
理由：∵△ADC≌△ABE，
∴∠ACD＝∠AEB（全等三角形对应边相等），
∴∠CEB+∠ACD＝∠CEB+∠AEB，
∵∠CEB+∠AEB+∠ACE＝180°﹣∠EAC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CEB+∠ACD+∠ACE＝90°，
即∠CEB+∠DCE＝90°，
∴DC⊥BE．
4．解：设计一，如图1，（1）过A作线段AD⊥AB；
（2）过D作DM⊥AD；
（3）取AD中点C，连接BC并延长交DM于E，则DE长就是隧道AB的长
理由：因为AD⊥AB，ED⊥AD，
所以∠A＝∠D＝90°，
又∵AC＝CD，∠ACB＝∠DCE．
所以△ABC≌△DEC，
所以AB＝DE．
设计二，如图2，（1）过A作线段AD；
（2）取AD中点C，连接BC并延长，使EC＝BC；
（3）连接DE，则DE就是隧道AB的长．
理由：因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，
所以△ACB≌△DCE，所以AB＝DE．
设计三，图同图1，第（2）步改为：作DM∥AB，其他同设计一．
理由：因为DM∥AB，所以∠A＝∠D．又∠ACB＝∠DCE，AC＝CD．
所以△ACB≌△DCE．所以AB＝DE．

5．证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°．
又∵AB＝CD，DE＝BF，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA．
∴∠C＝∠A．
∴AB∥CD．
（2）∵Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴EC＝FA，
∴EC﹣EF＝FA﹣EF，
∴AE＝CF．
6．（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D．
∵AB＝DE，AF＝DC，
∴△ABF≌△DEC．
（2）解：全等三角形有：△ABC和△DEF；△CBF和△FEC．
7．证明：∵∠1＝∠B（已知），
∴∠AED＝2∠B（三角形外角的性质），DE＝BE（等角对等边），
又∠C＝2∠B，
∴∠C＝∠AED（等量代换），
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE，CD＝DE（对应边相等），
∴CD＝BE（等量代换），
∴AB＝AE+EB＝AC+CD．

8．解：（1）理由：∵BE⊥AC，∴∠CAD+∠AEF＝90°，
又∠BFD+∠DBF＝90°，∠AFE＝∠BFD，
∴∠DBF＝∠CAD，又BD＝AD，
∴△ACD≌△BFD．
（2）由（1）可得BF＝AC，
∵BC＝7，BD＝AD＝4，∴CD＝3，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC＝5，
∴BF＝AC＝5．
9．证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），
∴AB＝BD，
（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，

∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，
∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，
∵∠ABF＝∠DBG＝45°
∴∠MBD＝∠GBD，
在△BMK和△BGK中，
，
∴△BMK≌△BGK（ASA），
∴BM＝BG，MK＝KG，
在△ABM和△DBG中，
，
∴△ABM≌△DBG（SAS），
∴AM＝DG，
∵AK＝AM+MK，
∴AK＝DG+KG．
10．（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC．
∵∠ABC＝∠GBH，
∴∠A＝∠GBH．
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠AFE＝∠BHG．
在△ADG和△CDF中，
，
∴△AEF≌△BGH（AAS）．
（2）解：∵△AEF≌△BGH，
∴AF＝BH，
∴AB＝FH＝4．
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠EFD＝∠GHD．
在△EFD和△GHD中，

∴△EFD≌△GHD（AAS），
∴．
11．（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE．
又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE．
∴DE＝CE+CD＝AD+BE．
（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE．
证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE．
又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴△ADC≌△CEB．
∴CD＝BE，AD＝CE．
∴DE＝AD﹣BE．
12．（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．

13．（1）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
而∠DAP+∠P＝90°，
∴∠DAP+∠QAC＝90°，
即∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP；
即AP＝AQ，AP⊥AQ；
（2）上述结论成立，理由如下：
如图所示：

∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°，
∵∠CAE＝∠DAB，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
∵∠PDA＝90°，
∴∠P+∠PAD＝90°，
∴∠QAC+∠PAD＝90°，
∴∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP，
即AP＝AQ，AP⊥AQ．
14．（1）证明：∵∠A＝120°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝ABC＝20°，
∴∠DBC＝∠C＝20°，
∴BD＝CD；
（2）证明：如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，
∴∠FEC＝∠DBC＝20°，
∴∠FEC＝∠C＝20°，
∴∠AFE＝40°，FE＝FC，
∴∠AFE＝∠ABC，

∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠FAE，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS），
∴BE＝EF，
∴BE＝EF＝FC，
∴AB+BE＝AF+FC＝AC；
（3）（2）中的结论不成立，正确的结论是BE﹣AB＝AC．理由如下：
如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，
∴∠AFC＝∠DBC＝20°，
∴∠AFC＝∠C＝20°，
∴AF＝AC，

∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAB＝（180°﹣∠ABC）＝30°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠E＝∠ABC﹣∠EAB＝10°，
∴∠E＝∠FAE＝10°，
∴FE＝AF，
∴FE＝AF＝AC，
∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC．
15．（1）证明：连接BF（如图①），
∵△ABC≌△DBE（已知），
∴BC＝BE，AC＝DE．
∵∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴∠BCF＝∠BEF＝90°．
在Rt△BFC和Rt△BFE中，

∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．
∴CF＝EF．
又∵AF+CF＝AC，
∴AF+EF＝DE．
（2）解：画出正确图形如图②
∴（1）中的结论AF+EF＝DE仍然成立；
（3）不成立．结论：AF＝DE+EF．
证明：连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC＝BE，
∵∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△BCF和△BEF是直角三角形，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，
，
∴△BCF≌△BEF（HL），
∴CF＝EF；
∵△ABC≌△DBE，
∴AC＝DE，
∴AF＝AC+FC＝DE+EF．

16．（1）证明：S△ABC＝AB•CD＝BC•AE，
∵AB＝2，BC＝4，
∴×2×CD＝×4×AE，
即CD＝2AE；
（2）证明：如图②，连接PB，则S△ABC＝S△ABP+S△BCP，
即AB•CD＝AB•PF+BC•PE，
∵AB＝2，BC＝4，
∴×2×CD＝×2×PF+×4×PE，
即CD＝PF+2PE，
故2PE+PF＝CD；
（3）解：如图③，连接PB，则S△ABP＝S△ABC+S△PBC，
即AB•PF＝AB•CD+BC•PE，
∵AB＝2，BC＝4，
∴×2×PF＝×2×CD+×4×PE，
即PF＝CD+2PE．


17．解：（1）（i）垂直（或BD⊥CE）；
（ii）（i）中的结论是否仍然成立，
理由如下：连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ACB＝∠BCE＝90°，
即BD⊥CE；
（2）如右图所示，
当△ABC满足∠ACB＝45°时，BC⊥CE．

18．证明：（1）在四边形ABCD中，
∵AC平分∠DAB，∠DAB＝120°，
∴∠CAB＝∠CAD＝60°．
又∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＝30°．
∴AB＝AD＝AC，
即AB+AD＝AC．
（2）AB+AD＝AC．
证明如下：如图②，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．
∵AC平分∠DAB，
∴CE＝CF．
∵∠ABC+∠D＝180°，
∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠CBF＝∠D．
又∵∠CED＝∠CFB＝90°，
∴△CED≌△CFB．
∴ED＝BF．
∴AD+AB＝AE+ED+AB＝AE+BF+AB＝AE+AF．
∵AC为角平分线，∠DAB＝120°，
∴∠ECA＝∠FCA＝30°，
∴AE＝AF＝AC，
∴AE+AF＝AC，
∴AB+AD＝AE+AF＝AC．
∴AB+AD＝AC．
（3）AB+AD＝AC．
证明如下：如图③，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F．
∵AC平分∠DAB，
∵CE⊥AD，CF⊥AF，
∴CE＝CF．
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∠ADC+∠EDC＝180°，
∴∠ABC＝∠EDC．
又∵∠CED＝∠CFB＝90°．
∴△CFB≌△CED（AAS）．
∴CB＝CD．
延长AB至G，使BG＝AD，连接CG．
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝∠ADC．
∴△GBC≌△ADC（SAS）．
∴∠G＝∠DAC＝∠CAB＝45°．
∴∠ACG＝90°．
∴AG＝AC．
∴AB+AD＝AC．

19．解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA；
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．
②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．
∵∠BCA＝180°﹣∠α，
∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，
∴∠CBE＝∠ACF，
又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE＝CF，CE＝AF，
又∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝|BE﹣AF|．
（2）猜想：EF＝BE+AF．
证明过程：
∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF，
又∵BC＝CA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA，
∴EF＝EC+CF＝BE+AF．
20．解：（1）①BD＝CE；
②AM＝AN，∠MAN＝∠BAC，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中
∵
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵DM＝BD，EN＝CE，
∴BM＝CN，
在△ABM和△ACN中，
∵
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM＝AN，
∴∠BAM＝∠CAN，即∠MAN＝∠BAC；
（2）结论：AM＝k•AN，∠MAN＝∠BAC．理由如下：
∵∠CAE＝∠DAE+∠CAD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
∵DM＝BD，EN＝CE，
∴DM：EN＝K，
∵AB：AC＝AD：AE，
∴AD：AE＝K，
∵∠ADM＝∠ABD+∠BAD，∠AEN＝∠ACE+∠CAE，
∴∠ADM＝∠AEN，
∴∠DAM＝∠EAN，
∴∠NAE+∠MAE＝∠NAE+∠MAE，
∴∠MAN＝∠DAE，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠MAN＝∠BAC．
AM＝k•AN，
∠MAN＝∠BAC．