高中数学5.2 函数的表示方法学案及答案

这是一份高中数学5.2 函数的表示方法学案及答案，共14页。学案主要包含了函数的三种表示方法，求函数的解析式，分段函数及其在实际问题中的应用等内容，欢迎下载使用。

导语
如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容，那么对于不同呈现出来的函数，是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧．
一、函数的三种表示方法
问题1 结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出函数的几种表示方法？
提示 解析法；列表法；图象法．
知识梳理
函数的表示方法
注意点：
函数三种表示法的优缺点
例1 某同学购买x(x∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票需要y元．试用函数的三种表示方法将y表示成x的函数．
解 (1)列表法：
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝20x，x∈{1,2,3,4,5}．
反思感悟 理解函数表示方法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．
解 用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示．
用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示．
二、求函数的解析式
例2 (1)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)；
(3)已知函数f(x)对于任意的x(x≠0)都有2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝x，求f(x)．
解 (1)方法一 (换元法)：令t＝eq \r(x)＋1，
则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二 (配凑法)：f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)
＝x＋2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)＋1)2－1.
因为eq \r(x)＋1≥1，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c
＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,2b＝－4，,2a＋2c＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,c＝－1，))
∴f(x)＝x2－2x－1.
(3)f(x)＋2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，令x＝eq \f(1,x)，
得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq \f(1,x)，
于是得关于f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))的方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx＋2f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，,f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋2fx＝\f(1,x).))
解得f(x)＝eq \f(2,3x)－eq \f(x,3)(x≠0)．
反思感悟 求函数解析式的四种常用方法
(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
跟踪训练2 (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)．
解 (1)方法一 (配凑法)：
∵f(x＋1)＝x2－3x＋2
＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
方法二 (换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
即f(x)＝x2－5x＋6.
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－8.))
∴f(x)＝2x＋eq \f(8,3)或f(x)＝－2x－8.
三、分段函数及其在实际问题中的应用
问题2 函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x<0，,x，x≥0))是两个函数吗？
提示 是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同．
知识梳理
分段函数的定义：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫作分段函数．
注意点：
(1)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(2)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
例3 某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解决下列问题：
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准；
(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？
解 (1)当0≤x≤100时，
设函数解析式为y＝kx(k≠0)．
将x＝100，y＝65代入，
得k＝0.65，所以y＝0.65x.
当x>100时，
设函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)．
将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100a＋b＝65，,130a＋b＝89，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0.8，,b＝－15.))
所以y＝0.8x－15.
综上可得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.65x，0≤x≤100，,0.8x－15，x>100.))
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分每度电0.8元．
(3)当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3(元)；
当y＝105时，
因为0.65×100＝65<105，故x>100，
所以105＝0.8x－15，解得x＝150.
即该用户月用电62度时，则应交费40.3元；若该用户月交费105元，则该用户该月用了150度电．
反思感悟 由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型．
(2)设函数：设出函数的解析式．
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式．
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围．
跟踪训练3 如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿逆时针方向由B点(起点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y.
(1)根据题意写出y与x之间的函数解析式；
(2)作出函数的图象，并根据图象求y的最大值．
解 (1)点P移动，△ABP的面积随之变化，可分点P落在边BC上，CD上，DA上三种情况进行讨论，得解析式
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x∈0，4]，,8，x∈4，8]，,－2x＋24，x∈8，12.))
(2)函数的图象如图所示．由图象可得ymax＝8.
1.知识清单：
(1)函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法．
(2)求函数的解析式．
(3)分段函数及其在实际问题中的应用．
2．方法归纳：数形结合法、换元法、待定系数法．
3．常见误区：换元法求解析式时忽视新元的范围致误．
1．已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝2x＋8 B．f(x)＝2x＋1
C．f(x)＝2x＋2 D．f(x)＝4x＋2
答案 A
解析 因为f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，所以f(x)＝2x＋8.
2．函数y＝|x－1|＋1可表示为( )
A．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x<1,x，x>1)) B．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≤1,2－x，x>1))
C．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x<1,2－x，x≥1)) D．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x<1,x，x≥1))
答案 D
解析 当x<1时，y＝1－x＋1＝2－x，当x≥1时，y＝x－1＋1＝x，即y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x<1,x，x≥1))，D正确．
3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
答案 A
解析 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
4．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.
答案 1
解析 由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.
1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听3.5元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4,5})的函数为( )
A．y＝3.5x
B．y＝3.5x(x∈R)
C．y＝3.5x(x∈{1,2,3，…})
D．y＝3.5x(x∈{1,2,3,4,5})
答案 D
解析 题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4,5}．
2．已知f(1－2x)＝eq \f(1,x2)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为( )
A．4 B.eq \f(1,4) C．16 D.eq \f(1,16)
答案 C
解析 根据题意令1－2x＝eq \f(1,2)，
解得x＝eq \f(1,4)，故eq \f(1,x2)＝16.
