2020-2021学年第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用示范课课件ppt

这是一份2020-2021学年第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用示范课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，内容索引，极大值，极小值，课堂小结，基础巩固，解得a＝－1，综合运用等内容，欢迎下载使用。
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数 的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值.
一、函数极值概念的理解
二、求函数的极值(点)
三、由极值求参数的值或范围
问题1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
提示　在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷.
问题2　你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？
提示　以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个 ；当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)≥f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个 .函数的极大值、极小值统称为函数的 .
注意点：(1)把函数取得极大值时的x的值称为极大值点，把函数取得极小值时的x的值称为极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，故极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.
例1　函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(3,5)上是增函数；②函数y＝f(x)在区间 上是减函数；③函数y＝f(x)在区间(－2,2)上是增函数；④当x＝ 时，函数y＝f(x)有极大值；⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值.则上述判断中正确的序号是______.
解析　对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)0，f(x)是增函数，所以①错误；
当x∈(2,3)时，f′(x)0，f(x)是增函数，所以③正确；对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确.
反思感悟　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.
跟踪训练1　已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间 内的极小值点的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，
其中c3.故实数m的取值范围是(3，＋∞).
反思感悟　已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
跟踪训练3　若函数f(x)＝ x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_________.
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
且f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数.根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，
1.知识清单：(1)函数极值的定义.(2)函数极值的判定及求法.(3)函数极值的应用.2.方法归纳：方程思想、分类讨论.3.常见误区：容易混淆为导数值等于零时此点为极值点.
1.(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是A.在(1,2)上函数f(x)是增函数B.在(3,4)上函数f(x)是减函数C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
解析　根据导函数图象知，x∈(1,2)时，f′(x)>0；x∈(2,4)时，f′(x)0.∴f(x)在(1,2)，(4,5)上是增函数，在(2,4)上是减函数，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点.
2.(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个增区间是A.(－∞，2) B.(3，＋∞)C.(2，＋∞) D.(－∞，3)
解析　∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.
3.设函数f(x)＝xex，则A.x＝1为f(x)的极大值点B.x＝1为f(x)的极小值点C.x＝－1为f(x)的极大值点D.x＝－1为f(x)的极小值点
解析　令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故x＝－1为f(x)的极小值点.
4.已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＝____，b＝_____.
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
1.下列函数中存在极值的是A.y＝ B.y＝x－exC.y＝2 D.y＝x3
解析　对于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.在区间(－∞，0)上，y′>0；在区间(0，＋∞)上，y′