数学6.1.4 数乘向量说课ppt课件

这是一份数学6.1.4 数乘向量说课ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，解作法如图所示，微练习，答案B，探究一，探究二，探究三，探究四，当堂检测等内容，欢迎下载使用。

在疾风骤雨、雷电交加的夜晚,为什么我们总是先看到闪电,后听到雷声?这是因为在同一方向上光速远远大于声速.经测量,光速大小约为声速的8.7×105倍.一重物由高空自由落下,由自由落体运动的速度公式vt=gt可知,它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v1=9.8 m/s和v2=19.6 m/s.显然v2=2v1,并且方向都是竖直向下.问题:在上述情景中的速度有什么关系?
知识点一、数乘向量1.数乘向量的定义一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量,记作λa,其中:(1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向如下:①当λ>0时,与a的方向相同;②当λ<0时,与a的方向相反.(2)当λ=0或a=0时,λa=0.实数λ与向量a的乘积简称为数乘向量.2.数乘向量的定义说明,如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.
3.数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.名师点析对数乘向量的理解(1)实数与向量可以求乘积,但不能进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有意义.(2)若λa=0,则λ=0或a=0.(3)对于非零向量a,当λ= 时;λa表示a方向上的单位向量.
微判断(1)对于任意的向量a,总有0·a=0.(　　)答案:×(2)当λ>0时,|λa|=λa.(　　)答案:×(3)若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.(　　)答案:×
微练习已知向量a与向量b(如图),求作向量-2.5a和向量2a-3b.
知识点二、向量的运算律1.λ(μa)=(λμ)a.2.λa+μa=(λ+μ)a.3.λ(a+b)=λa+λb.名师点析向量的运算律的理解要清楚数乘向量与实数乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.
微练习已知λ,μ∈R,下列关系正确的是(　　)A.若λ=0,则λa=0B.若a=0,则λa=0C.|λa|=|λ|aD.λ(μ+a)=λμ+λa解析:根据数乘向量的定义知,λa仍为一向量,其模|λa|=|λ||a|,∴A,C均不正确;∵向量a与实数μ相加没有意义,∴λ(μ+a)=λμ+λa是一个不存在的式子,∴D不正确.答案:B
知识点三、向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算.名师点析对向量的线性运算的理解(1)已知某些向量,而要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比于初中所学的“求代数的值”,即先化简向量式,代入,再化简、求值,这样能简化解题过程.(2)解向量的线性方程组的方法,同解代数方程组一样地进行消元,其消元方法通常为代入消元法、加减消元法.
A.2a-b　　　B.2b-aC.b-a D.a-b
数乘向量的概念例1(1)若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则x的取值范围为　　　　　. 
分析:利用数乘向量的定义解题.
反思感悟数乘向量与原来向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小.
变式训练1已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的 ;(3)-2a与2a是一对相反向量;(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
解:(1)真命题.∵2>0,∴2a与a同向,且|2a|=2|a|.(2)真命题.∵5>0,∴5a与a同向,且|5a|=5|a|.∵-2<0,∴-2a与a反向,且|-2a|=2|a|.∴-2a与5a反向,且|-2a|= |5a|.(3)真命题.(4)假命题.-(b-a)=-b+a=a-b.(5)假命题.∵0a=0,0与任一向量共线.
向量的线性运算例2化简下列各式:(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).
分析:根据向量的加法、减法及数乘运算化简即可.
解:(1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.(2)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b=-2(m+n)b.
反思感悟数乘向量运算的方法总结(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,求向量x,y.
用已知向量表示未知向量
分析:先用向量加减法的几何意义设计好总体思路,然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示.
反思感悟已知向量表示未知向量的策略用图形中的已知向量表示未知向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形的有关定理,将未知向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,其实质是向量线性运算的反复应用.
延伸探究本例(1)中,设AC与BD相交于点O,F是线段OD的中点,AF的延长线交DC于点G,试用a,b表示
三点共线问题例4如图所示,在▱ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN= BD.求证:M,N,C三点共线.
分析:利用向量共线条件解答.
反思感悟用向量共线的条件证明三点共线的方法证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
4.若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,m,n是未知向量,则m=　　　　　,n=　　　　　. 
解析:∵3m+2n=a,①m-3n=b,②3×②得3m-9n=3b,③①-③得11n=a-3b,