北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.6 平面直角坐标系中的距离公式课文内容ppt课件

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1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养.
2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用.
某地在铁路的附近，另一地有一大型存放抗疫物资的仓库，现要修建一条公路与之连接起来，以便快速把抗疫物资运送到中高风险地区，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
点到直线距离公式的推导
问题　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)，求点P到直线l的距离.
提示　设过点P且垂直于直线l的直线为l′，垂足为Q(图略).易求直线l′的方程，并与l的方程联立方程组即得交点Q，故而求出|PQ|.
距离公式：d＝ .(其中A，B不全为0)
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；(2)分子含有绝对值；(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
点到直线距离公式的简单应用
　　(1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为______.
(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值等于__________.
∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m，
点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可.(2)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可.
点到直线的距离公式的综合应用
　　已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，
所以直线l的方程为3x－4y－10＝0.故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
延伸探究　求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
设原点为O，连接OP(图略)，易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线.由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，
所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点距离最大的直线，
应用数形结合思想求最值(1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观地观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.
　　　已知直线l过点M(－1,2)，且点A(2，3)，B(－4,5)到直线l的距离相等，求直线l的方程.
方法一　当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，此时点A(2,3)与点B(－4,5)到直线l的距离相等，故x＝－1满足题意；当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，
即x＋3y－5＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.方法二　由题意得l∥AB或l过线段AB的中点.当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，
即x＋3y－5＝0.当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
1.知识清单： (1)点到直线的距离公式的推导过程.
(3)点到直线的距离公式的应用.2.方法归纳：公式法、数形结合法.3.常见误区：设直线方程时忽略斜率是否存在.
1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为
2.(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于A.0 　　　B. 　　　C.3 　　　D.2
3.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是
点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，
4.已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为__________________________.
x＋2＝0或5x＋12y－26＝0
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2；当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.
1.点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是
方法一　点P(1，－1)到直线l的距离
2.点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为
直线y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0，
4.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是
|OP|最小即OP⊥l，
5.(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝　　　　　　.设点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l可能重合C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直D.若d1d2<0，则直线P1P2与直线l相交
设点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
若d1－d2＝0，则d1＝d2，
所以Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C，若d1＝d2＝0，即Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C＝0，则点P1，P2都在直线l上，
此时直线P1P2与直线l重合，故选项A，C错误，选项B正确；当d1d2<0时，P1，P2在直线l的两侧，则直线P1P2与直线l相交，故选项D正确.
6.(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为A.4x＋3y－3＝0 B.4x＋3y＋17＝0C.4x－3y－3＝0 D.4x－3y＋17＝0
设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.
即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17.故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
7.倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为__________________________________.
因为直线的倾斜角为60°，
由直线与原点的距离为5，
8.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为_____.
设所求直线的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，
即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，所以和原点相距为1的直线的条数为2.
9.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1,3)，B(－3，0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高，
即△ABC的面积为4.
10.已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3,1)到该直线的距离为　 ，求该直线的方程.
当直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
整理得7k2－6k－1＝0，
所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0.当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，
设直线的方程为x＋y＝a，
解得a＝6或a＝2，所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.综上所述，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
11.(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为　 ，则点P的坐标为A.(1,2) B.(3，－4)C.(2，－1) D.(4，－3)
设点P的坐标为(a,5－3a)，
解得a＝1或2，所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1).
12.当点P(2,3)到直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为A.3，－3　　 B.5,2 　　C.5,1 　　D.7,1
直线l恒过点A(－3,3)，根据已知条件可知，当直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.
13.直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是
由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M(图略)，则|MP|最小，
故所求点的坐标为(5，－3).
14.已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________________.
(－12,0)或(8,0)
解得a＝－12或8，所以点P的坐标为(－12,0)或(8,0).
设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，
16.已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
当a＝0时，直线m：－x＋3y＋6＝0，
即m与n的交点为(－21，－9).当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
将(－21，－9)代入得b＝－12，所以直线l的方程为x－y＋12＝0，故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
(2)若坐标原点O到直线m的距离为　 ，判断m与n的位置关系.