高中人教A版 (2019)2.2 基本不等式习题课件ppt

习题课　基本不等式

学习目标　1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．

一、巧用“1”的代换求最值问题

例1　若x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

解　∵＋＝1，x＞0，y＞0，

∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，

当且仅当＝即x＝4，y＝12时，等号成立．

即x＋y的最小值为16.

延伸探究　已知a>0，b>0，a＋2b＝1，求t＝＋的最小值．

解　因为a>0，b>0，a＋2b＝1，

所以t＝＋＝(a＋2b)

＝＋＝1＋＋＋2

≥3＋2

＝3＋2.

当且仅当即时等号成立，故t的最小值为3＋2.

反思感悟　常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．

跟踪训练1　已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，求x＋2y的最小值．

解　因为x>0，y>0，x＋8y＝xy，

所以＋＝1，

所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，

当且仅当即时等号成立．

所以x＋2y的最小值为18.

二、分离消元法求最值

例2　已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值．

解　由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝，因为x>0，y>0，所以0<x<8.

所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4，

当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立．

所以x＋2y的最小值为4.

延伸探究　已知x>0，y>0，满足xy＝x＋y＋3，求xy的最小值．

解　由题意可知y＝，

所以xy＝x·＝＝＝x－1＋＋5≥2＋5＝9，

当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．

所以xy的最小值为9.

反思感悟　含有多个变量的条件最值问题的解决方法

对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题．

跟踪训练2　已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________．

答案　5＋2

解析　由2a＋b＝ab－1，得a＝，

因为a>0，b>0，所以a＝>0，b＋1>0，所以b>2，

所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2，

当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立．

所以a＋2b的最小值为5＋2.

三、利用基本不等式证明不等式

例3　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.

求证：≥8.

证明　因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1，

所以－1＝＝≥，

同理－1≥，－1≥.

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，

得≥··＝8，

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

延伸探究　本例的条件不变，求证：＋＋≥9.

证明　＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

反思感悟　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项

(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

(2)注意事项：

①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；

②巧用“1”的代换证明不等式；

③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．

跟踪训练3　已知a>0，b>0，且a＋b＝＋，求证：a＋b≥2.

证明　由a>0，b>0，则a＋b＝＋＝，

由于a＋b>0，则ab＝1，即a＋b≥2＝2，

当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以a＋b≥2.

1．知识清单：

(1)巧用“1”的代换求最值问题．

(2)分离消元法求最值．

(3)利用基本不等式证明不等式．

2．方法归纳：配凑法．

3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误．

1．已知0<a<1,0<b<1，且a≠b，下列各式中最大的是(　　)

A．a2＋b2  B．2  C．2ab  D．a＋b

答案　D

解析　∵0<a<1,0<b<1，∴a2<a，b2<b，

∴a2＋b2<a＋b，又a2＋b2>2ab(a≠b)，

∴2ab<a2＋b2<a＋b.

又∵a＋b>2(a≠b)，∴a＋b最大．

2．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．a>>>b   B．b>>>a

C．b>>>a   D．b>a>>

答案　C

解析　∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>>.

又∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.

故b>>>a.

3．已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　)

A.  B.  C．2  D．3

答案　B

解析　由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4，

即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，

∴＋

＝·[(x＋2)＋(y＋1)]

＝≥(5＋4)＝，

当且仅当x＝，y＝时等号成立．

∴＋的最小值为.

4．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为_____．

答案　

解析　设直角三角形的两条直角边的长分别为a，b，则a＋b＋＝＋1.又a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，所以＋1≥2＋＝(2＋)·，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以直角三角形的面积S＝ab≤，即S的最大值为.

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)

A．s≥t  B．s>t  C．s≤t  D．s<t

答案　A

解析　∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s，当且仅当b＝1时，等号成立．

2．若a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　)

A．a2＋b2≥2|ab|   B．a2＋b2＝2|ab|

C．a2＋b2≤2|ab|   D．a2＋b2>2|ab|

答案　A

解析　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，

∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．

3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　)

A．a<v<   B．v＝

C.<v<   D．v＝

答案　A

解析　设甲、乙两地的距离为s，

则v＝＝.

