2022_2023学年新教材高中数学北师大版必修第一册第二章函数测评试题

这是一份2022_2023学年新教材高中数学北师大版必修第一册第二章函数测评试题，共14页。

第二章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=x+1+12-x的定义域为(　　)
A.[-1,2)∪(2,+∞)
B.(-1,+∞)
C.[-1,2)
D.[-1,+∞)
2.函数y=x53的图象大致是(　　)

3.已知f12x-1=2x-5,且f(a)=6,则a=(　　)
A.-74 B.74 C.43 D.-43
4.(2021湖北高一开学考试)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x2+mx+2,且f(1)=-2,则f(2)的值为(　　)
A.-4 B.0
C.4 D.2
5.在同一坐标系中,函数y=xa(a≠0)和y=ax-1a的图象可能是(　　)

6.为了节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,计费方法如下:
每户每月用电量
电价
不超过230度的部分
0.5元/度
超过230度但不超过400度的部分
0.6元/度
超过400度的部分
0.8元/度


若某户居民本月交纳的电费为380元,则此户居民本月用电量为(　　)
A.475度 B.575度
C.595.25度 D.603.75度
7.若定义运算a⊕b=b,a≤b,a,a>b,则函数f(x)=x2?|x|的图象是(　　)

8.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0.则当n∈N+时,有(　　)
A.f(-n) B.f(n-1) C.f(n+1) D.f(n+1) 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是(　　)
A.f(x)=|x|
B.f(x)=x-|x|
C.f(x)=x+1
D.f(x)=-x
10.若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)(　　)
A.无最大值
B.最大值为1
C.无最小值
D.最小值为-1
11.已知函数f(x)=x2-x4|x-1|-1,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1]
B.f(x)的值域为(-1,1)
C.f(x)在定义域上是增函数
D.f(x)的图象关于原点对称
12.已知定义在R上的函数y=f(x)的图象关于y轴对称,且对于y=f(x),当x1,x2∈(-∞,0],且x1≠x2时,有f(x2)-f(x1)x2-x1<0恒成立.若f(2ax) A.1 B.-2
C.0 D.2
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)=3x,x≥0,x-1,x<0,若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于　　　　　. 
14.已知函数y=f(x)+x3为偶函数,且f(10)=16,若函数g(x)=f(x)+6,则g(-10)=　　　　　. 
15.定义max{a,b}=a(a≥b),b(a 16.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r(单位:元)与时间t(1≤t≤20,t∈N,单位:天)之间的函数关系式为r=14t+10,且日销售量y(单位:箱)与时间t之间的函数关系式为y=120-2t.
(1)第4天的销售总利润为　　　　　元; 
(2)在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠m(m∈N+)元给某学校.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大,则m的最小值是　　　　　. 
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)如图,直角梯形ABCD的两底边分别为AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,直线MN⊥AD于点M,交折线ABC于点N,记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数.









18.(12分)已知函数f(x)=x2+ax,且f(1)=2.
(1)求证函数f(x)是奇函数;
(2)求证函数f(x)在(1,+∞)上单调递增;
(3)求函数f(x)在[2,5]上的最大值和最小值.












19.(12分)(2021山东青岛期中)已知奇函数f(x)=ax+bx2+1是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f12=25.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求不等式f(x-1)




















20.(12分)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+ax.
(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)为R上的减函数,
①求a的取值范围;
②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值范围.








21.(12分)某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=32a-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=14a+2,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)当甲城市投资50万元时,求此时该公司的总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?









22.(12分)已知一元二次函数f(x)的图象过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值74.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数h(x)=f(x)-(2t-3)x在区间[0,1]上的最小值,其中t∈R;
(3)在区间[-1,3]上,y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.






