高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数第1课时学案设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数第1课时学案设计，共13页。学案主要包含了对数函数的概念，对数函数的图象与性质，对数函数图象与性质的应用等内容，欢迎下载使用。


第1课时　对数函数的概念与图象
学习目标　1.理解对数函数的概念，会求与对数函数有关的定义域问题.2.掌握对数函数的图象和性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用．
导语
通过前面的学习，我们知道了“对数源出于指数”，然而对数的发明先于指数，对数的出现是基于当时天文、航海等发展的需要，大家知道，我国在探索太空、大洋等方面取得了很大的成就，比如2020年11月24日，我国成功发射嫦娥五号探测器，12月17日凌晨嫦娥五号携带月球土壤样品安全着陆，大家知道吗？指挥本次月球探索的是一位24岁的小姑娘，同学们好好学习吧，说不定下一个指挥探索别的星球的人就是你哦．
一、对数函数的概念
问题1　指数函数y＝2x部分函数值如下表：
x
1
2
3
…
？
？
y
2
4
8
…
1 024
2 048

你能求出函数值为1 024和2 048时的x的值吗？
提示　根据指数与对数的相互转化，我们知道y＝2x可以化为x＝log2y，根据对数的运算，我们便可得到x＝10和11.
知识梳理
对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
注意点：
(1)对数函数的系数为1；
(2)真数只能是一个x；
(3)底数a>0，且a≠1.
例1　(1)(多选)下列函数中不是对数函数的有(　　)
A．y＝3log2x B．y＝log6x
C．y＝logx5 D．y＝log2x＋1
答案　ACD
解析　A中，log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
B中，符合对数函数的结构形式，是对数函数．
C中，自变量在底数位置上，不是对数函数．
D中，对数式log2x后又加上1，不是对数函数．
(2)函数y＝ln(1－x)的定义域为(　　)
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
答案　B
解析　因为y＝ln (1－x)，
所以
解得0≤x＜1.
(3)已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f ＝________.
答案　－5
解析　设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
∵f(x)的图象过点P(8,3)，
∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.
∴f(x)＝log2x，
f ＝log2＝log22－5＝－5.
反思感悟　(1)判断一个函数是对数函数的方法

(2)求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
①分母不能为0.
②根指数为偶数时，被开方数非负．
③对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

跟踪训练1　(1)若函数f(x)＝(a2＋a－5)·logax是对数函数，则a＝________.
答案　2
解析　由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.
又a>0且a≠1，所以a＝2.
(2)函数f(x)＝的定义域为________．
答案　(－∞，3)∪(3,4)
解析　由
得x<4且x≠3，
∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
(3)已知函数f(x)是对数函数，且f ＝－，则f(2)＝________.
答案　
解析　设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
因为f ＝－，所以a＝2，f(x)＝log2x，
所以f(2)＝.
二、对数函数的图象与性质
问题2　请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和的函数图象．
x
0.25
0.5
1
2
4
y＝log2x












提示　(1)－2　－1　0　1　2
2　1　0　－1　－2
(2)描点、连线：

问题3　为了更好的研究对数函数的性质，我们特别选取了底数a＝3,4，，，在同一坐标系下作出它们的函数图象，观察这些图象的位置和变化趋势．
提示　

知识梳理
对数函数的图象和性质

y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0 图象


定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞) 上是增函数
在(0，＋∞) 上是减函数
最值
无最大、最小值
奇偶性
非奇非偶函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax与的图象关于x轴对称

注意点：
(1)函数图象只出现在y轴右侧；
(2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)；
(3)当0 (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；
(5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．
例2　(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)

A．0 B．0 C．a>b>1
D．b>a>1
答案　B
解析　作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0 (2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝________，c＝________.
答案　－2　2
解析　∵函数的图象恒过定点(3,2)，
∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，
得2＝loga(3＋b)＋c.
又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，
∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.
反思感悟　对数函数图象的特点
(1)当01时，底数越大，图象越靠近x轴．
跟踪训练2　(1)函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是(　　)

A．1 B．c C．c D．d 答案　B
解析　令函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d.直线y＝1从左到右依次与上述四个函数的图象交于A(c,1)，B(d,1)，C(a,1)，D(b,1)，从而得出c1，b>1，d<1，c<1，∴c (2)函数的图象恒过定点(　　)
A．(1,1) B．(1,0)
C．(2,1) D．(2,0)
答案　C
解析　令x－1＝1，得x＝2，此时y＝1，故函数的图象一定过定点(2,1)．
三、对数函数图象与性质的应用
例3　(1)比较大小：log3π，log2，log3.
解　∵log2＝log23，又1 ∴ 又log3＝log32<，log3π>1，
∴log3π>log2>log3.
(2)求关于x的不等式loga(2x－5)>loga(x－1)的解集．
解　当a>1时，
原不等式等价于
解得x>4.
当0 解得 综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；当0 反思感悟　(1)比较对数值大小时常用的四种方法
①同底数的利用对数函数的单调性．
②同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
③底数和真数都不同，找中间量．
④若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(2)对数不等式的解法
对数不等式一般需化为同底，利用函数单调性解不等式，同时注意函数的定义域．
跟踪训练3　(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　)
A．b C．c 答案　D
解析　因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，
所以b (2)已知log0.7(2x) 解　∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.7(2x) 解得x>1.
∴x的取值范围是(1，＋∞)．