由于a<b，∴＋<，∴v>a，

又＋>2，∴v<.

故a<v<.

4．当x>0时，y＝有(　　)

A．最小值1   B．最大值1

C．最小值2   D．最大值2

答案　B

解析　因为x>0，

所以y＝＝≤＝1，

当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．

即y＝有最大值1.

5．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　a2＋b2≥2ab成立的条件是任意非零实数，而＋≥2成立的条件是a，b同号，由集合的关系可知选B.

6．(多选)下列函数中最小值为2的是(　　)

A．y＝x＋

B．y＝＋

C．y＝＋

D．y＝x＋(x>－2)

答案　BD

解析　对于A，当x<0时，y＝x＋<0，A错误；

对于B，>0，y＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝0时等号成立，B正确；

对于C，y＝＋≥2，但＝时，等号才能成立，而＝无解．故2取不到，C错误；

对于D，x>－2，则x＋2>0，y＝x＋＝(x＋2)＋－2≥2－2＝2，

当且仅当x＋2＝，即x＝0时等号成立，D正确．

7．已知t>0，则函数y＝的最小值为_____．

答案　－2

解析　∵t＞0，∴y＝t＋－4≥2－4＝－2，

当且仅当t＝1时，等号成立．∴y的最小值为－2.

8．若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值是________．

答案　

解析　因为a，b都是正数，且a＋b＝1，

所以(a＋1)(b＋1)≤2＝，

当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝时，等号成立．所以(a＋1)(b＋1)的最大值为.

9．(1)若0<x<4，求y＝x(12－3x)的最大值；

(2)求y＝在x>－3时的最小值．

解　(1)∵0<x<4，∴12－3x>0，

∴y＝x(12－3x)＝×3x(12－3x)≤2＝12，

当且仅当3x＝12－3x，即x＝2时，等号成立．

∴函数y＝x(12－3x)的最大值为12.

(2)y＝＝＝x＋3＋，

∵x>－3，∴x＋3>0，

∴x＋3＋≥2，

当且仅当x＋3＝，即x＝－3时，等号成立．

∴函数y＝的最小值为2.

10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

解　(1)由x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，

得＋＝1，

则1＝＋≥2＝，得xy≥64，

当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．

所以xy的最小值为64.

(2)由(1)可得＋＝1，

则x＋y＝·(x＋y)

＝10＋＋≥10＋2＝18，

当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，

所以x＋y的最小值为18.

11．已知a>0，b>0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案　B

解析　∵a＞0，b＞0，ab＝1，∴m＋n＝b＋＋a＋＝2a＋2b≥2＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．即m＋n的最小值为4.

12．已知a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是(　　)

A．a＋b＋≥2

B．(a＋b)≥4

C.≥2

D.>

答案　D

解析　a＋b＋≥2＋≥2，

当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；

(a＋b)≥2·2＝4，

当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；

∵a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，

当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；

∵a＋b≥2，a>0，b>0，

∴≤1，≤，

当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．

13．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　)

A．－  B.  C.  D．－4

答案　A

解析　因为a，b为正实数，且a＋b＝1，

所以＋＝(a＋b)＝＋≥＋2＝，

当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立．

因此有－－≤－，

即－－的上确界为－.

14．设0<x<1，则当＋取得最小值时，x的值是________．

答案　

解析　∵x∈(0,1)，则1－x>0，由基本不等式可得＋＝[(1－x)＋x]·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝时，等号成立．

15．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)

A．10  B．9  C．8  D．7

答案　B

解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，

所以要使＋≥恒成立，

只需m≤(2a＋b)恒成立，

而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，

当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.

16．已知a，b都是正数，求证：≤≤≤.

证明　∵＋≥2，

∴≤，

即≤.

又∵2＝

≤＝，

∴≤ .

又由基本不等式得≥，

故≤≤≤ ，

当且仅当a＝b时，等号成立．