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人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法教课课件ppt
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这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法教课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理，的对应方式，注意点，－11，反思感悟，－∞1，分段函数的求值问题，－∞－4，∪0＋∞，分段函数的图像及应用等内容，欢迎下载使用。
1.理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值.
2.能画出分段函数的图像，并会应用解决问题.
大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税等.这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴.
分段函数的定义域、值域
提示 是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同.
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有_____ ，则称其为分段函数.
(1)分段函数的重要特征是其在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系.(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数.
A.R B.[0,2]∪{3}C.[0，＋∞) D.[0,3]
当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1
由已知得，f(x)的定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又当x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1].
(2)若定义运算a⊙b＝ 则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是_________.
延伸探究1.本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2>－2不合题意，舍去.②当－2
①当x≤－2时，x＋1>3，解得x>2，又x≤－2，所以x∈∅.②当－23，解得x>1或x<－3，所以13，解得x>2，又x≥2，所以x>2，综上，若f(x)>3，则x的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞).
(1)求分段函数的函数值的方法①确定要求值的自变量属于哪一段区间.②代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值(或范围)的方法先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内.
(2)已知f(x)＝ 若f(x)>2，则x的取值范围是________________________.
当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0；当x<－2时，f(x)＝－x－2，由f(x)>2，得－x－2>2，解得x<－4，故x<－4.综上可得，x>0或x<－4.
命题角度1 分段函数的图像的画法
(2)分别作出下列分段函数的图像，并写出定义域及值域.
各函数对应图像如图所示：由图像知，①的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；②的定义域是R，值域是(－6,6].
分段函数图像的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像.(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数；
(2)在坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的值域.
函数f(x)的图像如图所示：
由图可知，函数f(x)的值域为[1,3).
命题角度2 分段函数的图像的应用
某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图像是一条折线(如图所示)，根据图像解决下列问题.
(1)求y关于x的函数关系式；
当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx(k≠0).将x＝100，y＝65代入，得k＝0.65，所以y＝0.65x.当x>100时，设函数解析式为y＝ax＋b(a≠0).将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，
(2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准；
由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.8元.
(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？
当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3(元)；当y＝105时，因为0.65×100＝65<105，故x>100，所以105＝0.8x－15，解得x＝150.即若该用户某月用电62度，则应交费40.3元；若该用户某月交费105元，则该用户该月用了150度电.
由分段函数的图像确定函数解析式的步骤(1)定类型：根据自变量在不同范围内图像的特点，先确定函数的类型.(2)设函数式：设出函数的解析式.(3)列方程(组)：根据图像中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.
如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿逆时针方向由B点(起点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y.(1)根据题意写出y与x之间的函数解析式；
点P移动，△ABP的面积随之变化，可分点P落在边BC上，CD上，DA上三种情况进行讨论，得解析式.
(2)作出函数的图像，并根据图像求y的最大值.
由图像可得ymax＝8.
1.知识清单： (1)分段函数的定义域和值域. (2)分段函数的求值问题. (3)分段函数的图像及应用.2.方法归纳：数形结合法.3.常见误区： (1)误认为分段函数是几个函数，求定义域和值域时不是求的并集. (2)分段函数的端点是否包含.
1.函数f(x)＝|x－1|的图像是
画出此分段函数的图像，故选B.方法二 由f(－1)＝2，知图像过点(－1,2)，排除A，C，D，故选B.
2.设函数f(x)＝ 若f(a)＝4，则实数a等于A.－4或－2 B.－4或2C.－2或4 D.－2或2
当a≤0时，f(a)＝－a＝4，解得a＝－4；当a>0时，f(a)＝a2＝4，解得a＝2或a＝－2(舍).综上，a＝－4或a＝2.
3.如图，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动.设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是
设直线l交△AOB于点F.
当2
C.f(x)＝－|x|＋1D.f(x)＝|x＋1|
5.设x为任意一个实数，{x}是不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－{x}，x∈(0,3]的值域是________.
