高中数学必修二 第八章 立体几何初步 章末总结 课件共19张)

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人教2019版必修第一册第八章 立体几何初步章末总结知识系统整合专题突破 融会贯通解析 (1)由棱锥的几何特点知几何体是五棱锥.(2)两底边中点的连线与两底垂直,因此旋转得到的几何体是圆台.(3)绕较长的底边所在直线旋转一周形成的几何体是一圆柱与一圆锥组成的组合体.例2 底面为正方形,顶点在底面的投影为底面中心的棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则这个球的表面积为　　　　. 解析 正四棱锥P-ABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为O,OP=OA=R, PO1=4,OO1=4-R,或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).在Rt△AO1O中,R2=8+(R-4)2得R=3,所以球的表面积S=36π.答案 36π规律方法 空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间位置关系的转化主要有:(1)平行关系的转化.(2)垂直关系的转化.线线垂直 线面垂直 面面垂直(3)平行与垂直的转化.例3 在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90°,AB=AA1,点M,N分别为A1B 和B1C1的中点.(1)证明:A1M⊥平面MAC;(2)证明:MN∥平面A1ACC1.证明 (1)因为A1A⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以AC⊥A1A,又因为∠BAC=90°,所以AC⊥AB,因为AA1⊂平面AA1B1B,AB⊂平面AA1B1B,AA1∩AB=A,所以AC⊥平面AA1B1B,又A1M⊂平面AA1B1B,所以A1M⊥AC.又因为四边形AA1B1B为正方形,M为A1B的中点,所以A1M⊥MA,因为AC∩MA=A,AC⊂平面MAC,MA⊂平面MAC,所以A1M⊥平面MAC.(2)连接AB1,AC1,由题意知,点M,N分别为AB1和B1C1的中点,所以MN∥AC1.又MN⊄平面A1ACC1,AC1⊂平面A1ACC1,所以MN∥平面A1ACC1.例4 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD= PC=4,AB=6,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值.解析 (1)证明:因为PD=PC,点E为DC中点,所以PE⊥DC.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,所以PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD,所以PE⊥FG.(1)求空间几何体的体积的关键是确定几何体的高,若几何体的高容易求出,可直接代入体积公式计算,否则可用下列方法进行转化:①等体积转化法:对于三棱锥因为任何一个面都可作为底面,所以在求三棱锥的体积时,可将其转化为底面积和高都易求的形式求解.②补体法:将几何体补成易求体积的几何体,再根据它们的体积关系求解.③分割法:将几何体分割为易求体积的几部分,分别求解再求和.(2)有关平面图形翻折成空间图形的问题,应注意翻折前后各元素(直线、线段、角)的相对位置(平行、垂直)和数量的变化,搞清楚哪些发生了变化、哪些不变.例5 如图甲,☉O的直径AB=2,圆上两点C,D在直径AB的两侧,使∠CAB =45°,∠DAB=60°.沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC的中点,E为AO的中点.P为AC上的动点,根据图乙解答下列各题:(1)求三棱锥D-ABC的体积;(2)求证:不论点P在何位置,都有DE⊥BP;(3)在BD上是否存在一点G,使得FG∥平面ACD?若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明理由.(2)证明:因为P∈AC,所以P∈平面ABC,所以PB⊂平面ABC.又由(1)知,DE⊥平面ABC,所以不论点P在何位置,都有DE⊥BP.