3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
答案 A
解析 方法一 设t＝x－1，则x＝t＋1.
∵f(x－1)＝x2＋4x－5，
∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
∴f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x.
方法二 ∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x，
∴f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x.
4．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值为( )
A．－1 B．5 C．1 D．8
答案 C
解析 由3x＋2＝2得x＝0，所以a＝2×0＋1＝1.
5．(多选)已知f(x)＝eq \f(x,x2＋1)，则( )
A．定义域为{x|x≠－1}
B．f(1)＝eq \f(1,2)
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝f(x)
D．值域为(0，＋∞)
答案 BC
解析 由解析式知定义域为R，
f(1)＝eq \f(1,1＋1)＝eq \f(1,2)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(\f(1,x),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2＋1)＝eq \f(x,1＋x2)＝f(x)，
当x＜0时，f(x)＜0，
故AD不正确，BC正确．
6．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤2，,x2－2，x＞2，))则( )
A．f(4)＝8
B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))))＝7
C．若f(a)＝8，则a＝eq \r(10)
D．不等式f(x)＞8的解集为{x|x＞2}
答案 BC
解析 f(4)＝42－2＝14，A不对；
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝2×eq \f(3,2)＝3，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))))＝f(3)＝7，B对；
当a≤2时，由2a＝8得a＝4，不符合题意，
当a＞2时，由a2－2＝8得a＝eq \r(10)或－eq \r(10)(舍去)，C对；
f(x)＞8等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤2，,2x＞8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞2，,x2－2＞8，))
∴x＞eq \r(10)，D不对．
7．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
答案 2x－eq \f(2,3)
解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，
依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＝6，,3a＋3b＝4，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－\f(2,3)，))
则f(x)＝2x－eq \f(2,3).
8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为______ kg.
答案 19
解析 设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，
代入点(30,330)与点(40,630)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(330＝30a＋b，,630＝40a＋b，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝30，,b＝－570.))
即y＝30x－570，
若要免费，则y≤0，所以x≤19.
故乘客可免费携带行李的最大重量为19 kg.
9．某商场新进了10台电脑，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
解 ①列表法如下：
②图象法：如图所示．
③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
10．(1)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，求f(x)；
(2)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)．
解 (1)∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))2＋2，
令t＝x－eq \f(1,x)，
∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.
(2)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，
以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，
联立可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx－2f－x＝1＋2x，,f－x－2fx＝1－2x，))
消去f(－x)可得f(x)＝eq \f(2,3)x－1.
11．某超市五一期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣；如果顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
若某顾客在此超市获得的折扣金额为60元，则此人购物实际所付金额为( )
A．940元 B．1 000元
C．1 140元 D．1 200元
答案 A
解析 设此人购物总金额为x元，可获得购物折扣金额为y元，
则y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，0900))，
当x＝900时，y＝0.1×(900－500)＝40，
∵60>40，∴x>900，
∴0.2(x－900)＋40＝60，
解得x＝1 000，故此人购物实际所付金额为1 000－60＝940(元)．
12．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( )
A．y＝20－2x
B．y＝20－2x(0C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5答案 D
解析 由题意得y＋2x＝20，所以y＝20－2x，
又2x>y，即2x>20－2x，即x>5，
由y>0即20－2x>0得x<10，
所以513．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝eq \f(1,4)(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为________．
答案 －1
解析 因为g(x)＝eq \f(1,4)(x2＋3)，f(x)＝2x＋a，
所以g(f(x))＝eq \f(1,4)[(2x＋a)2＋3]
＝eq \f(1,4)(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，
求得a＝－1.
14．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________________．
答案 F(x)＝3x＋eq \f(5,x)(x≠0)
解析 设f(x)＝kx(k≠0)，
g(x)＝eq \f(m,x)(m≠0，且x≠0)，
则F(x)＝kx＋eq \f(m,x).
由Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝16，F(1)＝8，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)k＋3m＝16，,k＋m＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝3，,m＝5，))
所以F(x)＝3x＋eq \f(5,x)(x≠0)．
15．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 A
解析 对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．
16．下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年六次数学测试的成绩及班级平均分表．
(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．
解 (1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜．
在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如图所示：
(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．x/张
1
2
3
4
5
y/元
20
40
60
80
100
x
1
2
3
4
y
－2
－3
－4
－5
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
可享受的折扣优惠金额
折扣率
不超过400元的部分
10%
超过400元的部分
20%
测试序号
成绩
姓名
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6