新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】第一章 章末复习课

一、两直线的平行与垂直

1．判断两直线平行、垂直的方法

(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2.

(2)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2.

(讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)

2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养．

例1　(1)已知A，B，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________.

答案　3

解析　kAB＝＝－，

当2－2a＝－a，即a＝2时，

kAB＝－，直线CD的斜率不存在．

∴AB和CD不平行；

当a≠2时，kCD＝＝.

由kAB＝kCD，得－＝，

即a2－2a－3＝0.

∴a＝3或a＝－1.

当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，

∴AB与CD平行．

当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝，

∴AB与CD重合．

∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行．

(2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________．

答案　垂直

解析　将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，

得a＝－，则＝－×2＝－1，∴l1⊥l2.

反思感悟　一般式方程下两直线的平行与垂直

已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

跟踪训练1　(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．

答案　－3

(2)已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m＝________.

答案　－1

解析　因为直线x＋my＋6＝0与(m－2)x＋3y＋2m＝0平行，

所以解得m＝－1.

二、两直线的交点与距离问题

1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题．

2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．

例2　(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　)

A．－1   B．5

C．－1或5   D．－3或3

答案　C

解析　∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，

∴＝，即|a－2|＝3，

解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5.

(2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

解　设l1与l的交点为A(a,8－2a)，

则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，

代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，

解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，

所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

反思感悟　

跟踪训练2　(1)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为(　　)

A．2  B.  C．2  D.

答案　D

解析　由a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，可得a＋b＝－1，ab＝－2，

∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3，

故两条直线之间的距离d＝＝＝.

(2)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　C

解析　方法一　由得

即直线l过点(1,2)．设点Q(1,2)，

因为|PQ|＝＝＞2，

所以满足条件的直线l有2条．

方法二　依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，

即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.

由题意得＝2，

化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或λ＝，

代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，故满足条件的直线l有2条．

三、直线与圆的位置关系

1．直线与圆位置关系的判断方法

(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离．

(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离．

2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养．

例3　已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.

(1)当m∈R时，证明直线l与圆C总相交；

(2)当m取何值时，l被C截得的弦长最短？并求此弦长．

(1)证明　直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，

由点斜式可知，直线恒过点P(4，－3)．

由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，

所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．

(2)解　圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25.

如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．

此时PC⊥l，

又kPC＝＝3，

所以直线l的斜率为－，

则2m＝－，所以m＝－.

在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5.

所以|AB|＝2＝2.

故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，

最短弦长为2.

反思感悟　直线与圆问题的类型

(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．

(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解．

跟踪训练3　已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2,2)和原点O.

(1)求圆C的方程；

(2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1,0)，若l1，l2被圆C所截得的弦长相等，求此时直线l1的方程．

解　(1)由题意知，直线x＋y＋2＝0过圆C的圆心，设圆心C(a，－a－2)．

由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得a＝－2.

所以圆心C(－2,0)，半径r＝2，

所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4.

(2)由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，

设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，

所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，

l2：y＝－(x＋1)，即x＋ky＋1＝0.

由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等，

所以＝，解得k＝±1，

所以直线l1的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.

四、圆与圆的位置关系

1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心距与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系．

2．圆与圆的位置关系的转化，体现了直观想象、逻辑推理的数学核心素养．

例4　已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.

(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；

(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．

解　(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.

圆心与半径长分别为C1(－2,2)，r1＝；

C2(4，－2)，r2＝.

因为|C1C2|＝＝2

＝r1＋r2，

所以圆C1与圆C2相切．

由

两式相减得12x－8y－12＝0，

即3x－2y－3＝0，此方程即为过切点的两圆公切线的方程．

(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为

x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.

点(2,3)在此圆上，将此点坐标代入方程解得λ＝.

所以所求圆的方程为

x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，

即x2＋y2＋8x－y－9＝0.

反思感悟　两圆的公共弦问题

(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.

(2)公共弦长的求法

①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

跟踪训练4　(1)已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为________________．

答案　x＋y－3＝0

解析　AB的垂直平分线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2.又C1(3,0)，C2(0,3)，所以C1C2所在直线的方程为x＋y－3＝0.

(2)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.

①求证：两圆相交；

②求两圆公共弦所在直线的方程．

①证明　圆C1的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆C2的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，

∴C1(2，－1)，C2(0,1)，两圆的半径均为，

∵|C1C2|＝＝2<2，

∴两圆相交．

②解　将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，x2＋y2－4x＋2y－(x2＋y2－2y－4)＝0，即x－y－1＝0.