数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课后复习题

《13．4课题学习 最短路径问题》课时练

一、选择题（共15小题）

1．如图，在直角坐标系中有线段AB，AB＝50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（　　）

A．50    B．50    C．50－50    D．50＋50

2．如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（　　）

A．（－2，0）   B．（4，0）   C．（2，0）   D．（0，0）

3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）．

A．15°  B．22．5°  C．30°  D．45°

4．如图，∠AOB＝30°，内有一点P且OP＝，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为（　　）．

 A．    B． 6     C．     D．

5．已知两点M（3，5），N（1，－1），点P是x轴上一动点，若使PM＋PN最短，则点P的坐标应为（　　）．

A． （，－4）  B． （，0）  C． （，0）  D． （，0）

6．已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α＝（　　）．

A． 30°    B． 45°    C． 60°    D． 90°

7．直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　）．

A．      B．  

C．       D．

8．已知两点A（3，2）和B（1，－2），点P在y轴上且使AP＋BP最短，则点P的坐标是（　　）．

A． （0，）  B． （0，）  C． （0，－1）  D． （0，）

9．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m， m）（m为非负数），则CA＋CB的最小值是（    ）．

 A． 6    B．     C．     D． 5

10．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（    ）．

A． 3    B． 4    C． 5    D． 6

11．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，则BM＋MN的最小值是（     ）．

 A．     B．     C．     D．

12．加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于（    ）米．

 A． 8    B． 9    C． 6    D． 7

13．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF＋EF的最小值为（    ）．

 A．     B． 10    C． 12    D． 13

14．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE最小，则这个最小值是（    ）．

  A．     B． 4    C．     D． 5

15．已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（     ）米．

A． 1100    B． 1200    C． 1300    D． 1400

二、填空题（共5小题）

1．如图，已知AB⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为A、D，AD＝6，AB＝5，CD＝3，P是线段AD上的一个动点，设AP＝x，DP＝y，，则a的最小值是______．

2．已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为_____．

3．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是_____．

4．已知：如图所示，M（3，2），N（1，－1）．点P在y轴上使PM＋PN最短，则P点坐标为_________．

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF＝____；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是____．

三、解答题（共6小题）

1．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．

（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；

（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．

2．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

3．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短． （写出作法，保留作图痕迹）

4．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）

5．已知：如图所示，

（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．

（2）在x轴上画出点P，使PA＋PC最小．

6．作图题：（写出作法，保留作图痕迹）

M、N为△ABC为AB、AC上的两个定点，请你在BC边上找一点P，使PMN周长最小？

参考答案

一、选择题（共15小题）

1．D

2．C

3．C

4．D 

5．C

6．A

7．D

8．C

9．C

10．B

11．C

12．D

13．A

14．C

15．C

二、填空题（共5小题）

1．10

2．100°

3．

4．（0，－）

5．2；2＋2

三、解答题（共6小题）

1．（1）如图所示．

画法：

①作点M关于射线OP的对称点M'，

②连接M'N交OP于点A．

③作点N关于射线OQ的对称点N'，

④连接N'M交OQ于点B．

（2）答：AM＋AN与BM＋BN的大小关系是：AM＋AN＝BM＋BN．

2．如图

3．①作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，

②由对称的性质可知PN＝PN′，故PN＋PM＝MN′，

③由两点之间线段最短可知，△PMN的最短周长即为MN′＋MN．

4．沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示：

证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，

∵A、E关于ON对称，

∴AC＝EC，

同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，

∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF，

AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR，

∵ET＋TR＋FR＞EF，

∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR，

即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线．

5．（1）

分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：

A′（－1，2），B′（－3，1），C′（－4，3）

（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，－3），连接C″A交x轴于点P，

（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，－2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．

6．作法：（1）作M关于BC的对称点M’

（2）连接M’N交BC于P点

（3）连线MP，则△PMN周长最小   P为所求作的点．