高中数学1.3 等比数列课文配套ppt课件

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等比数列： 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母 q表示(q ≠ 0)．

等比数列的通项公式： 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q ，那么该等比数列的通项公式为：an=a1qn－1 ．

等比数列通项公式的性质： 若数列{an}为等比数列，那么 an= am qn－m，(n，m∈N+) 若数列{an}为等比数列，且n＋m=k＋l，(n，m，k，l∈N+)，则 an am = ak al． 特别地，若n＋m=2k，那么an am = ak2．
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类比等差数列，下面我们从函数的角度来研究等比数列{an }．先看几个例子：
由指数函数 y=qx 的图象可以得出 y= cqx 的图象，而 y= cqx 的图象上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an )组成上述等比数列的图象． 如图 1.3-2 (1)～(4)所示．
我们由指数函数的图象得到等比数列的图象，接下来就可以借助函数 y= cqx 的性质来分析等比数列的单调性． 显然，当q>1时，指数函数y=qx 递增；当00，q>0，那么 c>0．当q>1时，函数y= cqx 递增，数列 an =a1qn-1递增，如数列（1）；当00，那么 c<0．当q>1时，函数y= cqx 递减，数列 an =a1qn-1递减，如数列（3）；当0 值得指出的是，当等比数列的公比q=1时，等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点．
可见该数列是摆动数列，既不递增也不递减，反映在图象上是一系列上下波动的孤立的点（如图).

等比数列的单调性：当 q>1 时， 若a1>0，等比数列{an}是递增数列； 若a1<0，等比数列{an}是递减数列．当 q =1 时，等比数列{an}是非零的常数列．当00，等比数列{an}是递减数列； 若a1<0，等比数列{an}是递增数列．当 q <0 时，等比数列{an}是摆动数列．
例4 已知数列{an}的通项公式为 an=A∙ qn，其中 A，q均为非零常数， 那么这个数列一定是等比数列吗?
解：取数列{an}中任意相邻两项an与an－1(n≥2)， 作商得 它是一个与n无关的常数，所以数列{an}一定是等比数列，且其指数幂的底数即为等比数列的公比．
例5 已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列，求证：{anbn}也是等比数列．
解：设等比数列{an}，{bn}的公比分别为p，q，那么{anbn}的第n项和 第n+1项分别为anbn= a1pn－1∙ b1qn－1与an+1bn+1= a1pn∙ b1qn ， 作商得 它是一个与n无关的常数，所以数列{anbn}是以为pq公比的等比数列．
解：（1）因为 ， 所以 因此，数列{bn}是以10d为公比的等比数列．
例6 已知{an}，{bn}是项数相同的数列， （1）若数列{an}是公差为 d 的等差数列，数列{bn}满足 ，证明数列{bn}是等比数列；
例6 已知{an}，{bn}是项数相同的数列， （2）若数列{an}是公比为 q 的正项等比数列，数列{bn}满足 bn= lgan ，证明数列{bn}是等差数列．

解：（1）因为an>0 ， 所以 bn+1－bn= lgan+1－lgan 因此，数列{bn}是以lgq为公差的等差数列．
等比数列的单调性： 当 q>1 时， 若a1>0，等比数列{an}是递增数列； 若a1<0，等比数列{an}是递减数列． 当 q =1 时，等比数列{an}是非零的常数列． 当00，等比数列{an}是递减数列； 若a1<0，等比数列{an}是递增数列． 当 q <0 时，等比数列{an}是摆动数列．
当 q > 0 时，等比数列{an}的图象由 y= cqx 的图象上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an )组成的．
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