1．知识清单：
(1)对数函数的概念．
(2)对数函数的图象及性质．
(3)对数函数的图象及性质的简单应用．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合．
3．常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件，忽视函数定义域．

1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝log2x B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
答案　A
2．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的大致图象是(　　)


答案　B
解析　由指数函数与对数函数的单调性知：y＝2x在R上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，只有B满足．
3．若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案　A
解析　∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，
∴a>b>c.
4．不等式的解集为(　　)
A．(－∞，3) B.
C. D.
答案　D
解析　由题意可得
解得

1．(多选)给出下列函数，其中不是对数函数的为(　　)
A． B．y＝log3(x－1)
C．y＝log(x＋1)x D．y＝logπx
答案　ABC
解析　AB不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；C不是对数函数，因为对数的底数不是常数；D是对数函数．
2．与函数y＝10lg(x－1)相等的函数是(　　)
A．y＝2 B．y＝|x－1|
C．y＝x－1 D．y＝
答案　A
解析　y＝10lg(x－1)＝x－1(x>1)，
而y＝2＝x－1(x>1)．
3．ln x>0是x2>1的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　因为ln x>0，所以x>1，因为x2>1，所以x>1或x<－1，所以ln x>0是x2>1的充分不必要条件．
4．下列式子中成立的是(　　)
A．log0.441.013.5
C．3.50.3<3.40.3 D．log76 答案　D
解析　因为y＝log0.4x为减函数，故log0.44>log0.46，故A错；因为y＝1.01x为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B错；由幂函数的性质知，3.50.3>3.40.3，故C错，log76<1 5．函数f(x)＝lg x＋的定义域为(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1] D．(0,1)
答案　C
解析　要使函数有意义，则
得得0 即函数的定义域为(0,1]，故选C.
6.(多选)在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(　　)

A．k<0,0 B．k>0，b>1
C．f >0(x>0)，g(x)>0(x>0)
D．x>1时，f(x)－g(x)>0
答案　ABC
解析　由图象可知k>0,0 当x>1时，g(x)<0，所以C选项错误；
当x>1时，f(x)>0，g(x)<0，
所以f(x)－g(x)>0，所以D选项正确．
7．函数f(x)＝logax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝________，f(9)＝______.
答案　3　2
解析　依题意有解得a＝3.
∴f(x)＝log3x，
∴f(9)＝log39＝2.
8．函数y＝loga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点________．
答案　(5,2)
解析　令x－4＝1得x＝5，
此时y＝loga1＋2＝2，
所以函数y＝loga(x－4)＋2的图象恒过定点(5,2)．
9．已知函数f(x)＝loga(3－x)，其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)比较f(－1)与f(1)的大小．
解　(1)由3－x>0，得x<3，
所以函数f(x)的定义域为(－∞，3)．
(2)f(－1)＝loga(3－(－1))＝loga4，
f(1)＝loga(3－1)＝loga2，
当a>1时，函数y＝logax是增函数，
所以loga4>loga2，即f(－1)>f(1)，
当0 所以loga4 10．解下列关于x的不等式：

(2)logx>1.
解　(1)由题意可得解得0 所以原不等式的解集为{x|0 (2)当x>1时，logx>logxx，
所以x<，无解；
当0logxx，所以 综上，原不等式的解集为.

11．若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a等于(　　)
A．0 B．1
C．0或1 D．不存在
答案　B
解析　由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.
又底数a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1.
12．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)
A．x2 C．x1 答案　A
解析　分别作出三个函数的大致图象，如图所示．

由图可知，x2 13．(多选)下列四个函数的图象过相同定点的有(　　)
A．y＝ax＋2－a
B．y＝xa＋1
C．y＝ax－1＋1(a>0，a≠1)
D．y＝loga(2－x)＋1(a>0，a≠1)
答案　ABC
解析　y＝a(x－1)＋2必过(1,2); y＝xa＋1，由1a＝1知函数必过(1,2); y＝ax－1＋1(a>0，a≠1)，由a0＝1知函数必过(1,2); y＝loga(2－x)＋1(a>0，a≠1)，由loga1＝0知函数必过(1,1)；∴A，B，C选项中函数的图象过相同的定点．
14．已知a＝20.1，b＝log43.6，c＝log30.3，则(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞a＞b
答案　A
解析　a＝20.1>20＝1,0＝log41
15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(－∞，0)单调递增，又f(－2)＝0，则不等式f(log2x－1)>0的解集为(　　)
A.
B．(8，＋∞)
C.∪(8，＋∞)
D.∪(2，＋∞)
答案　C
解析　由已知条件画出f(x)的大致图象，如图，则当f(log2x－1)>0时，－22，解得x∈∪(8，＋∞)．

16．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
解　由x2－logmx<0，得x2
只要y＝logmx在内的图象在y＝x2图象的上方，于是0 ∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm≥＝，
∴≤，即≤m.
又0 即实数m的取值范围是.