第二章测评
1.A　由x+1≥0,2-x≠0,解得x≥-1,且x≠2.
2.B　函数y=x53=3x5的定义域为R,是奇函数,排除AC;函数y在第一象限内单调递增,且增长越来越快,在第一象限图象下凸,故选B.
3.B　令12x-1=t,则x=2t+2,
所以f(t)=2(2t+2)-5=4t-1,
所以f(x)=4x-1.由f(a)=4a-1=6,解得a=74.
4.A　∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=2,即1-m+2=2,m=1.∴f(-2)=(-2)2+(-2)+2=4,
∴f(2)=-f(-2)=-4.故选A.
5.C　对于选项A和D,由于幂函数的图象过第一象限,且是减函数,故a<0,与一次函数的图象不符,故错误;
对于选项B,由于幂函数的图象过第一、三象限,且是增函数,故a>1,与一次函数的图象不相符,故错误;
对于选项C,由于幂函数图象过第一、二象限,且是偶函数,a>0,与一次函数的图象相符,故正确.
6.D　不超过230度的部分费用为230×0.5=115;超过230度但不超过400度的部分费用为(400-230)×0.6=102,115+102<380;
设超过400度的部分为x,则0.8x+115+102=380,
∴x=203.75,故用电603.75度.
7.B　根据运算a⊕b=b,a≤b,a,a>b,
得f(x)=x2⊕|x|=x2,x<-1,|x|,-1≤x≤1,x2,x>1.
由此可得图象如图所示.

8.C　由(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0得f(x)在区间(-∞,0]上为增函数.又f(x)为偶函数,所以f(x)在区间[0,+∞)上为减函数.
因为0≤n-1 所以f(n+1) 故f(n+1) 9.ABD　在A中,f(2x)=|2x|=2|x|,2f(x)=2|x|,满足f(2x)=2f(x);在B中,f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x),满足f(2x)=2f(x);在C中,f(2x)=2x+1,2f(x)=2(x+1)=2x+2,不满足f(2x)=2f(x);在D中,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x),满足f(2x)=2f(x).
10.BC　在同一平面直角坐标系中作出函数y=2-x2,y=x的图象如图所示,

根据题意,图中实线部分即为函数f(x)的图象.
当x=1时,f(x)取得最大值,且f(x)max=1,由图象知f(x)无最小值.
11.ABD　对于A,由x2-x4≥0,|x-1|-1≠0,
解得-1≤x≤1且x≠0,
可得函数f(x)=x2-x4|x-1|-1的定义域为[-1,0)∪(0,1],故A正确;
对于B,由A可得f(x)=x2-x4-x,即f(x)=|x|1-x2-x,
当0 当-1≤x<0时,f(x)=1-x2∈[0,1),可得函数f(x)的值域为(-1,1),故B正确;
对于C,由f(-1)=f(1)=0,则f(x)不是定义域上的增函数,故C错误;
对于D,由f(x)=|x|1-x2-x的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,又f(-x)=|x|1-x2x=-f(x),故f(x)为奇函数,故D正确.
12.AC　f(x)的图象关于y轴对称,即f(x)为偶函数,
又当x1,x2∈(-∞,0],且x1≠x2时,有f(x2)-f(x1)x2-x1<0恒成立,∴f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,
则f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
∵f(2ax) 即4a2x2<4x4+4x2+1,即4x4+(4-4a2)x2+1>0恒成立.令t=x2(t≥0),∴4t2+(4-4a2)t+1>0在区间[0,+∞)恒成立,令f(t)=4t2+(4-4a2)t+1,
∴当t=a2-12≤0,即-1≤a≤1时,f(t)在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(t)min≥f(0)=1>0符合题意;
当t=a2-12>0,即a<-1或a>1时,应满足(4-4a2)2-16<0,解得-2 此时a的取值范围为-2 综上可知,a的取值范围为{a|-2 13.-2　因为f(1)=3,所以f(a)=-3,
因此a≥0,3a=-3或a<0,a-1=-3,解得a=-2.
14.2 022　因为函数y=f(x)+x3为偶函数,
所以f(10)+103=f(-10)+(-10)3.
由f(10)=16,得f(-10)=2016.
因为函数g(x)=f(x)+6,所以g(-10)=2022.
15.1　作出函数y=x2+x-1与y=|x-2|的图象,
可得函数max{x2+x-1,|x-2|}的图象如图中实线部分.

由图可知,max{x2+x-1,|x-2|}的最小值为1.
16.(1)1 232　(2)5　(1)因为每箱销售利润为14×4+10=11元,日销售量为120-2×4=112箱,所以该天的销售利润为11×112=1232元;
(2)设捐赠后的利润为W元,则W=y(r-m)=(120-2t)14t+10-m,化简可得,W=-12t2+(2m+10)t+1200-120m.令W=f(t),因为二次函数的开口向下,对称轴为直线t=2m+10,为满足题意,所以2m+10≥20,f(1)>0,m∈N+,解得m≥5,即m的最小值为5.

