数学九年级上册3 正方形的性质与判定课时训练

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第1单元  正方形的性质与判定

一．选择题

1．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

2．如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形，其中正方形ABCD面积为8cm2，图中阴影部分面积为5cm2，正方形CEFG面积为（　　）

A．14cm2 B．16cm2 C．18cm2 D．20cm2

3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（　　）

A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 

C．当AC＝BD时，它是矩形 D．当AC垂直平分BD时，它是正方形

4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　）

A． B． C． D．

5．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）

A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 

C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等

6．如图，在正方形ABCD中，E点是对角线BD上的一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝56°，则∠CEF的度数为（　　）

A．30° B．79° C．22° D．81°

7．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边长向正方形外作等边△CDE，AC与BE相交于点F，则∠AFD的度数为（　　）

A．65° B．60° C．50° D．45°

8．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）

A．对角线相等 B．对角线互相平分 

C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等

9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且2BP＝AC，则∠COP的度数为（　　）

A．15° B．22.5° C．25° D．17.5°

10．下列说法正确的是（　　）

A．矩形对角线相互垂直平分 B．对角线相等的菱形是正方形 

C．两邻边相等的四边形是菱形 D．一条对角线分别平分对角的四边形是平行四边形

11．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，BE与CF交于点G．若BC＝8，DE＝AF＝2，则FG的长为（　　）

A． B． C． D．

12．正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：①EC＝FC；②∠AED＝75°；③AF＝CE；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

二．填空题

13．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 　   　．

14．如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是　   　cm．

三．解答题

15．如图，在正方形ABCD中，点P是BC延长线上一点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，过点D作DF⊥AP于点F．

（1）证明：△ABE≌△DAF；

（2）若AB＝10，∠P＝30°，求EF的长．

16．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，以AC为边长作正方形ACEF，求这个正方形的周长．

17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：四边形CFDE是正方形．

18．如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度．

19．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，CD＝3cm，∠B＝45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）

（1）求BC边上高AE的长度；

（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；

（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．

20．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．

（1）求证：BG＝DE；

（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．

21．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，点E，F分别是垂足．

（1）求证：AP＝PC；

（2）若∠BAP＝60°，PD＝，求PC的长．

参考答案

一．选择题

1．D

2．C

3．D

4．C

5．B

6．C

7．B

8．B

9．B

10．B

11．A

12．D

二．填空题

13．8

14．4．

三．解答题

15．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，

∵BE⊥AP，DF⊥AP，

∴∠AEB＝∠DFA＝90°，

∴∠ABE+∠BAE＝∠BAE+∠FAD＝90°，

∴∠ABE＝∠DFA，

∴△ABE≌△DAF（AAS）；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠APB＝30°，

∴AD∥BC，

∴∠DAP＝∠APB＝30°，

∵DF⊥AP，

∴DF＝AD＝＝5，

在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF＝＝＝5，

∵△ABE≌△DAF，

∴AE＝DF＝5，

∴EF＝5．

16．解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∵∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB＝4，

∴正方形ACEF的周长是16．

17．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，

∴四边形CFDE是矩形．

又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，

∴DE＝DF．

∴四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

18．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，

∵∠DCA＝∠BCA，

∴EQ＝EP，

∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，

∴∠QEF＝∠PED，

在△EQF和△EPD中，

，

∴△EQF≌△EPD（ASA），

∴EF＝ED，

∴矩形DEFG是正方形；

（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，

∵CE＝，

∴AE＝CE，

∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，

∴四边形DECG是正方形，

∴CG＝CE＝．

19．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝3cm．

在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝45°，

∴AE＝3（cm）；

（2）∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6），

∴AM＝CN＝t，

∵AM∥CN，

∴四边形AMCN为平行四边形，

∴当AN＝AM时，四边形AMCN为菱形．

∵BE＝AE＝3，EN＝6﹣t，

∴AN2＝32+（6﹣t）2，

∴32+（6﹣t）2＝t2，

解得t＝．

故当t为时，四边形AMCN为菱形；

（3）∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，

∴四边形MPNQ为矩形，

∴当QM＝QN时，四边形MPNQ为正方形．

∵AM＝CN＝t，BE＝3，

∴AQ＝EN＝BC﹣BE﹣CN＝9﹣3﹣t＝6﹣t，

∴QM＝AM﹣AQ＝|t﹣（6﹣t）|＝|2t﹣6|（注：分点Q在点M的左右两种情况），

∵QN＝AE＝3，

∴|2t﹣6|＝3，

解得t＝4.5或t＝1.5．

故当t为4.5或1.5秒时，四边形MPNQ为正方形．

20．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，

∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，

∴∠BCG＝∠DCE，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴BG＝DE；

（2）连接BE，

∵CG∥BD，

∴∠DCG＝∠BDC＝45°，

∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°．

∵∠GCE＝90°，

∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，

∴∠BCG＝∠BCE．

∵CG＝CE，BC＝BC，

∴△BCG≌△BCE（SAS），

∴BG＝BE．

∵由（1）可知BG＝DE，

∴BD＝BE＝DE，

∴△BDE为等边三角形，

∴∠BDE＝60°．

21．（1）证明：∵ABCD是正方形，∴∠C＝90°，

∵PE⊥CD，PF⊥BC，∴四边形PFCE是矩形，∴EF＝PC，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴AP＝CP；

（2）解：∵由（1）知△ABP≌△CBP，

∴∠BAP＝∠BCP＝60°，

∴∠PCE＝30°，

∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，

∴∠PDE＝45°，

∵PE⊥CD，

∴DE＝PE，

∵PD＝，

∴PE＝1，

∴PC＝2PE＝2．