所以f(x)的值域是[0,1).
3.已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(x)的图像是
当x＝－1时，y＝0，即图像过点(－1,0)，故D错；当x＝0时，y＝1，即图像过点(0,1)，故C错；当x＝1时，y＝2，即图像过点(1,2)，故B错.故选A.
由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1
6.已知函数f(x)＝ 若f(a)<－3，则a的取值范围是____________.
当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，又过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；当1
故式子中应含有x＋6与x－6.又x<6时，f(x)＝6.故|x－6|的前面应取“＋”.
9.如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家，15时回家.根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米.
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
10：30开始第一次休息，休息了半小时.
(3)第一次休息时，离家多远？
第一次休息时，离家17千米.
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
11：00至12：00他骑了13千米.
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14 千米/时.
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
从12：00～13：00停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形.
10.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；(2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的部分按5 km计算).如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像.
设里程为x km时，票价为y元.由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20].由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，
根据这个函数的解析式，可画出函数的图像，如图所示.
11.(多选)设x∈R，定义符号函数sgn x＝ 则下列各式不正确的是A.x＝－x|sgn x| B.x＝－xsgn|x|C.|x|＝|x|sgn x D.|x|＝xsgn x
12.已知f(x)＝ 则不等式xf(x)＋x≤2的解集是A.{x|x≤1} B.{x|x≤2}C.{x|0≤x≤1} D.{x|x<0}
因为当x≥0时，f(x)＝1，所以xf(x)＋x≤2⇔x≤1，所以0≤x≤1；因为当x<0时，f(x)＝0，所以xf(x)＋x≤2⇔x≤2，所以x<0.综上，x≤1.
13.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝ (A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是_____，_____.
由①②解得c＝60，A＝16.
14.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为___________.
当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
根据函数解析式作出函数图像，如图所示.由图像可以看出，函数的值域为(－∞，2].
15.给定函数f(x)＝2x－1，g(x)＝－2x＋3，x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小值，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则m(x)＝________________，m(x)的最大值为_____.
16.对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：
(1)若函数f(x)＝－2x＋3，x≥1；g(x)＝x－2，x∈R，写出函数h(x)的解析式；
1.理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值.
2.能画出分段函数的图像，并会应用解决问题.
大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税等.这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴.
分段函数的定义域、值域
提示 是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同.
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有_____ ，则称其为分段函数.
(1)分段函数的重要特征是其在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系.(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数.
A.R B.[0,2]∪{3}C.[0，＋∞) D.[0,3]
当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1
由已知得，f(x)的定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又当x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1].
(2)若定义运算a⊙b＝ 则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是_________.
延伸探究1.本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2>－2不合题意，舍去.②当－2
①当x≤－2时，x＋1>3，解得x>2，又x≤－2，所以x∈∅.②当－2
(1)求分段函数的函数值的方法①确定要求值的自变量属于哪一段区间.②代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值(或范围)的方法先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内.
(2)已知f(x)＝ 若f(x)>2，则x的取值范围是________________________.
当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0；当x<－2时，f(x)＝－x－2，由f(x)>2，得－x－2>2，解得x<－4，故x<－4.综上可得，x>0或x<－4.
命题角度1 分段函数的图像的画法
(2)分别作出下列分段函数的图像，并写出定义域及值域.
各函数对应图像如图所示：由图像知，①的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；②的定义域是R，值域是(－6,6].
分段函数图像的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像.(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数；
(2)在坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的值域.
函数f(x)的图像如图所示：
由图可知，函数f(x)的值域为[1,3).
命题角度2 分段函数的图像的应用
某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图像是一条折线(如图所示)，根据图像解决下列问题.
(1)求y关于x的函数关系式；
当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx(k≠0).将x＝100，y＝65代入，得k＝0.65，所以y＝0.65x.当x>100时，设函数解析式为y＝ax＋b(a≠0).将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，
(2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准；
由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.8元.