17.解①当点N在BC上时,y=(2a-x)·a(a ②当点N在AB上时,y=3a22−12x2(0 综上,y=32a2-12x2(0 18.(1)证明由题意,函数f(x)=x2+ax的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
又由f(-x)=x2+a-x=-x2+ax=-f(x),
所以函数f(x)是定义域上的奇函数.
(2)证明因为f(1)=2,可得1+a1=2,解得a=1,
所以f(x)=x2+1x=x+1x,
任取x2>x1>1,则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2-1x2=(x1-x2)+x2-x1x1x2=(x1-x2)1-1x1x2,
因为x2>x1>1,所以x1x2>1,可得0<1x1x2<1,即1-1x1x2>0且x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.
(3)解由(2)知,f(x)在[2,5]上单调递增,
所以f(x)的最大值为f(5)=265,最小值为f(2)=52.
19.解(1)f(x)=ax+bx2+1是定义在区间[-1,1]上的奇函数,则f(0)=0+b0+1=0,解得b=0.
又f12=25,则12a122+1=25,解得a=1.
所以f(x)=xx2+1,
经检验,函数f(x)=xx2+1为奇函数,
故f(x)=xx2+1.
(2)因为不等式f(x-1) 所以-1≤x-1≤1,-1≤-x≤1,x-1<-x,解得0≤x<12,
所以不等式的解集为0,12.
20.解(1)当x<0时,-x>0,
又f(x)为奇函数,且a=-2,
∴f(x)=-f(-x)=x2-2x,
∴f(x)=x2-2x,x<0,-x2-2x,x≥0.
(2)①当a≤0时,对称轴x=a2≤0,
∴f(x)=-x2+ax在区间[0,+∞)上单调递减,
由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,
∴f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,
又在(-∞,0)上f(x)>0,在区间(0,+∞)上f(x)<0,
∴当a≤0时,f(x)为R上的减函数.
当a>0时,f(x)在区间0,a2上单调递增,在区间a2,+∞上单调递减,不合题意.
∴若函数f(x)为R上的减函数,则a的取值范围为(-∞,0].
②∵f(m-1)+f(m2+t)<0,∴f(m-1)<-f(m2+t).
又f(x)是奇函数,∴f(m-1) 又f(x)为R上的减函数,
∴m-1>-t-m2对于任意实数m恒成立,
∴t>-m2-m+1=-m+122+54恒成立,∴t∈54,+∞.
21.解(1)当x=50时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益f(50)=32×50-6+14×70+2=43.5(万元).
(2)由题知,甲城市投资x万元,乙城市投资(120-x)万元,
所以f(x)=32x-6+14(120-x)+2=-14x+32x+26,依题意得x≥40,120-x≥40,解得40≤x≤80.
故f(x)=-14x+32x+26(40≤x≤80).
令t=x,则t∈[210,45],
所以y=-14t2+32t+26=-14(t-62)2+44.
当t=62,即x=72万元时,y的最大值为44万元,
所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.
22.解(1)由题意知一元二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=32,最小值为74,可设f(x)=ax-322+74(a≠0).
因为f(x)的图象过点(0,4),所以a0-322+74=4,解得a=1,所以f(x)=x-322+74=x2-3x+4.
(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4=(x-t)2+4-t2,其图象的对称轴为直线x=t.
当t≤0时,函数h(x)在区间[0,1]上单调递增,所以h(x)的最小值为h(0)=4;
当0 当t≥1时,函数h(x)在区间[0,1]上单调递减,所以h(x)的最小值为h(1)=5-2t.
所以h(x)min=4,t≤0,4-t2,0 (3)由已知得f(x)>2x+m在区间[-1,3]上恒成立,
所以m 所以m<(x2-5x+4)min(x∈[-1,3]).
令g(x)=x2-5x+4,
因为g(x)=x2-5x+4在区间[-1,3]上的最小值为-94,
所以m<-94,故实数m的取值范围为-∞,-94.