4.1指数与指数函数 人教B版（2019）高中数学必修第二册同步练习 （含答案解析）
展开4.1指数与指数函数人教 B版（2019）高中数学必修第二册同步练习
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 已知函数若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
- 设函数，求得的值为( )
A. B. C. D.
- 设函数则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
- 设的大小关系是( )
A. B. C. D.
- 设，，为正数，且，则( )
A. B. C. D.
- 已知函数，下面关于说法正确的个数是( )
的图象关于原点对称 的图象关于轴对称
的值域为 在定义域上单调递减
A. B. C. D.
- 不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
- 若函数且的图像经过第二、三、四象限，则一定有 ( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的( )
A. B. C. D.
- 有如下命题，其中真命题的选项为( )
A. 若幂函数的图象过点，则
B. 函数，且的图象恒过定点
C. 函数有两个零点
D. 若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是
- 若，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且，则
D. 若，，则
- 下列说法中，正确的是( )
A. 任取，都有
B. 是增函数．
C. 的最小值为
D. 在同一坐标系中与的图像关于轴对称．
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
- 已知、、是函数的三个零点，则的取值范围是 ．
- 计算 ．
- 已知函数，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
已知的图象关于坐标原点对称．
求的值
若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
- 本小题分
若函数在区间上的最大值为，最小值为．
求，的值；
若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．
- 本小题分
设，求函数的最大值和最小值． - 本小题分
已知函数是奇函数，其中是常数．
求函数的定义域和的值；
若，求实数的取值范围． - 本小题分
设函数．
Ⅰ若，求实数的值；
Ⅱ判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
Ⅲ若对于恒成立，求实数的最小值． - 本小题分
已知函数．
若的最小值为，求实数的值；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用函数的单调性及奇偶性求解不等式，属于基础题．
利用函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】
解：令，
，且定义域为，
则为奇函数且在上单调递减，
由得，
所以，
所以，
解得．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得是解题的关键，考查化简运算能力，属于基础题．
由题意求得，设，则，两式相加即可得出结果．
【解答】
解：函数，可得，
则，
设，
则，
两式相加可得，
可得．
故本题选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数，函数图像的应用，属于中档题．
作出函数的图像，要使，则或，解出即可．
【解答】
解：作出函数的图像如图所示，
要使，
则或
即或．
因此．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查运用指数函数和幂函数的单调性比较大小．
分别运用指数函数及幂函数在实数集上单调性，即可得出答案．
【解答】
解：，由幂函数在实数集上单调递增的性质得，．
又由指数函数在实数集上单调递减的性质得，．
．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：设，
所以，，
因为
，
所以
因为
，
所以
因为
，
所以．
所以，故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的奇偶性和单调性，函数的值域，属于中档题．
易得函数为奇函数，可判断，，通过判断的单调性，得出的单调性，可判断，结合可得，可判断，从而得出结果．
【解答】
解：因为的定义域为，
，即函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，即正确，不正确；
因为，
由于单调递减，所以单调递增，故错误；
因为，所以，，
即函数的值域为，故正确，
即正确的个数为个，
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的单调性以及含绝对值的不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
由不等式，得，根据指数函数的单调性得到，解绝对值不等式，可得所求解集．
【解答】
解：
不等式，即为，
因为函数在上为增函数，
即有，
即，
解得，
则原不等式的解集为．
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数型函数的图象与性质，本题由函数的图象可以看出其变化趋势，由图象特征推测出参数的范围．
观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．
【解答】
解：根据题意，可画出函数的图象的示意图如图所示，
则，
观察图形，知图象与轴的交点在轴的负半轴上纵截距小于零，
即，解得，
，且．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的定义域及其求法、元素与集合的关系、集合的包含关系等基础知识，考查学生转化与化归的思想、运算求解能力，属于中档题．
采用换元法，令，根据题意先求出的取值集合，再求的取值集合，从而可判断每个选项的正误．
【解答】
解：令，则，
函数的值域为，即且，
