初中数学第一章 全等三角形1.3 探索三角形全等的条件一课一练

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1．图中是全等的三角形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】B
【分析】比较三条边的长度一致的就是全等三角形．
【详解】解：比较三角形的三边长度，发现乙和丁的长度完全一样，即为全等三角形，
故选：B．
2．将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】根据三根木条即为三角形的三边长，利用全等三角形判定定理确定唯一三角形即可得．
【详解】解：三根木条即为三角形的三边长，
即为利用确定三角形，
故选：A．
3．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
【答案】A
【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．
【详解】解：∵AE=FB，
∴AE+BE=FB+BE，
∴AB=FE，
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SSS），
∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，
∴可利用的是①或②，
故选：A．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由D为BC中点可得BD=CD，利用SSS即可证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质逐一判断即可.
【详解】∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
又∵AB=AC，AD为公共边
∴△ABD≌△ACD（SSS），故①正确，
∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，故②③④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④共4个，
故选D.
5．如图，由25个同样大小的小正方形组成的正方形网格中，△ABC是格点三角形（每个顶点都是格点），在这个正方形网格中画另一个格点三角形，使得它与△ABC全等且仅有一条公共边，则符合要求的三角形共能画（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定定理（SSS），进行画图解答即可．
【详解】如图，
∵△ABC≌△GCB≌△BAW≌△CDA≌△AEC≌△ABQ≌△ABF，
∴与△ABC全等且仅有1条公共边的三角形共6个，
故选B．
6．如图，小明家的衣柜上镶有两块形状和大小完全相同的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈想让小明到玻璃店配一块回来，请把小明该测量△ABC的边或角写下来 ．（写出一种即可）
【答案】a，b，c
【分析】根据边边边公理可以判断两个三角形全等，即可以画到一样的三角形玻璃装饰物，从而可得答案．
【详解】解：分别测量原来三角形玻璃装饰物的三条边的长度，可以画到一样的三角形玻璃装饰物．
故答案为：a，b，c
7．如图，已知，，，则全等三角形共有 对．
【答案】3
【分析】根据已知利用全等三角形的判定方法SSS得出全等三角形即可．
【详解】解：全等三角形共有3对，，，，
理由：在和中
，
，
在和中
，
，
在和中
，
．
故答案为：3．
8．如图，点在上，且，，，试说明：点是的中点．请你在横线上补充其推理过程或理由．
解： 因为 ，
所以 ，
因为 ，，
所以_______________（理由：SSS）
所以 （理由：_________________）
因为 （理由：_________________）
所以
所以__________________（理由：全等三角形对应边相等）
所以点是中点．
【答案】，全等三角形对应角相等，对顶角相等，
【分析】由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
因为 ，，
所以（理由：），
所以 （理由：全等三角形对应角相等），
因为 （理由：对顶角相等），
所以 ，
所以（理由：全等三角形对应边相等），
所以点是中点，
故答案为：，全等三角形对应角相等，对顶角相等，．
9．如图，，，、相交于，由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中3个正确结论（不要添加字母和辅助线，并对其中一个给出证明）
结论1：
结论2：
结论3：
证明：
【答案】结论1：
结论2：∠BCA=∠DCA
结论3：平分
证明结论3，见详解
【分析】结合题意，得出三个结论；利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明平分．
【详解】结论1：
结论2：∠BCA=∠DCA
结论3：平分
证明结论3：在和中，
，
∴，
∴，即平分．
10．如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF
(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析.
【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.
【详解】（1）∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF.
（2）成立.理由如下：
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF.
（3）AD与CB不一定平行，理由如下：
∵只给了两组对应相等的边，
∴不能判定△ADE≌△CBF，
∴不能判定∠A与∠C的大小关系，
∴AD与CB不一定平行.
11．中国现役的第五代隐形战斗机歼—20的机翼如图，为适应空气动力的要求，两个翼角，必须相等. 制造中，工作人员只需用刻度尺测量PA=PB，CA=CB就能满足要求，说明理由.
【分析】连接，证明即可证明；
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴；
12．如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．若AE=8，CD=6，求四边形AECF的面积.
【答案】)8
【分析】连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
【详解】解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题：
如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．
求证：．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．．
（2）【深入研究】
如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等．
（3）【类比思考】下列命题中是真命题的是 ．（填写相应的序号）
①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等；
②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等；
③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；
④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等；
⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等．
【答案】（1）①；②；③；④
（2）全等，见解析
（3）①②③⑤
【分析】（1）根据三角形中线的定义及全等三角形的判定与性质可得出答案；
（2）延长至，使，连接BE，延长至，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出，，同理，．证明．得出，．则可证明；
（3）根据全等三角形的判定方法可得出结论．
【详解】（1）证明：是的中线，
，
分别是的中线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
．
故答案为：①；②；③；④；
（2）解：与仍然全等，理由如下：
延长至，使，连接BE，延长至，使，连接．
和分别是和的和边上的中线，
，．
在和中，
，
．
，，
同理，．
，
．
，，，
．
，
．
，．
．
，
又，，
，
（3）①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意；
②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意；
③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等，正确，符合题意；
④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等，说法错误，
如图，在与中，，，高相同，但是与不全等．
故④不符合题意；
⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等，正确，符合题意．
故答案为：①②③⑤．
（初步探索）
(1)如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________；
（灵活运用）
(2)如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】(1)，证明见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）如图1，延长到点G，使，连接，先证明，得到，再证明，得到∠EAF=∠GAF =∠DAG+∠DAF =∠BAE+∠DAF即可；
（2）同（1）证明即可．
【详解】（1）解：．理由如下：
如图1，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴∠EAF=∠GAF =∠DAG+∠DAF =∠BAE+∠DAF.
故答案为：；
（2）解：如图2，延长到点G，使，连接，
∵，
∴∠B=∠ADG，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴∠EAF=∠GAF =∠DAG+∠DAF =∠BAE+∠DAF.