(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？
当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3(元)；当y＝105时，因为0.65×100＝65<105，故x>100，所以105＝0.8x－15，解得x＝150.即若该用户某月用电62度，则应交费40.3元；若该用户某月交费105元，则该用户该月用了150度电.
由分段函数的图像确定函数解析式的步骤(1)定类型：根据自变量在不同范围内图像的特点，先确定函数的类型.(2)设函数式：设出函数的解析式.(3)列方程(组)：根据图像中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.
如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿逆时针方向由B点(起点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y.(1)根据题意写出y与x之间的函数解析式；
点P移动，△ABP的面积随之变化，可分点P落在边BC上，CD上，DA上三种情况进行讨论，得解析式.
(2)作出函数的图像，并根据图像求y的最大值.
由图像可得ymax＝8.
1.知识清单： (1)分段函数的定义域和值域. (2)分段函数的求值问题. (3)分段函数的图像及应用.2.方法归纳：数形结合法.3.常见误区： (1)误认为分段函数是几个函数，求定义域和值域时不是求的并集. (2)分段函数的端点是否包含.
1.函数f(x)＝|x－1|的图像是
画出此分段函数的图像，故选B.方法二 由f(－1)＝2，知图像过点(－1,2)，排除A，C，D，故选B.
2.设函数f(x)＝ 若f(a)＝4，则实数a等于A.－4或－2 B.－4或2C.－2或4 D.－2或2
当a≤0时，f(a)＝－a＝4，解得a＝－4；当a>0时，f(a)＝a2＝4，解得a＝2或a＝－2(舍).综上，a＝－4或a＝2.
3.如图，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动.设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是
设直线l交△AOB于点F.
当2
C.f(x)＝－|x|＋1D.f(x)＝|x＋1|
5.设x为任意一个实数，{x}是不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－{x}，x∈(0,3]的值域是________.
所以f(x)的值域是[0,1).
3.已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(x)的图像是
当x＝－1时，y＝0，即图像过点(－1,0)，故D错；当x＝0时，y＝1，即图像过点(0,1)，故C错；当x＝1时，y＝2，即图像过点(1,2)，故B错.故选A.
由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1
6.已知函数f(x)＝ 若f(a)<－3，则a的取值范围是____________.
当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，又过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；当1
故式子中应含有x＋6与x－6.又x<6时，f(x)＝6.故|x－6|的前面应取“＋”.
9.如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家，15时回家.根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米.
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
10：30开始第一次休息，休息了半小时.
(3)第一次休息时，离家多远？
第一次休息时，离家17千米.
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
11：00至12：00他骑了13千米.
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14 千米/时.
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
从12：00～13：00停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形.
10.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；(2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的部分按5 km计算).如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像.
设里程为x km时，票价为y元.由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20].由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，
根据这个函数的解析式，可画出函数的图像，如图所示.
11.(多选)设x∈R，定义符号函数sgn x＝ 则下列各式不正确的是A.x＝－x|sgn x| B.x＝－xsgn|x|C.|x|＝|x|sgn x D.|x|＝xsgn x
12.已知f(x)＝ 则不等式xf(x)＋x≤2的解集是A.{x|x≤1} B.{x|x≤2}C.{x|0≤x≤1} D.{x|x<0}
因为当x≥0时，f(x)＝1，所以xf(x)＋x≤2⇔x≤1，所以0≤x≤1；因为当x<0时，f(x)＝0，所以xf(x)＋x≤2⇔x≤2，所以x<0.综上，x≤1.
13.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝ (A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是_____，_____.
由①②解得c＝60，A＝16.
14.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为___________.
当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
根据函数解析式作出函数图像，如图所示.由图像可以看出，函数的值域为(－∞，2].
15.给定函数f(x)＝2x－1，g(x)＝－2x＋3，x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小值，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则m(x)＝________________，m(x)的最大值为_____.
16.对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：
(1)若函数f(x)＝－2x＋3，x≥1；g(x)＝x－2，x∈R，写出函数h(x)的解析式；
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