和所对应的必须在定义域内
，故B正确；
当函数的最小值为时，仅有满足，所以，故C正确；
当函数的最大值为时，仅有满足，所以，故D正确；
当时，函数值，故A错误；
故答案选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义判断选项A，由指数函数的性质判断选项B，由函数的单调性以及零点存在性定理的应用判断选项C，由二次函数的图象和性质判断选项D．
本题考查命题的真假判断及其应用，函数的性质等，属于中档题．
【解答】
解：设幂函数，将代入，解得，
则，不成立，A错误；
函数，且中，令，则函数图象恒过定点，B正确；
函数在上单调递增，且，故只有一个零点，C错误；
函数的对称轴为，此时取得函数最小值，又，故的取值范围是，D正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的单调性、作差法、不等式的性质，属于一般题．
A.令，根据在上单调递增，即可判断出正误；
B.由，利用指数函数的单调性即可判断出正误；
C.由，且，取，，即可判断出正误；
D.由，，作差，即可判断出正误．
【解答】
解：令，则在上单调递增，由，可得，，即，因此A正确；
B.若，则，因此B正确；
C.若，且，取，，则，因此不正确；
D.若，，则，，因此D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的最值及几何意义、指数函数的单调性及奇偶性，函数的图象的对称性等，属于基础题．
本题对于，取可以排除，对于，对函数进行化简可以判断，对于、，利用函数的性质进行判断，综合可得答案．
【解答】
解：对于，取时，有，排除；
对于，是减函数，故B错；
对于，由于，的最小值为，故正确；
对于，与的图像关于轴对称，故正确；
故选CD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数的值域问题，属于中档题．
根据分段函数的表达式，得到不等式组，求解即可．
【解答】
解：当时，，
当时，，
函数的值域为，
当时，的值域必须包含，
即满足：，解得，
故答案为：
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
首先判断出，当时，，从而得到，进而根据即可求出答案．
【解答】
解：显然．
设，即，
则
，
所以，，且，
所以，因为，所以，所以，
所以的取值范围是．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查指数幂运算，解题关键是掌握指数幂运算的基础知识，考查计算能力，属于基础题．
根据指数幂运算，即可求得答案．
【解答】
解：
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的恒成立和存在性问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
由题意可得，由一次函数和函数绝对值函数、指数函数的单调性求得最值，解不等式可得所求范围．
【解答】
解：若对任意，存在，使，
可得，
由在递增，可得的最小值为，
在上递减，在递增，可得的最小值为，
所以，
解得．
即的取值范围是．
故答案为：．
17.【答案】解：由题意知是上的奇函数，
所以，得，
经检验，当时函数为奇函数，
故．
设，
由题设知存在使成立，
即存在使不等式成立，
即存在使成立，
令，则存在使成立，只需，
令，图象的对称轴为，则在上单调递增，
所以当时，，
所以，
所以实数的取值范围为
【解析】本题主要考查函数的奇偶性，存在性问题，二次函数的最值，属于中档题．
利用奇函数的性质：，即可得．
由条件得，存在使成立，利用换元法，转化成二次函数，利用二次函数的性质求最值，得存在型不等式成立时的范围．
18.【答案】解：设，当时，；
函数，在区间上有最大值和最小值
即 在时有最大值和最小值；
开口向上，对称轴方程为，则在上单调递增；
，；
所以，．
令，
于是方程可变为：，即
由于函数在单调递减，在单调递增，
且；；；
要使方程有两个不同的解，则；
故实数的取值范围．
【解析】本题考查二次型函数的值域问题，考查换元思想，分离参数的思想，属于中档题．
设， 在时有最大值和最小值，求二次函数在闭区间上的最值问题；
分离参数得 在上有解，即求函数 在上的值域．
19.【答案】解：设，，
则可化为：，
当时，在是增函数，
故当时，
当时；
当时，在是减函数，在上是增函数，
故当时，，
当时，；
当时，在是减函数，在上是增函数，
故当时，
当时；
当时，在是减函数，
当时，
当时．
综上所述：
当时，；
当时，，；
当时，，；
当时，．
【解析】本题主要考查复合型指数函数的最值问题。
设，将问题转换为求最值问题，其中，研究二次函数性质，分类讨论，即可得到答案．
20.【答案】解：由得：，
即函数的定义域为，
函数是奇函数，
，
即，
解得：，
若，得：，
即，
即，
解得：
【解析】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的定义域，指数不等式的解法．
由得函数的定义域，根据奇函数满足，可得的值；
若，则，即，解得答案．
21.【答案】解：Ⅰ因为，所以，
所以且，
所以，所以；
Ⅱ为奇函数，证明如下：
因为，所以定义域为关于原点对称，
又因为，所以为奇函数；
Ⅲ因为，
又因为在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以，
又因为对于恒成立，
所以，即．
所以的最小值为．
【解析】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算的能力，属于中档题．
Ⅰ将代入解析式，解指数方程即可求出得值；
Ⅱ先判断奇偶性，然后分析定义域并计算、的数量关系，结合定义可得结论；
Ⅲ先求出在上的最大值，再根据要使对于恒成立，即，求出的最小值即可．
22.【答案】解：，
令，，
所以，对称轴，
若，可得在递增，无最小值；
当时，时，取得最小值，
所以，解得舍去，
所以；
由知若对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
易知在是增函数，
所以，
所以，即．
【解析】本题考查函数的最值求法和函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算求解能力，属于中档题．
令，，将化为，讨论对称轴和区间的关系，结合单调性求得最小值，解方程可得所求值；
由题意可得对任意的恒成立，由参数分离和函数的单调性，即可得到所求范围．
